Campos elétricos de barras, anéis e discos com carga

Divida um corpo com carga em elementos suficientemente pequenos para serem tratados como cargas pontuais. Some os seus campos vetorialmente e faça os elementos tender para zero: essa soma dá lugar ao integral. A simetria simplifica grande parte do trabalho. A cada elemento corresponde outro, simétrico, cujas componentes transversais do campo se anulam. Numa distribuição simétrica, basta então integrar uma componente. Escolha a forma, desloque P e defina quantos elementos entram na soma.

Some vetorialmente os campos dos elementos	$\vec E=k\int\frac{dq}{r^{2}}\,\hat r,\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$
Ou some os potenciais como escalares e depois derive	$V=k\int\frac{dq}{r},\qquad E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}$

Exemplo resolvido — Campos elétricos de barras, anéis e discos com carga

Carga por metro	1,592×10⁻⁸ C/m
Campo em P, por integração	3.178 N/C
O mesmo, com 12 cargas pontuais	3.178 N/C
Potencial em P	635,5 V
Campo a partir do potencial, −dV/dz	3.178 N/C
Toda a carga Q no centro	8.988 N/C

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Campos elétricos de barras, anéis e discos com carga

O campo de uma distribuição contínua de carga é a soma vetorial dos campos dos seus elementos, no limite em que cada elemento dq pode ser tratado como uma carga pontual: E = k∫dq r̂/r², com k = 1/(4πε₀) = 8,988 × 10⁹ N·m²/C². O potencial obtém-se somando contribuições escalares, V = k∫dq/r.

O que significa cada símbolo

dq: carga de um elemento: λ dx numa linha, σ dA numa superfície
λ, σ: densidades linear e superficial de carga; Q/L e Q/(πR²) quando a distribuição é uniforme
r, θ: distância do elemento a P e ângulo entre a linha que os une e o eixo

De onde vem a fórmula

Divida a carga em elementos. Cada elemento tem carga dq e produz em P o campo de uma carga pontual: k dq/r², segundo a linha que une o elemento a P.
$dq=\lambda\,dx,\qquad dE=\frac{k\,dq}{r^{2}}$
Associe cada elemento ao seu simétrico. O elemento do outro lado do eixo produz um campo com o mesmo módulo e componente transversal oposta. As componentes transversais anulam-se; resta somar a componente segundo o eixo, dE cos θ = dE·z/r.
$dE_z=dE\cos\theta=\frac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r}$
Integre essa componente. Num anel, todos os elementos estão à mesma distância √(z² + R²) de P. O fator que multiplica dq é, por isso, constante, e o integral é igual a esse fator multiplicado por Q.
$E=\int\frac{kz\,dq}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$
Decomponha o disco em anéis. Um anel de raio r e largura dr tem carga dq = σ·2πr dr. Some os campos dos anéis, calculados no passo 3, de r = 0 até R.
$E=\int_{0}^{R}\frac{kz\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)$
Ou integre o potencial e derive. V é uma soma de grandezas escalares, pelo que dispensa a decomposição em componentes. O campo segundo o eixo é o simétrico da derivada de V em relação à coordenada axial.
$V=k\int\frac{dq}{r}=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}},\qquad E_z=-\frac{dV}{dz}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$

Pressupõe: A carga está fixa e uniformemente distribuída, salvo quando o problema dá λ ou σ em função da posição. Nesse caso, essa função entra no integral através de dq. Considera-se o vácuo, ou o ar, cuja permitividade é 0,06% superior.

Problemas resolvidos na íntegra

Uma barra, no seu prolongamento 3 passos
Uma barra de 10 cm tem uma carga de 10 nC uniformemente distribuída. Determine o campo no prolongamento da barra, a 5 cm de uma extremidade.

