Integração por Substituição

A regra da cadeia, lida de trás para a frente, é uma forma de integrar: um integrando da forma g(u(x))·u′(x) é a derivada de G(u(x)). Abaixo, a área sob este integrando é cortada em fatias, e cada fatia é transposta para o eixo u, onde cobre um intervalo diferente com exatamente a mesma área. Depois, acompanhe o passo a passo de uma substituição e experimente resolver os seus próprios exercícios.

Indefinido	$\begin{aligned}\int g\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)\,dx&=G\bigl(u(x)\bigr)+C,\\ G'&=g\end{aligned}$
Definido: os limites acompanham u	$\int_{a}^{b}g\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}g(u)\,du$

Exemplo resolvido — Integração por Substituição

Área em x, pela regra de Simpson	−0,7568
Com limites de x mantidos, o erro	0,9093
Fatias a avançar em u	−0,7568
Fatias a recuar em u	0,0000

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Integração por Substituição

A integração por substituição é a regra da cadeia lida de trás para a frente. Se um integrando tiver a forma g(u(x))·u′(x) e G for uma primitiva de g, então G(u(x)) é uma primitiva do integrando, porque a sua derivada é G′(u(x))·u′(x). Num integral definido, os limites movem-se com a variável: ∫_a^b g(u(x)) u′(x) dx = ∫_u(a)^u(b) g(u) du.

O que significa cada símbolo

u: a função interior, que passa a ser a nova variável
du: u′(x) dx, o fator que já tem de estar no integrando, a menos de uma constante

De onde vem a fórmula

Por que as fatias coincidem. Ao longo de uma fatia [x_i, x_i+1], a área sob g(u(x))·u′(x) é G(u(x_i+1)) − G(u(x_i)), porque G(u(x)) é uma primitiva, e essa é também a área sob g de u(x_i) a u(x_i+1), qualquer que seja a ordem destes dois números. Some as fatias e os termos interiores anulam-se aos pares, sobrando G(u(b)) − G(u(a)).
$\int_{x_i}^{x_{i+1}}g\bigl(u(x)\bigr)u'(x)\,dx=G\bigl(u(x_{i+1})\bigr)-G\bigl(u(x_i)\bigr)=\int_{u(x_i)}^{u(x_{i+1})}g(u)\,du,\qquad \sum_i\ \Rightarrow\ G\bigl(u(b)\bigr)-G\bigl(u(a)\bigr)$

Pressupõe: A área do lado x é calculada numericamente, pela regra de Simpson refinada onde a curva se dobra acentuadamente, e a do lado u a partir de G, logo a sua coincidência é uma verificação e não uma identidade. Concordam em quatro casas decimais em todas as configurações que os controlos permitem.

Problemas resolvidos na íntegra

Expressão linear no interior 3 passos
Calcule ∫(3x − 2)⁵ dx.

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1. A expressão interna é linear. Chamando-a de u, a sua derivada é a constante 3, logo dx é du/3:
  
  $u=3x-2,\quad du=3\,dx,\quad dx=\frac{du}{3}$
2. Integre a potência de u:
  
  $\int u^{5}\,\frac{du}{3}=\frac{u^{6}}{18}$
3. Voltando a x:
  
  $\frac{(3x-2)^{6}}{18}+C$
Resposta

(3x − 2)⁶/18 + C. Esquecer o 3 dá (3x − 2)⁶/6. Se abrir o problema na ferramenta e escrever isso, o diagnóstico apontará uma derivada igual ao triplo do integrando.

$\int(3x-2)^{5}\,dx=\frac{(3x-2)^{6}}{18}+C$
A derivada já está presente 3 passos
Calcule ∫x(x² + 1)⁴ dx.

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1. O x ao lado dos parênteses é metade da derivada interna, 2x:
  
  $u=x^{2}+1,\quad du=2x\,dx,\quad x\,dx=\frac{du}{2}$
2. Assim, todo o integral resume-se a uma potência de u:
  
  $\int u^{4}\,\frac{du}{2}=\frac{u^{5}}{10}$
3. De volta a x:
  
  $\frac{(x^{2}+1)^{5}}{10}+C$
Resposta

(x² + 1)⁵/10 + C. É o x que faz isto funcionar. Sem ele, ∫(x² + 1)⁴ dx não tem nenhum du para aproveitar, e a saída seria desenvolver os parênteses.

$\int x(x^{2}+1)^{4}\,dx=\frac{(x^{2}+1)^{5}}{10}+C$
O numerador é a derivada do denominador 3 passos
Calcule ∫(2x + 1)/(x² + x + 3) dx.

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1. O numerador é precisamente a derivada do denominador:
  
  $u=x^{2}+x+3,\quad du=(2x+1)\,dx$
2. Assim, o integral passa a ser ∫du/u:
  
  $\int\frac{du}{u}=\ln|u|$
3. Podemos dispensar as barras de módulo, pois o denominador nunca é negativo:
  
  $x^{2}+x+3=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac{11}{4}>0\ \Rightarrow\ \ln\left(x^{2}+x+3\right)+C$
Resposta

ln(x² + x + 3) + C. Procure este padrão em qualquer fração: ∫f′/f dx = ln|f| + C. Se o numerador fosse x + ½, a resposta seria metade disto.

