Laboratório de Momento e Colisões

Simule colisões de carrinhos em 1D para explorar a conservação do momento, as mudanças na energia cinética e o coeficiente de restituição.

A quantidade de movimento conserva-se em qualquer colisão	$m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2$
Restituição: e = 1 elástica; e = 0 ficam colados	$v_2-v_1=e\,(u_1-u_2),\qquad 0\le e\le1$
Impulso: a variação da quantidade de movimento	$J=\bar F\,\Delta t=m(v-u)=\Delta p$

Exemplo resolvido — Laboratório de Momento e Colisões

Momento Inicial (Pi)	3 kg·m/s
Carrinho 1 depois (v₁)	−1,8 m/s
Carrinho 2 depois (v₂)	2,2 m/s
Velocidade de afastamento	4 m/s
Momento Final (Pf)	3 kg·m/s
Energia Inicial (Ki)	10,5 J
Energia Final (Kf)	10,5 J
Energia cinética perdida	0 J (0%)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Laboratório de Momento e Colisões

A quantidade de movimento de um corpo é o produto da sua massa pela velocidade, p = mv, e numa só dimensão o sinal indica o sentido. Durante o choque, os dois carrinhos empurram-se apenas um ao outro; por isso, a quantidade de movimento total permanece rigorosamente a mesma antes e depois, independentemente do que aconteça à energia cinética.

O que significa cada símbolo

p: quantidade de movimento, mv, em kg·m/s. O sentido para a direita é positivo; logo, um carrinho que se desloque para a esquerda tem quantidade de movimento negativa.
u: a velocidade antes da colisão: u₁ para o carrinho 1, à esquerda; u₂ para o carrinho 2, à direita. Os carrinhos só se encontram se u₁ > u₂.
v: a velocidade após a colisão.
e: o coeficiente de restituição: a velocidade de afastamento a dividir pela velocidade de aproximação. O valor 1 devolve toda a energia cinética do movimento relativo; 0 faz com que fiquem colados.
J: o impulso, ou seja, a variação da quantidade de movimento de um carrinho, em N·s. Ao longo de um contacto com duração Δt, é a força média multiplicada por Δt.

De onde vem a fórmula

O impulso é a variação da quantidade de movimento. É a segunda lei de Newton integrada ao longo do contacto: a força multiplicada pelo tempo durante o qual atua corresponde à quantidade de movimento transferida.
$J=\int F\,dt=\bar F\,\Delta t=m(v-u)=\Delta p$
Pela terceira lei de Newton, os dois impulsos são iguais e opostos. Cada carrinho empurra o outro com a mesma força com que é empurrado e durante o mesmo tempo de contacto; logo, tudo o que o carrinho 2 ganha, o carrinho 1 perde.
$\begin{gathered}m_2(v_2-u_2)=-m_1(v_1-u_1)\\ \Rightarrow\ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2\end{gathered}$
Temos uma equação para duas incógnitas, e a restituição fornece a segunda. Compara a rapidez de separação com a rapidez de aproximação, sendo o único ponto em que o tipo de colisão intervém.
$v_2-v_1=e\,(u_1-u_2)$
Resolve-se o sistema. São estas as relações que a tabela de resultados calcula.
$\begin{gathered}v_1=\frac{(m_1-em_2)u_1+m_2(1+e)u_2}{m_1+m_2}\\ v_2=\frac{(m_2-em_1)u_2+m_1(1+e)u_1}{m_1+m_2}\end{gathered}$
A perda de energia cinética depende apenas da velocidade relativa. É nula quando e = 1 e atinge o máximo quando e = 0, no momento em que os carrinhos se colam; as mesmas massas com a mesma velocidade relativa perdem exatamente a mesma energia, seja qual for a velocidade do conjunto.
$\Delta K=\tfrac12\,\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,(1-e^{2})\,(u_1-u_2)^{2}$

Pressupõe: Os carrinhos movem-se na mesma reta e tocam apenas um no outro durante o impacto; assim, nem o atrito nem a calha exercem qualquer impulso enquanto o contacto dura. O coeficiente de restituição resume-se a um único número para o par, ainda que em materiais reais este decresça com a violência do choque. As paredes da animação ficam fora do sistema dos dois carrinhos: o ressalto na parede inverte o sentido de um carrinho, o que altera a quantidade de movimento total mas mantém a energia cinética intacta.

