Lei de Ampère

Ao percorrer um contorno fechado e somar as componentes de B na direção do percurso, obtém-se μ₀ vezes a corrente que atravessa a superfície delimitada pelo contorno. Para correntes estacionárias, esta relação é sempre válida. Tal como a lei de Gauss, só em certas situações permite calcular o campo facilmente: se a simetria garantir que B é tangente ao contorno e tem o mesmo módulo em todos os seus pontos, a soma reduz-se a B vezes o comprimento do contorno. Basta uma linha para determinar B. Escolhe uma corrente, ajusta o contorno e consulta a corrente abrangida e o campo.

Lei de Ampère com a corrente de deslocamento de Maxwell	$\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\Bigl(I_{\mathrm{enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\Bigr)$
Solenoide longo e toroide	$B=\mu_0nI,\qquad B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$

Exemplo resolvido — Lei de Ampère

Corrente abrangida pelo contorno	1,25 A
Comprimento do contorno	0,06283 m
μ₀ vezes a corrente	1,571×10⁻⁶ T·m
B no contorno	25 μT

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Lei de Ampère

Lei de Ampère: ao percorrer um contorno fechado, a soma das componentes de B na direção do percurso é igual a μ₀ vezes a corrente que atravessa a superfície delimitada pelo contorno, ∮B·dl = μ₀I_enc. Com a correção de Maxwell, inclui-se a corrente de deslocamento ε₀ dΦ_E/dt.

O que significa cada símbolo

I_enc: a corrente total que atravessa qualquer superfície delimitada pelo contorno, com o sinal definido pela regra da mão direita
n: o número de espiras por metro de um solenoide
K: a corrente por metro de largura de uma lâmina

De onde vem a fórmula

Escolhe um contorno em que a simetria permita determinar B. Em torno de um fio retilíneo, B tem o mesmo módulo em todos os pontos de uma circunferência centrada no eixo do fio e é tangente a ela. A soma é, por isso, B·2πr.
$\oint\vec B\cdot d\vec l=B\cdot2\pi r=\mu_0I_{\mathrm{enc}}$
Determina a corrente abrangida. No interior de um fio com corrente uniformemente distribuída, o contorno abrange a fração r²/R² da corrente. No exterior, abrange toda a corrente.
$I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}},\qquad r\ge R:\ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$
Um solenoide longo. Escolhe um retângulo com um lado no interior e outro no exterior. No exterior, B é desprezável; nos lados curtos, B é perpendicular ao percurso. Só contribui o lado interior, e o contorno abrange nℓ espiras.
$B\ell=\mu_0n\ell I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
Um toroide. Uma circunferência no interior do núcleo abrange as N espiras uma vez cada. Assim, B·2πr = μ₀NI e B varia como 1/r.
$B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
Quando a corrente varia com o tempo. Entre as armaduras de um condensador em carga não passa corrente de condução, mas o fluxo elétrico varia. A corrente de deslocamento ε₀ dΦ_E/dt entra então na lei.
$I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},\qquad\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\left(I_{\mathrm{enc}}+I_{d}\right)$

Pressupõe: Correntes estacionárias nos passos 1 a 4 e geometrias extensas e simétricas: num solenoide real, o campo só é aproximadamente μ₀nI bem no interior, longe das extremidades; no exterior, é pequeno, mas não nulo. Considera-se ar ou vácuo; um núcleo de ferro aumenta B.

Problemas resolvidos na íntegra

Dentro e fora de um fio espesso 3 passos
Um fio de raio 2,0 cm é percorrido por uma corrente de 5,0 A, uniformemente distribuída pela secção transversal. Determina B a 1,0 cm e a 4,0 cm do eixo.

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1. No interior, o contorno abrange a fração r²/R² da corrente:
  
  $I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=(5{.}0)\,\frac{(0{.}01)^{2}}{(0{.}02)^{2}}=1{.}25\ \mathrm{A}$
2. Aplicando a lei de Ampère à circunferência:
  
  $B=\frac{\mu_0I_{\mathrm{enc}}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(1{.}25)}{2\pi\,(0{.}01)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. No exterior, o contorno abrange toda a corrente I:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}04)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

25 μT em ambos os raios. No interior, B cresce proporcionalmente a r até atingir 50 μT à superfície; no exterior, diminui como 1/r.