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1. Coloque a barra sobre o eixo x, de x = 0 a x = L, e P em x = L + d. Um elemento dx na posição x está à distância L + d − x de P. Os campos de todos os elementos têm a direção da barra e o mesmo sentido, pelo que não há componentes a anular nem a decompor:
  
  $dE=\frac{k\lambda\,dx}{(L+d-x)^{2}},\qquad\lambda=\frac{Q}{L}=1{.}0\times10^{-7}\ \mathrm{C/m}$
2. Integre ao longo da barra:
  
  $E=k\lambda\int_{0}^{L}\frac{dx}{(L+d-x)^{2}}=k\lambda\Bigl(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}\Bigr)=\frac{kQ}{d\,(d+L)}$
3. Com d = 0,05 m e L = 0,10 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}05)(0{.}15)}=1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Resposta

1,198 × 10⁴ N/C, na direção da barra e no sentido de afastamento desta. Quando d é muito maior do que L, a expressão aproxima-se de kQ/d², o campo de uma carga pontual.

$E=\frac{kQ}{d\,(d+L)}\approx1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Uma barra na mediatriz e a linha infinita 4 passos
Uma barra de 20 cm tem uma carga de 10 nC. Determine o campo na mediatriz, a 10 cm do ponto médio, e compare-o com o de uma linha infinita com a mesma carga por metro.

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1. Coloque a barra sobre o eixo x, de −L/2 a L/2, e P em (0, y). Os elementos nas posições x e −x estão à mesma distância de P. As componentes dos seus campos segundo x anulam-se e as componentes segundo y somam-se. Integre, portanto, a componente segundo y:
  
  $dE_y=\frac{k\lambda\,dx}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
2. Integre, usando ∫dx/(x² + y²)^(3/2) = x/(y²√(x² + y²)):
  
  $E=k\lambda y\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dx}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}=\frac{k\lambda L}{y\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}=\frac{kQ}{y\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}$
3. Com λ = 5,0 × 10⁻⁸ C/m, y = 0,10 m e L = 0,20 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}10)\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}10^{2}}}\approx6355\ \mathrm{N/C}$
4. Faça L tender para infinito: a raiz quadrada aproxima-se de L/2 e obtém-se
  
  $E\to\frac{2k\lambda}{y}=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(5{.}0\times10^{-8})}{0{.}10}\approx8988\ \mathrm{N/C}$
Resposta

6 355 N/C, perpendicular à barra. A linha infinita produz 8 988 N/C, pelo que o campo da barra finita corresponde a 70,7% desse valor, ou seja, sin 45°: cada metade da barra subtende 45° em relação à perpendicular.

$E\approx6355\ \mathrm{N/C}=0{.}707\cdot\frac{2k\lambda}{y}$
Um anel no seu eixo e o máximo do campo 4 passos
Um anel de raio 10 cm tem uma carga de 10 nC. Determine o campo no eixo, a 10 cm do centro, e a distância a que o campo axial é máximo.

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1. Todos os elementos estão à mesma distância √(z² + R²) de P. As componentes transversais anulam-se ao longo do anel, e cada elemento contribui com dE·z/r segundo o eixo:
  
  $E=\int\frac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r}=\frac{kz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\int dq=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$
2. Para z = R = 0,10 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}10)}{(0{.}02)^{3/2}}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
3. Para encontrar o máximo, imponha dE/dz = 0:
  
  $\frac{dE}{dz}=kQ\,\frac{\left(z^{2}+R^{2}\right)-3z^{2}}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{5/2}}=0\ \Rightarrow\ z=\frac{R}{\sqrt{2}}\approx7{.}07\ \mathrm{cm}$
4. Nesse ponto:
  
  $E_{\max}=\frac{kQ\,(R/\sqrt{2})}{\left(\tfrac{3}{2}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{2kQ}{3\sqrt{3}\,R^{2}}\approx3459\ \mathrm{N/C}$
Resposta

3 178 N/C a 10 cm; o máximo é 3 459 N/C, em z = 7,07 cm. No centro, o campo é nulo.

$E(0{.}10\ \mathrm{m})\approx3178\ \mathrm{N/C},\qquad E\Bigl(\frac{R}{\sqrt{2}}\Bigr)=E_{\max}\approx3459\ \mathrm{N/C}$
Um disco no seu eixo, decomposto em anéis 3 passos
Um disco de raio 10 cm tem uma carga de 10 nC uniformemente distribuída pela superfície. Determine o campo no eixo, a 1 cm do centro, e compare-o com o de um plano infinito com a mesma carga por metro quadrado.