Ambos os carrinhos recebem o mesmo impulso

Sejam quais forem as massas, os dois carrinhos recebem impulsos de igual módulo e sentidos opostos. Cada um empurra o outro rigorosamente com a mesma força com que é empurrado, tal como estabelece a terceira lei de Newton, e durante o mesmo tempo de contacto: a conservação da quantidade de movimento resume-se ao cancelamento mútuo desses dois impulsos. Clique em Leve rebate em pesado: o impulso sobre o carrinho de 8 kg é 5,3333 N·s, e a quantidade de movimento do carrinho de 1 kg varia exatamente o mesmo valor em sentido contrário, de 3 para −2,3333 kg·m/s. A velocidade do carrinho mais leve sofre uma alteração oito vezes maior por ter apenas um oitavo da massa. Uma mosca que embata num para-brisas empurra o vidro com tanta força quanto o vidro a empurra a ela; os efeitos divergem apenas pela massa que cada força tem de acelerar.

O número que define o repique

O coeficiente de restituição e é o comando principal desta ferramenta. É a razão entre a velocidade de afastamento e a de aproximação: e = 1 representa um ressalto perfeito que nenhuma bola real alcança (uma superbola atinge cerca de 0,9), ao passo que e = 0 significa que os carrinhos ficam colados como argila molhada. Pode medi-lo em casa — basta deixar cair uma bola e dividir a altura do ressalto pela da queda, obtendo e². Uma bola de basquetebol que ressalte até cerca de 64% da altura de queda tem e ≈ 0.8.

A Voyager 2 jogou bilhar com Júpiter

A assistência gravitacional de uma sonda segue exatamente estas regras sem que nada chegue a se tocar. No referencial do planeta, o sobrevoo é perfeitamente elástico (e = 1): a sonda parte com a mesma velocidade com que chegou, apenas redirecionada. Mas no referencial do Sol ela pode ganhar quase o dobro da velocidade orbital do planeta. Foi assim que a Voyager 2 ganhou cerca de 10 km/s em Júpiter — emprestados do movimento orbital do planeta, que em troca desacelerou uma quantidade totalmente desprezível.

COLISÕES — O MOMENTO SEMPRE SOBREVIVE, A ENERGIA MUITAS VEZES NÃO

Qual colisão você está modelando?

Toda colisão aqui conserva o momento: m₁u₁ + m₂u₂ é o mesmo antes e depois, sempre. O que separa os casos é quanta energia cinética sobrevive, e um único número decide isso — o coeficiente de restituição e, a velocidade de separação dividida pela de aproximação. Fixe e primeiro; depois a razão entre as massas diz quem termina indo para onde.

Perfeitamente elástica (e = 1) — a energia cinética sobrevive inteira e = 1, K′ = K

Perfeitamente inelástica (e = 0) — grudam e perdem o máximo e = 0, v₁ = v₂

Parcialmente elástica (0 < e < 1) — o meio-termo do mundo real e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Pesado atinge leve — o pequeno é lançado m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Leve atinge pesado — ele volta quicando m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Perfeitamente elástica (e = 1) — a energia cinética sobrevive inteira

O que você sabe: Nada se deforma em definitivo e nada aquece: os carrinhos se separam exatamente tão rápido quanto se aproximaram. Momento e energia cinética são ambos conservados.

Restituição: e = 1, K′ = K

Exemplo resolvido: 2 kg a +3 m/s encontra 2 kg a −3 m/s com e = 1 → saem a −3 e +3 m/s. As velocidades simplesmente trocam, e os 18 J continuam lá.