$B(1\ \mathrm{cm})=B(4\ \mathrm{cm})=25\ \mu\mathrm{T}$
Um cabo coaxial 2 passos
Num cabo coaxial, uma corrente de 5,0 A percorre um fio interior de raio 0,50 cm e regressa por um condutor exterior fino de raio 3,0 cm. Determina B a 2,0 cm e a 4,0 cm do eixo.

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1. Entre os condutores, o contorno abrange a corrente do fio interior:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0I\ \Rightarrow\ B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)}=5{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. No exterior do cabo, abrange ambas as correntes, que se anulam:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0\,(I-I)=0$
Resposta

50 μT a 2,0 cm e zero a 4,0 cm.

$B(2\ \mathrm{cm})=50\ \mu\mathrm{T},\qquad B(4\ \mathrm{cm})=0$
Um solenoide longo 2 passos
Um solenoide longo tem 2 000 espiras por metro e é percorrido por uma corrente de 3,0 A. Determina B no interior.

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1. Um retângulo com um lado interior de comprimento ℓ abrange nℓ espiras, cada uma percorrida pela corrente I; só o lado interior contribui:
  
  $B\ell=\mu_0\,(n\ell)\,I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
2. Substituindo os valores:
  
  $B=(4\pi\times10^{-7})(2000)(3{.}0)\approx7{.}540\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Resposta

7,54 mT, qualquer que seja o raio do solenoide e em qualquer ponto do interior suficientemente afastado das extremidades.

$B=\mu_0nI\approx7{.}54\ \mathrm{mT}$
A extremidade de um solenoide finito 3 passos
O solenoide do problema 3 tem 50 cm de comprimento e 2,0 cm de raio. Determina B no eixo, no centro e numa extremidade aberta.

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1. Somando os campos das espiras pela lei de Biot–Savart, obtém-se, no eixo,
  
  $B=\frac{\mu_0nI}{2}\left(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2\right)$
2. No centro, cos α₁ = −cos α₂ = (L/2)/√(L²/4 + R²):
  
  $B(0)=\mu_0nI\,\frac{L/2}{\sqrt{L^{2}/4+R^{2}}}=(7{.}540\times10^{-3})\,\frac{0{.}25}{\sqrt{0{.}0625+0{.}0004}}\approx7{.}516\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
3. Na extremidade, cos α₁ = L/√(L² + R²) e cos α₂ = 0:
  
  $B(\tfrac{L}{2})=\frac{\mu_0nI}{2}\,\frac{L}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}=(3{.}770\times10^{-3})\,\frac{0{.}50}{\sqrt{0{.}25+0{.}0004}}\approx3{.}767\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Resposta

7,516 mT no centro e 3,767 mT na extremidade: neste último caso, metade de μ₀nI, com um desvio inferior a 0,1%.

$B(0)\approx7{.}516\ \mathrm{mT},\qquad B(\tfrac{L}{2})\approx3{.}767\ \mathrm{mT}$
Um toroide 2 passos
Um toroide tem 500 espiras percorridas por uma corrente de 2,0 A, enroladas num núcleo que se estende de 5,0 cm a 10 cm de raio. Determina B nas superfícies interior e exterior do núcleo e fora dele.

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1. Uma circunferência de raio r no interior do núcleo abrange as N espiras:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
2. Nas duas superfícies do núcleo:
  
  $B(0{.}05)=\frac{(2\times10^{-7})(500)(2{.}0)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T},\qquad B(0{.}10)=2{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Resposta

4,0 mT a 5,0 cm, 2,0 mT a 10 cm e zero fora do núcleo.

$B_{a}=4\ \mathrm{mT},\qquad B_{b}=2\ \mathrm{mT}$
Uma lâmina de corrente 1 passos
Uma lâmina plana extensa é percorrida por uma corrente de 100 A por metro de largura. Determina B nas suas proximidades.