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1. σ = Q/(πR²) = 3,183 × 10⁻⁷ C/m². Divida o disco em anéis de raio r e largura dr. Cada anel tem carga dq = σ·2πr dr e produz o campo axial de um anel:
  
  $dE=\frac{kz\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}$
2. Integre de r = 0 até R, com a substituição u = z² + r², du = 2r dr:
  
  $E=\pi k\sigma z\int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}u^{-3/2}\,du=2\pi k\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)$
3. Para z = 0,01 m:
  
  $E=\frac{3{.}183\times10^{-7}}{2\,(8{.}854\times10^{-12})}\Bigl(1-\frac{0{.}01}{\sqrt{0{.}01^{2}+0{.}10^{2}}}\Bigr)=(1{.}798\times10^{4})(0{.}9005)\approx1{.}619\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Resposta

1,619 × 10⁴ N/C, ou seja, 90,0% do campo do plano infinito, σ/2ε₀ = 1,798 × 10⁴ N/C.

$E\approx1{.}619\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\approx0{.}900\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
Um semicírculo, no centro 3 passos
Uma barra fina dobrada em semicírculo de raio 10 cm tem uma carga de 10 nC. Determine o campo no centro da circunferência.

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1. λ = Q/(πR) = 3,183 × 10⁻⁸ C/m. Meça o ângulo φ a partir do diâmetro. O elemento na posição φ tem carga λR dφ e está à distância R. O seu simétrico, em π − φ, anula a componente segundo o diâmetro, restando a componente perpendicular a este:
  
  $dE_\perp=\frac{k\lambda R\,d\varphi}{R^{2}}\sin\varphi$
2. Integre ao longo do semicírculo:
  
  $E=\frac{k\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{2k\lambda}{R}=\frac{2kQ}{\pi R^{2}}$
3. Substituindo os valores:
  
  $E=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{\pi\,(0{.}10)^{2}}\approx5722\ \mathrm{N/C}$
Resposta

5 722 N/C, segundo o eixo de simetria e no sentido de afastamento do ponto médio do arco. Uma linha infinita com o mesmo λ, à distância R, produz 2kλ/R, exatamente o mesmo valor.

$E=\frac{2k\lambda}{R}\approx5722\ \mathrm{N/C}$
Um quarto de circunferência, por componentes 3 passos
Um quarto de circunferência de raio 10 cm tem uma carga de 10 nC. Determine o campo no centro, integrando ambas as componentes.

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1. Coloque o arco entre φ = 0 e φ = π/2, com o centro na origem; λ = Q/(πR/2) = 6,366 × 10⁻⁸ C/m. Um elemento na posição φ produz em P um campo dirigido para longe do próprio elemento, segundo −(cos φ, sin φ). Aqui, nenhum elemento tem um par que anule uma das componentes:
  
  $dE_x=-\frac{k\lambda}{R}\cos\varphi\,d\varphi,\qquad dE_y=-\frac{k\lambda}{R}\sin\varphi\,d\varphi$
2. Integre de 0 a π/2:
  
  $E_x=E_y=-\frac{k\lambda}{R}=-\frac{(8{.}988\times10^{9})(6{.}366\times10^{-8})}{0{.}10}\approx-5722\ \mathrm{N/C}$
3. Combine as duas componentes:
  
  $|E|=\sqrt{2}\,\frac{k\lambda}{R}\approx8092\ \mathrm{N/C}$
Resposta

8 092 N/C, segundo a bissetriz a 45°, no sentido de afastamento do arco. Pela simetria, obtém-se o mesmo resultado: E = (2kλ/R) sin(θ₀/2), com θ₀ = 90°.

$|E|=\sqrt{2}\,\frac{k\lambda}{R}=\frac{2k\lambda}{R}\sin45^{\circ}\approx8092\ \mathrm{N/C}$
O potencial de um anel e o campo que dele se obtém 2 passos
Determine o potencial no eixo do anel do problema 3, em z = 10 cm, e obtenha o campo a partir do potencial.

