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Explorador da lei do inverso do quadrado

A força, a irradiância e o fluxo decaem todos como 1/r² — porque se espalham sobre uma esfera cuja área de superfície cresce como 4πr².

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A Voyager 1 funciona com 22 W — e ainda conseguimos ouvi-la

A Voyager 1 está agora a ~163 UA do Sol (≈ 2,4 × 10¹³ m). Substituindo isso na fórmula da irradiância: E = 3,828 × 10²⁶ / (4π × (2,4 × 10¹³)²) ≈ 0,051 W/m² — cerca de 26 600 vezes mais fraco que a luz solar na Terra, que é exatamente 163². Painéis solares seriam inúteis. Por isso a Voyager funciona com decaimento radioativo (um gerador termoelétrico de radioisótopos), produzindo cerca de 250 W de eletricidade utilizável. Seu transmissor de rádio emite a 22 W — mais ou menos o que consome uma fita de LED fraca. Quando o sinal chega às antenas da Rede do Espaço Profundo da Terra (com 70 m de diâmetro), a lei do 1/r² já espalhou esses 22 W por uma esfera do tamanho do sistema solar interno. A potência recebida fica em torno de 10⁻¹⁸ W. É por isso que as antenas receptoras precisam ser enormes e por que a NASA precisa resfriar os receptores perto do zero absoluto só para conseguir ouvir o sinal. Mesma lei, mesma geometria — seja a luz do sol aquecendo seu rosto ou o sussurro do artefato mais distante já criado pela humanidade.

Por que o dobro da distância dá um quarto do brilho

A regra é pura geometria. A energia que sai de uma fonte pontual se distribui uniformemente sobre a superfície de uma esfera em expansão, cuja área cresce como 4πr². Ao dobrar a distância, essa mesma energia cobre uma área quatro vezes maior, então a intensidade cai para um quarto, não para a metade. É por isso que você esfria tão rápido ao se afastar de uma fogueira, e por isso esta ferramenta traça gravidade, luz e força elétrica sobre uma mesma curva.

A lei 1/r² é uma impressão digital do espaço 3D

O expoente não é arbitrário: equivale ao número de dimensões espaciais menos um. Obtemos 1/r² porque a área de uma esfera cresce como r² em três dimensões. Num universo hipotético de 4D, a gravidade decairia como 1/r³, e Paul Ehrenfest mostrou em 1917 que as órbitas planetárias seriam então instáveis — os planetas cairiam na estrela ou escapariam. A existência de sistemas solares estáveis, e de vida, talvez dependa de o espaço ter exatamente três dimensões.

Problema resolvido na íntegra

  1. A única órbita na qual um satélite paira imóvel 5 passos

    A Terra atrai 1 kg à sua superfície com 9,82 N. Use apenas isso para encontrar a única órbita na qual um satélite permanece imóvel sobre um ponto do equador. Este é o modo Gravidade com m₁ = 5,972 × 10²⁴ kg, m₂ = 1 kg e r = 6371 km.

    1. A lei de Newton com os números inseridos. O que importa para o resto não é o valor de 9,82 N, mas sim o produto GM = 3,986 × 10¹⁴ em unidades do SI, porque a própria massa do satélite está prestes a simplificar-se e a não voltar a aparecer.

      r2=(6.371×106)2=4.06×1013 m2;F=Gm1m2r2=3.986×1014×14.06×1013=9.82 Nr^{2}=(6.371\times10^{6})^{2}=4.06\times10^{13}\ \mathrm{m^{2}};\qquad F=\frac{Gm_1m_2}{r^{2}}=\frac{3.986\times10^{14}\times1}{4.06\times10^{13}}=9.82\ \mathrm{N}

    2. Uma órbita circular é essa mesma aceleração gravítica, gasta como aceleração centrípeta. Ao igualar as duas, elimina-se a massa em órbita e obtém-se uma única relação entre um raio e uma velocidade angular.

      GMr2=ω2r⟹r3=GMω2\frac{GM}{r^{2}}=\omega^{2}r\quad\Longrightarrow\quad r^{3}=\frac{GM}{\omega^{2}}

    3. A velocidade angular é imposta, não escolhida: para permanecer sobre um ponto fixo, o satélite tem de rodar exatamente com a Terra. A Terra dá uma volta em 86 164 s em vez de 86 400 s, porque o dia solar também tem de compensar a distância que a Terra percorreu ao longo da sua órbita. Usar 86 400 coloca a órbita 77 km acima do devido, e um satélite no raio errado não se mantém sobre o seu ponto.

      ω=2π86 164 s=7.292×10−5 rad/s,ω2=5.318×10−9 s−2\omega=\frac{2\pi}{86\,164\ \mathrm{s}}=7.292\times10^{-5}\ \mathrm{rad/s}, \qquad \omega^{2}=5.318\times10^{-9}\ \mathrm{s^{-2}}

    4. Calcule a raiz cúbica. Os 42 163 km são medidos a partir do centro da Terra, pelo que subtraindo os 6371 km já indicados no painel restam cerca de 35 790 km de altitude — os habituais 35 786 km citados correspondem à mesma órbita medida a partir do raio equatorial, que é 7 km maior.

      r3=3.986×10145.318×10−9=7.495×1022 m3 ⟹ r=4.2163×107 m=42 163 kmr^{3}=\frac{3.986\times10^{14}}{5.318\times10^{-9}}=7.495\times10^{22}\ \mathrm{m^{3}} \ \Longrightarrow\ r=4.2163\times10^{7}\ \mathrm{m}=42\,163\ \mathrm{km}

    5. A gravidade a essa distância obedece à própria lei que esta página representa. O raio aumentou por um fator de 6,62, pelo que o quadrado desse valor indica o quanto a atração se tornou mais fraca.

      (42 1636371)2=43.8⟹g(r)=9.8243.8=0.2242 m/s2\left(\frac{42\,163}{6371}\right)^{2}=43.8\quad\Longrightarrow\quad g(r)=\frac{9.82}{43.8}=0.2242\ \mathrm{m/s^{2}}

    Resposta

    A ferramenta apresenta 9,82 N sobre 1 kg, para um quadrado da distância de 4,06 × 10¹³ m². O que decorre daqui não é uma altitude escolhida por alguém: 42 163 km é o único raio cujo período orbital coincide com a rotação da Terra, pelo que a órbita geoestacionária é uma solução e não uma opção de projeto. Isso faz da cintura geoestacionária um único círculo de 264 900 km de perímetro, e qualquer satélite que deva permanecer fixo — televisão, meteorologia, a maioria dos retransmissores — tem de se posicionar num ponto desse círculo. Um grau desse círculo corresponde a 736 km, razão pela qual as posições são atribuídas por tratado internacional em vez de serem simplesmente reivindicadas. E a atração a essa distância é 43,8 vezes mais fraca do que aos seus pés, o que corresponde à curva 1/r² desta página acompanhada até seis raios e meio da Terra.

    rGEO=GMω23=42 163 km,2πrGEO=264 900 kmr_{\mathrm{GEO}}=\sqrt[3]{\frac{GM}{\omega^{2}}}=42\,163\ \mathrm{km}, \qquad 2\pi r_{\mathrm{GEO}}=264\,900\ \mathrm{km}
Referências (1)
  • Voyager transmitter power, antenna sizes and received signal levels: R. Ludwig and J. Taylor, "Voyager Telecommunications." DESCANSO Design and Performance Summary Series, Article 4. Jet Propulsion Laboratory, 2002.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.