$\int\frac{2x+1}{x^{2}+x+3}\,dx=\ln\left(x^{2}+x+3\right)+C$
∫tan x 3 passos
Calcule ∫tan x dx.

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1. Escreva tan x como uma fração. O numerador é a derivada do denominador, a menos do sinal:
  
  $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad u=\cos x,\quad du=-\sin x\,dx$
2. Assim, o integral passa a ser −∫du/u:
  
  $\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\int\frac{du}{u}=-\ln|u|$
3. Voltamos a x. As duas formas são uma só resposta, pois −ln a = ln(1/a):
  
  $-\ln|\cos x|+C=\ln|\sec x|+C$
Resposta

−ln|cos x| + C, que também se escreve ln|sec x| + C. O sinal de menos é o que costuma ficar esquecido: a derivada de ln|cos x| é −tan x, e a ferramenta acusará o sinal trocado.

$\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$
u = ln x 3 passos
Calcule ∫(ln x)²/x dx para x > 0.

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1. O 1/x é a derivada de ln x, logo é o du:
  
  $u=\ln x,\quad du=\frac{dx}{x}$
2. Resta apenas uma potência de u:
  
  $\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}$
3. De volta a x:
  
  $\frac{(\ln x)^{3}}{3}+C$
Resposta

(ln x)³/3 + C. Qualquer integrando da forma g(ln x)/x resolve-se da mesma maneira.

$\int\frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx=\frac{(\ln x)^{3}}{3}+C$
Quando x tem de ser escrito em função de u 4 passos
Calcule ∫x√(x + 1) dx.

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1. Seja u = x + 1, donde du = dx. O x que está à frente não faz parte de du; escreva-o em função de u:
  
  $u=x+1,\quad du=dx,\quad x=u-1$
2. Desenvolva o produto para que cada termo seja uma potência de u:
  
  $\int(u-1)\sqrt{u}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du$
3. Integre cada potência:
  
  $=\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}$
4. Volte à variável x:
  
  $\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C$
Resposta

(2/5)(x + 1)^5/2 − (2/3)(x + 1)^3/2 + C. Integrar x e √(x + 1) em separado e multiplicar os resultados é o deslize a evitar: o integral de um produto não é o produto dos integrais.

$\int x\sqrt{x+1}\,dx=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C$
Mudar os limites com a variável 3 passos
Calcule ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.
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1. O 2x é o du para u = x² + 1:
  
  $u=x^{2}+1,\quad du=2x\,dx$
2. Mude os limites com a variável:
  
  $x=0\ \Rightarrow\ u=1,\qquad x=1\ \Rightarrow\ u=2$
3. Integre entre os novos limites:
  
  $\int_{1}^{2}u^{3}\,du=\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{1}^{2}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}$
Resposta

15/4 = 3,75. Manter os limites antigos, de 0 a 1, dá 1/4. A outra via segura é voltar primeiro a x e usar os limites originais; misturar u com os limites antigos é o erro.

$\int_{0}^{1}2x(x^{2}+1)^{3}\,dx=\frac{15}{4}=3{.}75$
A que distância chega a área a 5? 4 passos
A curva x/(1 + x²) cai em direção a 0 à medida que x cresce. A que distância de 0 tem de estar o b para que a área de 0 a b alcance 5, e a que altura está a curva aí? Prima Um logaritmo lento: de 0 a 3 a área é 1,1513.

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1. Com u = 1 + x², du = 2x dx, logo x dx = du/2 e a área é metade de um logaritmo:
  
  $u=1+x^{2},\quad du=2x\,dx:\qquad \int_{0}^{b}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\tfrac12\int_{1}^{1+b^{2}}\frac{du}{u}=\tfrac12\ln\left(1+b^{2}\right)$
2. Em b = 3 isso dá ½ ln 10, o valor na página. Iguale isso a 5:
  
  $\tfrac12\ln\left(1+b^{2}\right)=5\ \Rightarrow\ b=\sqrt{e^{10}-1}=148{.}41$
3. Aí, a curva atinge apenas
  
  $f(148{.}41)=\frac{148{.}41}{1+148{.}41^{2}}=0{.}0067$
4. Dobrar a área para 10 requer
  
  $\tfrac12\ln\left(1+b^{2}\right)=10\ \Rightarrow\ b=\sqrt{e^{20}-1}=22{,}026{.}47$
Resposta

b ≈ 148,4, onde a curva tem 0,0067 de altura. A área nunca para de crescer, mas para b grande cresce como ln b, pelo que cada nova unidade de área multiplica b por cerca de e ≈ 2,72. O cursor da página para em b = 5.

$b\approx148{.}4,\qquad f(b)\approx0{.}0067$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcule ∫ x e^x² dx.

