Integrais duplas em coordenadas polares

Corte uma região com circunferências centradas na origem e semirretas que dela partem, e cada célula é um pedaço de coroa circular cuja área é o seu raio médio vezes Δr vezes Δθ. Esse raio médio é o r de r dr dθ. Marque uma célula em qualquer das duas figuras e compare a sua área nos dois planos.

Integral dupla em coordenadas polares	$\iint_R f\,dA=\int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f\,r\,dr\,d\theta$
A integral de Gauss	$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}$

Exemplo resolvido — Integrais duplas em coordenadas polares

Célula marcada no plano rθ	0,1745
Célula marcada no plano xy	0,16
A integral dupla	3,1416
O mesmo sem o r (errado)	6,2832

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Integrais duplas em coordenadas polares

Uma integral dupla em coordenadas polares integra sobre uma região descrita por um ângulo θ e uma distância r à origem, com o elemento de área dA = r dr dθ.

O que significa cada símbolo

r, θ: a distância à origem e o ângulo medido a partir do semieixo positivo dos x: x = r cos θ, y = r sin θ
r̄, Δr, Δθ: o raio médio de uma célula, a sua largura em r e a sua largura em θ

De onde vem a fórmula

Corte a região em células polares. Uma célula entre os raios r₁ e r₂ e os ângulos θ e θ + Δθ é a diferença de dois setores, e a sua área fatoriza-se em raio médio vezes Δr vezes Δθ.
$\begin{aligned}\Delta A&=\tfrac{1}{2}\left(r_2^{2}-r_1^{2}\right)\Delta\theta\\&=\tfrac{r_1+r_2}{2}\,(r_2-r_1)\,\Delta\theta=\bar r\,\Delta r\,\Delta\theta\end{aligned}$
Some e passe ao limite. O valor de f em cada célula vezes a área da célula, somado, tende para uma integral iterada em que r̄ passou a r. Os limites de r podem depender de θ.
$\begin{aligned}\iint_R f\,dA&=\int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f\,r\,dr\,d\theta,\\ x&=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\end{aligned}$
Eleve a gaussiana ao quadrado. Um produto de duas integrais numa variável é uma integral dupla sobre o plano, e em forma polar o r dá a e^(−r²) uma primitiva com fórmula.
$\begin{aligned}I^{2}&=\iint_{\mathbb{R}^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA\\&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta\\&=2\pi\left[-\tfrac{1}{2}e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty}=\pi\\ I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}\end{aligned}$

Pressupõe: Na região, θ vai de um ângulo a outro e, ao longo de cada semirreta, r fica entre duas curvas r₁(θ) ≤ r₂(θ). A integral sobre todo o plano é imprópria; discos cada vez maiores e quadrados cada vez maiores dão o mesmo π, porque cada quadrado fica entre dois discos.

Problemas resolvidos na íntegra

A área de um disco 2 passos
Calcule a área do disco de raio R como integral dupla em coordenadas polares, e o que obtém se se esquecer do r.

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1. O disco é 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, e dA = r dr dθ:
  
  $\begin{aligned}A&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r\,dr\,d\theta\\&=\int_{0}^{2\pi}\tfrac{R^{2}}{2}\,d\theta=\pi R^{2}\end{aligned}$
2. Sem o r:
  
  $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}dr\,d\theta=2\pi R$
Resposta

πR², que é 3,1416 com R = 1. Sem o r, 2πR: o perímetro, um comprimento.

$A=\pi R^{2},\qquad R=1:\ A\approx3{.}1416$
Dentro de uma cardioide 2 passos
Calcule a área dentro da cardioide r = 1 + cos θ.

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1. Para cada θ em [0, 2π], r vai de 0 a 1 + cos θ, e a integral interior é metade do quadrado desse limite:
  
  $\begin{aligned}A&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1+\cos\theta}r\,dr\,d\theta\\&=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+\cos\theta\right)^{2}d\theta\end{aligned}$
2. Numa volta completa, a integral de cos θ é 0 e a de cos² θ é π:
  
  $\begin{aligned}A&=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta\right)d\theta\\&=\tfrac{1}{2}\left(2\pi+0+\pi\right)=\tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}$
Resposta

3π/2 ≈ 4,7124.

$A=\tfrac{3\pi}{2}\approx4{.}7124$
De x e y para r e θ 2 passos
Calcule ∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (x² + y²) dy dx.

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1. y vai de 0 até à circunferência x² + y² = 1 e x de 0 a 1: é o quarto do disco unitário no primeiro quadrante, ou seja, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2. E x² + y² = r²:
  
  $\begin{aligned}&\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\,dx\\&\quad=\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\end{aligned}$
2. Integre:
  
  $\int_{0}^{\pi/2}\left[\tfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\tfrac{1}{4}\,d\theta=\tfrac{\pi}{8}$
Resposta

π/8 ≈ 0,3927.

$\tfrac{\pi}{8}\approx0{.}3927$
Um disco que não está centrado na origem 3 passos
Calcule ∬ x dA sobre o disco x² + y² ≤ 2x e, a partir daí, a coordenada x do centroide do disco.