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1. Os potenciais somam-se como escalares, e todos os elementos estão à mesma distância:
  
  $V=\int\frac{k\,dq}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{89{.}88}{\sqrt{0{.}02}}\approx635{.}5\ \mathrm{V}$
2. Derive em relação à coordenada axial:
  
  $E_z=-\frac{dV}{dz}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
Resposta

V = 635,5 V, e −dV/dz recupera os 3 178 N/C do problema 3, sem ser necessário decompor o campo em componentes.

$V\approx635{.}5\ \mathrm{V},\qquad E_z=-\frac{dV}{dz}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
Uma barra com distribuição de carga não uniforme 4 passos
Uma barra ocupa o eixo x de x = 0 a x = 0,50 m e tem densidade linear de carga λ = αx, com α = 4,0 × 10⁻⁸ C/m². Determine a carga total e o campo em x = −0,10 m.
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1. Como λ varia ao longo da barra, a carga total também se calcula por integração:
  
  $Q=\int_{0}^{L}\alpha x\,dx=\frac{\alpha L^{2}}{2}=\frac{(4{.}0\times10^{-8})(0{.}50)^{2}}{2}=5{.}0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$
2. O elemento na posição x está à distância x + d de P, com d = 0,10 m. Todos os elementos produzem em P um campo no sentido −x:
  
  $E=k\alpha\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x+d)^{2}}$
3. Escreva x como (x + d) − d e integre cada parcela:
  
  $\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x+d)^{2}}=\ln\frac{L+d}{d}-\frac{L}{L+d}=\ln6-\frac{5}{6}\approx0{.}9584$
4. Substituindo os valores:
  
  $E=(8{.}988\times10^{9})(4{.}0\times10^{-8})(0{.}9584)\approx344{.}6\ \mathrm{N/C}$
Resposta

Q = 5,0 nC e E = 344,6 N/C, no sentido −x. Os mesmos 5,0 nC uniformemente distribuídos produziriam kQ/(d(d + L)) = 749 N/C. Nesta barra, a maior parte da carga encontra-se na extremidade mais afastada.

$Q=5{.}0\ \mathrm{nC},\qquad E\approx344{.}6\ \mathrm{N/C}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Uma barra de 30 cm tem uma carga de −6,0 nC uniformemente distribuída. Determine o campo no seu prolongamento, a 10 cm de uma extremidade.

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1 348 N/C, dirigido para a barra.

$E=\frac{k|Q|}{d\,(d+L)}\approx1348\ \mathrm{N/C}$
Um fio retilíneo muito comprido tem uma carga de 2,0 μC por metro. Determine o campo a 4,0 cm do fio.

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8,988 × 10⁵ N/C, no sentido de afastamento do fio.

$E=\frac{2k\lambda}{r}\approx8{.}988\times10^{5}\ \mathrm{N/C}$
Mostre que o campo axial de um anel se aproxima de kQ/z² quando z é muito maior do que R e determine a distância a partir da qual o desvio em relação a esse valor é inferior a 1%.

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A razão é (1 + R²/z²)^(−3/2), que tende para 1; atinge 0,99 em z = 12,2R.

$\frac{E}{kQ/z^{2}}=\Bigl(1+\frac{R^{2}}{z^{2}}\Bigr)^{-3/2}\ge0{.}99\ \Leftrightarrow\ z\ge12{.}2R$
Um disco de raio 5,0 cm tem densidade superficial de carga σ = 2,0 μC/m². Determine o potencial no centro e a 5,0 cm do centro sobre o eixo.

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5 647 V no centro e 2 339 V em z = 5,0 cm.

$V(0)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\approx5647\ \mathrm{V},\qquad V(R)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\approx2339\ \mathrm{V}$
Um anel de raio R tem uma carga +Q uniformemente distribuída por uma metade e −Q pela outra. Determine o campo no centro.

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4kQ/(πR²), da metade positiva para a negativa: cada metade produz 2kQ/(πR²), e ambos os campos têm o mesmo sentido.