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e^x²/2 + C, com u = x² e du = 2x dx.

$\tfrac12e^{x^{2}}+C$
Calcule ∫ sen x cos⁴x dx.

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−cos⁵x/5 + C, com u = cos x e du = −sen x dx.

$-\tfrac15\cos^{5}x+C$
Calcule ∫ x/√(x² + 9) dx.

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√(x² + 9) + C.

$\sqrt{x^{2}+9}+C$
Calcule ∫ 1/(1 + 4x²) dx.

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½ arctan 2x + C, com u = 2x.

$\tfrac12\arctan2x+C$
Calcule ∫₀² x/(x² + 1) dx.

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½ ln 5 ≈ 0,8047. Com a substituição u = x² + 1, os limites de integração passam a 1 e 5.

$\int_{1}^{5}\frac{du}{2u}=\tfrac12\ln5\approx0{.}8047$

Pode dividir por uma constante em falta, nunca por um x

Prima Um −2 em falta. O integrando é x·e^−x² e foi digitado e^−x². Pela regra da cadeia, a sua derivada é e^−x²·(−2x), o que equivale a −2 vezes o integrando em cada ponto, e o veredito diz exatamente isso. Com u = −x², du = −2x dx: o x do integrando é o du de que precisa à parte o −2, e uma constante passa através do sinal de integral, pelo que pode dividir por ela. −½e^−x² está correto. Agora prima Um x em falta. O integrando é e^−x² sem nenhum x ao seu lado, e dividir de qualquer forma pelo −2x em falta dá e^−x²/(−2x). A regra do quociente desmonta isso: a sua derivada é o integrando vezes 1 + 1/(2x²), uma vez e meia maior em x = 1, ainda 1,0556 vezes grande demais em x = 3, e nunca é igual. Uma constante pode ser movida através de ∫, mas o x não, porque o x é a variável que o integral percorre: dividir uma resposta por um x em falta nunca é uma substituição. Nenhuma fórmula construída a partir de potências, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas tem como derivada e^−x²; Liouville provou isso, e o último degrau deste capítulo mostra o que isso significa.

Mantenha os limites de x e a área pode mudar de sinal

Prima Manter os limites?. O integrando 2x cos(x²) é cos u vezes du para u = x², de modo que as fatias de [0, 2] aterram em [0, 4] do eixo u, dado que 2² = 4. Ambos os painéis dão −0,7568, que é sin 4. O contorno a tracejado no painel inferior é o deslize: substituir no integrando mas manter os limites antigos, para que cos u seja integrado de 0 a 2. Isso dá sin 2 = 0,9093, positivo, ao passo que a verdadeira área é negativa. O cos u está abaixo de zero de u = π/2 em diante, o que representa mais de metade do intervalo [0, 4], e os limites antigos param em 2, antes da maior parte. Prima Mapear as fatias e a área de cada fatia entra em ambos os totais cumulativos no mesmo momento, pois ao longo de uma fatia ambos os lados são G(u(xᵢ₊₁)) − G(u(xᵢ)).

O u não tem de ser injetivo

Prima Ida e volta. Em [0, π], u = sin x sobe de 0 a 1 e volta a descer para 0. As fatias da primeira metade aterram em [0, 1] a viajar para a direita e transportam 1,7183, o que corresponde a e − 1. As fatias da segunda metade aterram no mesmo [0, 1] a viajar para a esquerda, hachuradas a vermelho, e transportam −1,7183, porque u′ = cos x é negativo aí e cada du também o é. Cancelam-se mutuamente, e ∫₀^π cos x·e^{sin x} dx = 0, igual ao integral vazio de u(0) = 0 a u(π) = 0. A regra de substituição exige que u′ seja contínua, e que g seja contínua em cada valor pelo qual u passa; nunca exige que u siga apenas num sentido. Uma fatia que corre para trás é subtraída, e essa é toda a contabilidade necessária. Em vez disso, mantenha os limites de x aqui, e irá integrar eᵘ de 0 a π: 22,1407.

Percurso de aprendizagem

Técnicas de integração

Referências (2)

The rule in both forms: Theorem 5.7 (∫f[g(x)]g′(x) dx = ∫f(u) du = F(g(x)) + C) and Theorem 5.8 (∫ₐᵇ f(g(x))g′(x) dx = ∫ from g(a) to g(b) of f(u) du, “using substitution to evaluate a definite integral requires a change to the limits of integration”). Theorem 5.8 asks that g′ be continuous on [a, b] and f continuous over the range of u = g(x), and nothing about g being one-to-one: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.5, “Substitution”.
Why no substitution, and no other method, can integrate e^(−x²): Liouville's theorem, and its criterion that f(x)·e^(g(x)) has an elementary antiderivative exactly when R′ + g′R = f has a rational solution R (Theorem 4.4; Example 4.6 proves e^(−x²) has none). For x·e^(−x²), R = −½ works: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, lecture notes, Stanford University (author's copy).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.