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1. Em coordenadas polares, a fronteira é r² = 2r cos θ, logo r = 2 cos θ, e r ≥ 0 exige cos θ ≥ 0. θ vai de −π/2 a π/2, uma volta à circunferência; uma volta completa de θ percorrê-la-ia duas vezes e duplicaria o resultado.
  
  $x^{2}+y^{2}\le2x\iff r\le2\cos\theta,\quad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$
2. Com x = r cos θ:
  
  $\begin{aligned}\iint x\,dA&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2\cos\theta}r\cos\theta\cdot r\,dr\,d\theta\\&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tfrac{8}{3}\cos^{4}\theta\,d\theta=\tfrac{8}{3}\cdot\tfrac{3\pi}{8}=\pi\end{aligned}$
3. O disco tem raio 1 e área π:
  
  $\bar x=\frac{\iint x\,dA}{A}=\frac{\pi}{\pi}=1$
Resposta

∬ x dA = π ≈ 3,1416, logo o centroide está em x = 1, o centro do disco.

$\iint x\,dA=\pi\approx3{.}1416,\qquad \bar x=1$
O volume de uma esfera 2 passos
Calcule o volume de uma esfera de raio R como integral dupla em coordenadas polares.
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1. A metade superior é o volume sob z = √(R² − x² − y²) sobre o disco r ≤ R:
  
  $V=2\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta$
2. Substitua u = R² − r², pelo que du = −2r dr; é o r do elemento de área que faz a substituição funcionar:
  
  $\begin{aligned}V&=2\cdot2\pi\int_{0}^{R^{2}}\tfrac{1}{2}\sqrt{u}\,du\\&=2\pi\cdot\tfrac{2}{3}R^{3}=\tfrac{4\pi R^{3}}{3}\end{aligned}$
Resposta

4πR³/3, o volume obtido por fatias mais atrás neste capítulo.

$V=\tfrac{4\pi R^{3}}{3}$
A gaussiana num disco 2 passos
Calcule ∬ e^(−(x²+y²)) dA sobre o disco de raio R e o seu limite quando R → ∞.

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1. Em forma polar, a integranda é e^(−r²), e o r ao lado dá-lhe uma primitiva com fórmula:
  
  $\int_{0}^{R}e^{-r^{2}}\,r\,dr=\left[-\tfrac{1}{2}e^{-r^{2}}\right]_{0}^{R}=\tfrac{1}{2}\left(1-e^{-R^{2}}\right)$
2. A integral em θ multiplica por 2π:
  
  $\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\left(1-e^{-R^{2}}\right)d\theta=\pi\left(1-e^{-R^{2}}\right)$
Resposta

π(1 − e^(−R²)), que é 3,0841 com R = 2 e tende para π.

$\pi\left(1-e^{-R^{2}}\right)\xrightarrow[R\to\infty]{}\pi,\qquad R=2:\ \approx3{.}0841$
∫e^(−x²) dx = √π 3 passos
Mostre que a integral de e^(−x²) em toda a reta é √π.

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1. Seja I(b) a integral de −b a b. O seu quadrado é uma integral dupla sobre o quadrado |x|, |y| ≤ b:
  
  $\begin{aligned}I(b)^{2}&=\int_{-b}^{b}e^{-x^{2}}dx\int_{-b}^{b}e^{-y^{2}}dy\\&=\iint_{|x|,|y|\le b}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA\end{aligned}$
2. O quadrado contém o disco de raio b e está dentro do disco de raio b√2. A integranda é positiva, logo, pelo problema 6:
  
  $\pi\left(1-e^{-b^{2}}\right)\le I(b)^{2}\le\pi\left(1-e^{-2b^{2}}\right)$
3. As duas cotas tendem para π quando b → ∞, portanto I(b)² também, e I(b) é positiva:
  
  $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}I(b)=\sqrt{\pi}$
Resposta

√π ≈ 1,7725. Com b = 2, as cotas são 3,0841 e 3,1405, e I(2)² ≈ 3,1123 fica entre elas.

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}\approx1{.}7725$
A constante da distribuição normal 2 passos
Calcule a integral de e^(−x²/2) em toda a reta e explique o fator 1/√(2π) na densidade normal padrão.
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1. Substitua x = √2 u, pelo que dx = √2 du:
  
  $\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2}\,dx&=\sqrt{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du\\&=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\pi}=\sqrt{2\pi}\end{aligned}$
2. Divida por √(2π) e o total é 1:
  
  $\int_{-\infty}^{\infty}\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,dx=\tfrac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2\pi}}=1$
Resposta

√(2π). Assim, (1/√(2π)) e^(−x²/2) tem área total 1, como uma densidade de probabilidade tem de ter.

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2}\,dx=\sqrt{2\pi}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Determina a área de uma pétala da curva r = sen 3θ.

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π/12 ≈ 0,2618. Uma pétala corresponde ao intervalo de θ = 0 a θ = π/3.

$A=\int_{0}^{\pi/3}\tfrac12\sin^{2}3\theta\,d\theta=\frac{\pi}{12}\approx0{.}2618$
Calcula ∬ (x² + y²) dA no disco unitário.