Abrir este caso: Rebote de bolas de bilhar

Perfeitamente elástica (e = 1) — a energia cinética sobrevive inteira. Massas iguais com e = 1: os carrinhos trocam velocidades e guardam cada joule. Nada se deforma em definitivo e nada aquece: os carrinhos se separam exatamente tão rápido quanto se aproximaram. Momento e energia cinética são ambos conservados. — Massas iguais com e = 1: os carrinhos trocam velocidades e guardam cada joule.

Perfeitamente inelástica (e = 0) — grudam e perdem o máximo

O que você sabe: Os carrinhos saem com uma única velocidade compartilhada, então a velocidade de separação é zero. O momento continua fechando, mas a perda de energia cinética é a maior possível.

Restituição: e = 0, v₁ = v₂

Exemplo resolvido: 2 kg a 3 m/s atinge 3 kg parado com e = 0 → ambos seguem a 1,2 m/s, e 5,4 J dos 9 J iniciais sumiram: 60 % perdidos.

Abrir este caso: Colisão inelástica aderente

Perfeitamente inelástica (e = 0) — grudam e perdem o máximo. Com e = 0 os carrinhos seguem juntos, e a energia que falta virou dano. Os carrinhos saem com uma única velocidade compartilhada, então a velocidade de separação é zero. O momento continua fechando, mas a perda de energia cinética é a maior possível. — Com e = 0 os carrinhos seguem juntos, e a energia que falta virou dano.

Parcialmente elástica (0 < e < 1) — o meio-termo do mundo real

O que você sabe: Os carrinhos até se separam, mas mais devagar do que se aproximaram. e é a razão entre as duas: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂).

Restituição: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Exemplo resolvido: 3 kg a +4 m/s encontra 2 kg a −2 m/s com e = 0,5 → v₁ = +0,4 e v₂ = +3,4 m/s. Os 6 m/s de aproximação voltam como 3 m/s, e 16,2 J dos 28 J se perdem.

Abrir este caso: Colisão de carrinhos de bate-bate

Parcialmente elástica (0 < e < 1) — o meio-termo do mundo real. Com 0 < e < 1 eles se afastam mais devagar do que se encontraram, e a diferença sai como calor. Os carrinhos até se separam, mas mais devagar do que se aproximaram. e é a razão entre as duas: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂). — Com 0 < e < 1 eles se afastam mais devagar do que se encontraram, e a diferença sai como calor.

Pesado atinge leve — o pequeno é lançado

O que você sabe: Colisão elástica com m₁ muito maior que m₂. O carrinho pesado quase não sente o impacto; o leve sai mais rápido do que qualquer coisa chegou.

Restituição: m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Exemplo resolvido: 8 kg a 3 m/s atinge 1 kg parado de forma elástica → o pesado só desacelera para 2,33 m/s enquanto o leve sai a 5,33 m/s, perto do teto 2u₁.

Abrir este caso: Pesado atinge leve

Pesado atinge leve — o pequeno é lançado. Com m₁ ≫ m₂ o carrinho pesado segue quase inalterado e o leve é arremessado à frente. Colisão elástica com m₁ muito maior que m₂. O carrinho pesado quase não sente o impacto; o leve sai mais rápido do que qualquer coisa chegou. — Com m₁ ≫ m₂ o carrinho pesado segue quase inalterado e o leve é arremessado à frente.

Leve atinge pesado — ele volta quicando

O que você sabe: Colisão elástica com m₁ muito menor que m₂. O carrinho que chega inverte o sentido; o pesado quase não se move.

Restituição: m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Exemplo resolvido: 1 kg a 3 m/s atinge 8 kg parado de forma elástica → o leve volta a −2,33 m/s e o pesado avança devagar a 0,67 m/s.

Abrir este caso: Leve rebate em pesado

Leve atinge pesado — ele volta quicando. Com m₁ ≪ m₂ o carrinho leve volta a quase a velocidade de chegada e o pesado mal se mexe. Colisão elástica com m₁ muito menor que m₂. O carrinho que chega inverte o sentido; o pesado quase não se move. — Com m₁ ≪ m₂ o carrinho leve volta a quase a velocidade de chegada e o pesado mal se mexe.