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1. Um retângulo que atravessa a lâmina, com lados de comprimento ℓ paralelos a ela, abrange uma corrente Kℓ. B é paralelo a esses lados, com sentidos opostos de cada lado da lâmina; os lados que a atravessam não contribuem:
  
  $2B\ell=\mu_0K\ell\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0K}{2}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(100)}{2}\approx6{.}283\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

62,83 μT de cada lado, paralelo à lâmina e independente da distância enquanto as dimensões da lâmina permitirem considerá-la infinita.

$B=\frac{\mu_0K}{2}\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Entre as armaduras de um condensador em carga 2 passos
Armaduras circulares de raio 10 cm são carregadas por uma corrente de 2,0 A. Determina B entre elas, a 5,0 cm do eixo.

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1. Entre as armaduras, E = σ/ε₀ aumenta com a carga; através de um disco de raio r, o fluxo é (Q/ε₀)(r²/R²), pelo que a corrente de deslocamento é
  
  $I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\varepsilon_0\,\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{Q}{\varepsilon_0}\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\Bigr)=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=0{.}5\ \mathrm{A}$
2. Aplicando a lei de Ampère com o termo de Maxwell:
  
  $B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(0{.}5)}{2\pi\,(0{.}05)}=2{.}0\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Resposta

2,0 μT. Para além do raio das armaduras, com r ≥ R, o campo é μ₀I/(2πr), igual ao campo em torno do fio.

$B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}}=2\ \mu\mathrm{T}$
Um fio com corrente distribuída de forma não uniforme 3 passos
Um fio de raio 2,0 cm é percorrido por uma corrente de 5,0 A, com densidade de corrente J = J₀r/R. Determina J₀ e B a 1,0 cm do eixo.
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1. A corrente abrangida por um contorno de raio r obtém-se somando as contribuições de anéis de área 2πr′ dr′:
  
  $I(r)=\int_{0}^{r}J_0\frac{r'}{R}\,2\pi r'\,dr'=\frac{2\pi J_0r^{3}}{3R}$
2. Fazendo r = R, determina-se J₀; a lei de Ampère permite depois calcular B:
  
  $J_0=\frac{3I}{2\pi R^{2}}=\frac{3\,(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)^{2}}\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=\frac{\mu_0I(r)}{2\pi r}=\frac{\mu_0I\,r^{2}}{2\pi R^{3}}$
3. Para r = 1,0 cm:
  
  $B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)^{2}}{2\pi\,(0{.}02)^{3}}=1{.}25\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

J₀ = 5 968 A/m²; B = 12,5 μT, metade dos 25 μT de uma distribuição uniforme, pois há uma maior concentração de corrente junto à superfície.

$J_0\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=12{.}5\ \mu\mathrm{T}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Um fio retilíneo longo de raio 1,0 mm é percorrido por uma corrente de 10 A, uniformemente distribuída. Determina B à superfície.

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2,0 mT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi R}=2{.}0\ \mathrm{mT}$
Um solenoide de comprimento 30 cm tem 600 espiras e é percorrido por uma corrente de 2,0 A. Determina B no interior, longe das extremidades.

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5,027 mT.

$B=\mu_0\,\frac{N}{L}\,I\approx5{.}027\ \mathrm{mT}$
Um toroide de 1 000 espiras é percorrido por uma corrente de 1,5 A. Determina B na linha central do núcleo, de raio 8,0 cm.

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3,75 mT.

$B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}=3{.}75\ \mathrm{mT}$
Duas lâminas de corrente paralelas são percorridas, cada uma, por 50 A por metro de largura, em sentidos opostos. Determina B entre elas e no exterior.

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62,83 μT entre elas e zero no exterior.

$B=2\cdot\frac{\mu_0K}{2}=\mu_0K\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Num cabo coaxial, uma corrente de 4,0 A percorre um condutor interior oco de raio 1,0 mm e regressa por um condutor exterior de raio 5,0 mm. Determina B a 0,5 mm, 3,0 mm e 6,0 mm do eixo.

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0, 266,7 μT e 0.

$0,\quad\frac{\mu_0I}{2\pi r}\approx266{.}7\ \mu\mathrm{T},\quad0$
Um condensador com armaduras circulares de raio 5,0 cm é carregado de modo que dE/dt = 1,0 × 10¹² V/(m·s) entre elas. Determina a corrente de deslocamento e B junto ao bordo das armaduras.