$E=2\cdot\frac{2kQ}{\pi R^{2}}=\frac{4kQ}{\pi R^{2}}$
Uma barra de comprimento L tem uma carga Q uniformemente distribuída. Determine o potencial na mediatriz, a uma distância y da barra.

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V = (2kQ/L) ln[(L/2 + √(y² + L²/4))/y].

$V=\frac{2kQ}{L}\ln\frac{L/2+\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}{y}$

O campo de um anel é máximo em z = R/√2 e nulo no centro

Prima Máximo do campo do anel. No centro, a cada elemento do anel corresponde outro diametralmente oposto, pelo que o campo é exatamente zero. Muito longe, sobre o eixo, o anel comporta-se como uma carga pontual e o campo decresce como 1/z². Entre estas regiões, o campo tem de crescer e depois diminuir. Ao impor dE/dz = 0 para kQz/(z² + R²)^(3/2), obtém-se z² + R² = 3z². O máximo ocorre, portanto, em z = R/√2 ≈ 0,707R, onde E = 2kQ/(3√3 R²). Para um anel de raio 10 cm com 10 nC, o valor é 3 459 N/C, apenas 38,5% do campo que a mesma carga pontual produziria a 10 cm de distância. Perto do anel, a maior parte do campo de cada elemento é transversal ao eixo, e essas componentes anulam-se.

Perto de um disco grande com carga, o campo quase não varia com a distância

Prima Perto de um disco. A 1 cm de um disco de raio 10 cm, sobre o eixo, o campo é 90,0% de σ/2ε₀, o campo de um plano infinito. A 1 mm, atinge 99,0%. A explicação está na geometria da fórmula. Escreva 1 − z/√(z² + R²) como 1 − cos α, sendo α o ângulo entre o eixo e a linha que une P ao bordo. O campo fica E = kσΩ, onde Ω = 2π(1 − cos α) é o ângulo sólido subtendido pelo disco em P. Para uma superfície plana com carga uniforme, a componente perpendicular do campo depende apenas da porção do céu ocupada pela carga. Um plano infinito ocupa sempre metade do céu, Ω = 2π, pelo que o campo a 1 mm é igual ao campo a 1 km. Ao afastar P, cada elemento fica mais longe e contribui menos, mas uma área maior do plano passa a contribuir com um ângulo favorável, compensando exatamente essa redução.

Um semicírculo e uma linha infinita produzem o mesmo campo

Prima Centro do semicírculo. Uma carga de 10 nC distribuída por um semicírculo de raio 10 cm produz 5 722 N/C no centro. A tabela volta a indicar 5 722 N/C para uma linha retilínea infinita com a mesma carga por metro, à distância de 10 cm. A igualdade verifica-se elemento a elemento. Visto de P, um segmento dx da linha, numa direção que faz um ângulo θ com a perpendicular, está à distância R/cos θ e subtende um ângulo dθ = cos²θ dx/R. O seu campo, kλ dx cos²θ/R², é então kλ dθ/R e depende apenas do ângulo. O elemento do arco que subtende o mesmo dθ tem comprimento R dθ, está à distância R e produz o mesmo campo kλ dθ/R, na mesma direção e sentido. Assim, uma barra retilínea e o arco de raio R que subtende os mesmos ângulos produzem campos iguais. Defina θ₀ abaixo de 180°: a última linha da tabela corresponde a essa barra.

Percurso de aprendizagem

De onde vêm os campos

Referências (3)

The method and four of the page's closed forms, each derived there: the line segment above its midpoint and the infinite line as its limit (Examples 5.5, 5.6), the ring on its axis (5.7), the disk on its axis and the infinite plane σ/(2ε₀) (5.8, Eq. 5.15): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 5.5, “Calculating Electric Fields of Charge Distributions”.
The potentials on the axis of a ring and a disk and on the bisector of a finite line (Examples 7.13–7.15), and the ring's field recovered as E_z = −∂V/∂z (Example 7.18): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), sections 7.3, “Calculations of Electric Potential”, and 7.4, “Determining Field from Potential”.
The standard graduate-entry text in which the field of a continuous distribution is written as the integral of k dq r̂/r²: D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Cambridge University Press (2017). DOI 10.1017/9781108333511

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.