Referências (1)

Insight block 3 — the gravity assist as an elastic collision with a planet: G. A. Flandro, "Solar electric low-thrust missions to Jupiter with swingby continuation to the outer planets." Journal of Spacecraft and Rockets 5(9), 1029–1033, 1968 — the swingby trajectories that became the Voyager Grand Tour.

Problemas resolvidos na íntegra

Um carrinho de 2 kg a colidir elasticamente com um carrinho de 3 kg 5 passos
Um carrinho de 2 kg a 3 m/s colide elasticamente com um carrinho de 3 kg a −1 m/s. Calcule ambas as velocidades finais recorrendo às duas leis de conservação e avalie a perda de energia caso os carrinhos fiquem colados.
1. Primeiro a quantidade de movimento, pois esta conserva-se seja qual for o tipo de colisão. Os sinais indicam os sentidos, pelo que o −1 do segundo carrinho subtrai.
  
  $p:\quad m_1u_1+m_2u_2=2(3)+3(-1)=3\ \mathrm{kg\,m/s}$
2. A energia cinética é a segunda restrição, e é a única que só se conserva quando a colisão é elástica. Entram 10,5 J.
  
  $K:\quad \tfrac12(2)(3)^2+\tfrac12(3)(-1)^2=9+1.5=10.5\ \mathrm{J}$
3. Não é preciso resolver um sistema de duas equações quando uma delas é quadrática. Numa colisão elástica, a velocidade relativa inverte o sentido: os carrinhos afastam-se à mesma velocidade com que se aproximaram, e esta relação linear substitui com exatidão a equação da energia.
  
  $e=1:\quad v_2-v_1=e(u_1-u_2)=4,\qquad m_1v_1+m_2v_2=3$
4. Duas equações lineares fornecem então diretamente ambas as velocidades. O carrinho leve recua; o pesado é empurrado para a frente, mas termina com uma velocidade inferior àquela com que o leve chegou.
  
  $\Longrightarrow\ v_1=-1.8\ \mathrm{m/s},\qquad v_2=2.2\ \mathrm{m/s}$
5. Ajustando a restituição para zero, os carrinhos passam a deslocar-se juntos à média ponderada das suas velocidades, 0,6 m/s, transportando 0,9 J.
  
  $e=0:\ v=\frac{3}{5}=0.6\ \mathrm{m/s},\ K_f=\tfrac12(5)(0.6)^2=0.9\ \mathrm{J},\ \frac{K_i-K_f}{K_i}=\frac{9.6}{10.5}=91.43\%$
Resposta

O simulador apresenta 3 kg·m/s antes e depois, bem como 10,5 J antes e depois: conservam-se quer a quantidade de movimento quer a energia, o que define uma colisão elástica. Mude a restituição para 0 e a quantidade de movimento continuará a marcar 3, enquanto a energia cinética posterior cai para 0,9 J. Desaparecem 91,43% da energia cinética em calor, som e deformação permanente, e a quantidade de movimento nem dá por isso.

$e=1:\ v_1=-1.8,\ v_2=2.2\ \mathrm{m/s},\ K_f=K_i;\qquad e=0:\ v=0.6\ \mathrm{m/s},\ \frac{\Delta K}{K_i}=91.43\%$
Dois carrinhos que se unem 4 passos
Um carrinho de 4,0 kg que avança para a direita a 2,5 m/s encontra outro de 1,0 kg que se desloca para a esquerda a 5,0 m/s, ficando ambos acoplados. Determine a velocidade comum do conjunto e a energia cinética dissipada.