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π/2 ≈ 1,5708, obtido a partir de ∫₀^2π ∫₀¹ r² · r dr dθ.

$\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta=\frac{\pi}{2}\approx1{.}5708$
Calcula ∬ dA/(x² + y²) na coroa circular 1 ≤ x² + y² ≤ 4.

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2π ln 2 ≈ 4,3552. Com o fator r do elemento de área dA, fica 1/r como função a integrar.

$\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}\frac{dr}{r}\,d\theta=2\pi\ln2\approx4{.}3552$
Determina o volume abaixo da superfície z = 4 − x² − y² e acima do plano z = 0.

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8π ≈ 25,1327. A superfície interseta o plano z = 0 na circunferência r = 2.

$\begin{aligned}V&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\left(4-r^{2}\right)r\,dr\,d\theta\\&=8\pi\approx25{.}1327\end{aligned}$
Determina a área da região interior à cardioide r = 1 + cos θ e exterior à circunferência r = 1.

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2 + π/4 ≈ 2,7854. As curvas intersetam-se em θ = ±π/2. Entre esses ângulos, a cardioide delimita a região por fora.

$\begin{aligned}A&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tfrac12\left((1+\cos\theta)^{2}-1\right)d\theta\\&=2+\frac{\pi}{4}\approx2{.}7854\end{aligned}$

Sem o r, a área do disco sai igual ao seu perímetro

Clique em Disco unitário. Com o r, a integral é π ≈ 3,1416; sem ele, os mesmos limites dão 2π ≈ 6,2832, o perímetro, que é um comprimento. ∫∫ dr dθ mede o retângulo em que o disco se transforma no plano rθ, 1 por 2π, e nesse plano todas as células têm a mesma área Δr Δθ, ao passo que no disco as células junto ao centro são lascas finas e as da orla são largas. Uma célula entre os raios r₁ e r₂ é a diferença de dois setores, ½(r₂² − r₁²)Δθ, que se fatoriza como ½(r₁ + r₂) · (r₂ − r₁) · Δθ: o raio médio vezes Δr vezes Δθ, exatamente. Marque uma célula na orla e depois uma no centro, e compare as duas linhas de célula nos resultados. Como nada foi aproximado, a soma sobre a grelha mostra π para este disco mesmo com n = 1, uma única célula.

O r que é tão fácil esquecer é o que permite calcular ∫e^(−x²) dx

e^(−x²) não tem primitiva elementar, nenhuma construída com potências, raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas: Liouville provou-o na década de 1830, e a página sobre integrais não elementares aplica o seu critério. Ainda assim, a sua integral em toda a reta vale exatamente √π. Chame-lhe I. Então I² é ∫e^(−x²) dx vezes ∫e^(−y²) dy, que é a integral de e^(−(x²+y²)) em todo o plano, e em coordenadas polares a integranda e^(−r²) chega com um r ao lado. E r e^(−r²) tem primitiva: −½e^(−r²). A integral interior é, portanto, ½, a integral em θ multiplica-a por 2π, e I² = π. Clique em Gaussiana num disco: a linha da integral interior mostra o valor desse parêntese reto. A biografia de Kelvin escrita por Silvanus Thompson (1910) conta que Kelvin escreveu um dia este resultado no quadro e disse aos alunos: «Um matemático é alguém para quem isto é tão óbvio como, para vocês, que duas vezes dois são quatro. Liouville era um matemático.»

O plano inteiro é um limite de quadrados, e os discos dão mesmo assim a resposta certa

I² foi definido sobre quadrados, |x|, |y| ≤ b, e calculado sobre discos. Clique em Gaussiana num quadrado. O quadrado contém o disco de raio b e está dentro do disco de raio b√2, e e^(−(x²+y²)) é positiva, por isso a sua integral sobre o quadrado fica entre π(1 − e^(−b²)) e π(1 − e^(−2b²)). As duas cotas tendem para π, logo o valor do quadrado também. Com b = 2, os três números são 3,0841, 3,1123 e 3,1405. Clique em Gaussiana, b = 1: 1,9859, 2,231 e 2,7164, e os cantos fora do disco interior pesam 11% do valor do quadrado. É por isso que o argumento dá a integral em toda a reta e, num intervalo finito, apenas a enquadra: ∫e^(−x²) dx de −1 a 1 vale 1,4936, e os discos situam-na entre √1,9859 ≈ 1,4092 e √2,7164 ≈ 1,6482.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (2)

The double integral over a polar region as the iterated integral of f(r, θ) r dr dθ (equation 5.8 and Theorem 5.8), the polar subrectangle's area r*ΔrΔθ with r* the middle radius, and the improper integral of e^(−10(x²+y²)) over the plane in polar coordinates (Example 5.35): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.3, “Double Integrals in Polar Coordinates”.
Insight block 2: Kelvin wrote ∫e^(−x²) dx = √π on the blackboard and told his class “A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.” (vol. 2, chapter XXV, p. 1139, footnote 1): S. P. Thompson, The Life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs, vol. 2, Macmillan, London (1910).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.