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0,06954 A e 0,2782 μT.

$I_{d}=\varepsilon_0\pi R^{2}\frac{dE}{dt}\approx0{.}06954\ \mathrm{A},\qquad B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi R}\approx0{.}2782\ \mu\mathrm{T}$

Na extremidade aberta de um solenoide longo, o campo é metade do campo no interior

Carrega em Extremidade do solenoide. Com 50 cm de comprimento, 2 000 espiras por metro e 3 A, o campo no centro é 7,516 mT, muito próximo de μ₀nI = 7,54 mT. Na extremidade aberta, é 3,767 mT. Este fator de metade resulta da simetria. Encosta outro solenoide idêntico à extremidade aberta: a junção fica agora bem no interior de uma bobina com o dobro do comprimento, onde o campo é muito próximo de μ₀nI. As duas metades contribuem igualmente. Retira uma delas e fica metade do campo: nesta bobina, 49,96% de μ₀nI; no limite de um solenoide infinitamente longo, exatamente metade. O campo também não vai diminuindo de forma gradual desde o centro. Arrasta P ao longo do eixo: o desvio em relação a μ₀nI mantém-se abaixo de 1% até P estar a cerca de cinco raios, 10 cm, da extremidade. É nesse último trecho que ocorre o resto da descida para metade.

O campo de um toroide varia ao longo do núcleo

Carrega em Um toroide. Uma circunferência de raio r no interior do núcleo abrange as N espiras, pelo que B = μ₀NI/(2πr). Como r varia ao longo do núcleo, o campo passa de 4 mT na superfície interior, a 5 cm, para 2 mT na exterior, a 10 cm. Ao curvar um solenoide até formar um anel, as espiras ficam mais próximas umas das outras no lado interior. Fora do núcleo, o contorno ou não abrange nenhuma espira ou atravessa cada uma duas vezes, em sentidos opostos, e o campo é nulo. O toroide confina assim o campo ao seu interior, razão pela qual tantos transformadores e bobinas de choque têm núcleos em anel.

Um condensador em carga põe em causa a formulação original da lei de Ampère

Carrega em Condensador em carga. Nenhuma carga atravessa o espaço entre as armaduras, mas num contorno de raio 5 cm entre elas existe um campo de 2 μT. Usa como superfície um disco plano delimitado pelo contorno: nenhuma corrente o atravessa. Deforma agora essa superfície, como uma bolsa que contorna uma das armaduras: a corrente de 2 A do fio atravessa-a. A lei de Ampère não pode dar duas respostas para o mesmo contorno. A correção de Maxwell acrescenta uma corrente de deslocamento, ε₀ dΦ_E/dt, proporcional à taxa de variação do fluxo elétrico. No disco plano, vale (r/R)² de 2 A, ou seja, 0,5 A, e permite obter os 2 μT. Este termo permite que um campo elétrico variável produza um campo magnético. Com ele, as equações de Maxwell previram ondas que se propagam à velocidade da luz; Hertz começou a confirmar essas previsões em 1887.

Percurso de aprendizagem

De onde vêm os campos

Referências (4)

Ampère's law over an arbitrary closed path, and the thick wire inside (μ₀I₀r/(2πa²)) and outside (Example 12.7): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.5, “Ampère's Law”.
The long solenoid μ₀nI (zero outside), the toroid μ₀NI/(2πr) (zero outside), and the finite solenoid on its axis in the form (μ₀NI/2L)(sin θ₂ − sin θ₁): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.6, “Solenoids and Toroids”.
Insight block 3: the charging capacitor with two surfaces on one loop, the displacement current I_d = ε₀ dΦ_E/dt, and Maxwell's prediction of electromagnetic waves travelling at the speed of light, confirmed by Hertz from 1887: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 16.1, “Maxwell's Equations and Electromagnetic Waves”.
Insight block 3: the paper in which Maxwell's equations, with the displacement current, give electromagnetic waves: J. C. Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865), pp. 459-512. DOI 10.1098/rstl.1865.0008

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.