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Mostrar solução
1. Momento linear antes do choque, considerando positivo o sentido para a direita (a velocidade do carrinho de 1,0 kg é −5,0 m/s):
  
  $P_i=4(2{.}5)+1(-5)=5\ \mathrm{kg\,m/s}$
2. O conjunto parte com uma única velocidade, concentrando todo esse momento linear:
  
  $(m_1+m_2)v=P_i\ \Rightarrow\ v=\frac{5}{5}=1\ \mathrm{m/s}$
3. Energia cinética antes e depois do choque:
  
  $K_i=\tfrac12(4)(2{.}5)^{2}+\tfrac12(1)(5)^{2}=12{.}5+12{.}5=25\ \mathrm{J},\qquad K_f=\tfrac12(5)(1)^{2}=2{.}5\ \mathrm{J}$
4. A diferença é a energia perdida, e a fórmula da velocidade relativa permite obtê-la sem calcular a velocidade final:
  
  $\Delta K=25-2{.}5=22{.}5\ \mathrm{J}=\tfrac12\cdot\frac{4\cdot1}{4+1}\cdot(2{.}5+5)^{2}$
Resposta

1 m/s para a direita, perdendo-se 22,5 J dos 25 J iniciais: 90%. O carrinho mais leve chegou com tanta energia cinética quanto o mais pesado, mas o conjunto segue no sentido do pesado. É o momento linear que determina o rumo, não a energia.

$v=1\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta K=22{.}5\ \mathrm{J}\ (90\%)$
Um ressalto com e = 0,6 4 passos
Um carrinho de 1,5 kg a 4,0 m/s atinge um carrinho de 2,5 kg em repouso. O coeficiente de restituição é 0,6. Determine ambas as velocidades após o choque e a energia cinética dissipada.

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1. Momento linear:
  
  $1{.}5(4)+2{.}5(0)=1{.}5v_1+2{.}5v_2=6$
2. Restituição: os corpos afastam-se a 0,6 vezes os 4,0 m/s com que se encontraram.
  
  $v_2-v_1=0{.}6\,(4-0)=2{.}4$
3. Substituindo v₂ = v₁ + 2,4 na equação do momento linear:
  
  $1{.}5v_1+2{.}5(v_1+2{.}4)=6\ \Rightarrow\ 4v_1=0\ \Rightarrow\ v_1=0,\quad v_2=2{.}4\ \mathrm{m/s}$
4. Energia cinética antes e depois do choque:
  
  $K_i=\tfrac12(1{.}5)(4)^{2}=12\ \mathrm{J},\quad K_f=\tfrac12(2{.}5)(2{.}4)^{2}=7{.}2\ \mathrm{J},\quad \Delta K=4{.}8\ \mathrm{J}$
Resposta

O carrinho incidente imobiliza-se e o atingido sai a 2,4 m/s; perdem-se 4,8 J, ou seja, 40% da energia cinética. O carrinho 1 para porque m₁ = e m₂, ou seja, 1,5 = 0,6 × 2,5, o que anula o primeiro termo da expressão de v₁.

$v_1=0,\quad v_2=2{.}4\ \mathrm{m/s},\quad \Delta K=4{.}8\ \mathrm{J}\ (40\%)$
Determinar e a partir do desfecho 3 passos
Um carrinho de 1,0 kg a 4,0 m/s atinge um carrinho de 3,0 kg em repouso e recua a 0,50 m/s. Com que velocidade parte o carrinho de 3,0 kg e qual é o coeficiente de restituição?

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1. O recuo significa que a sua velocidade é agora negativa. O momento linear fornece a outra velocidade:
  
  $1(4)+3(0)=1(-0{.}5)+3v_2\ \Rightarrow\ v_2=\frac{4{.}5}{3}=1{.}5\ \mathrm{m/s}$
2. O coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade de afastamento e a de aproximação:
  
  $e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2}=\frac{1{.}5-(-0{.}5)}{4-0}=0{.}5$
3. Conferir a energia, que nunca pode ter aumentado:
  
  $K_i=\tfrac12(1)(4)^{2}=8\ \mathrm{J},\quad K_f=\tfrac12(1)(0{.}5)^{2}+\tfrac12(3)(1{.}5)^{2}=3{.}5\ \mathrm{J}$
Resposta

1,5 m/s e e = 0,5. Ajuste e para 0,5 com estas massas e a tabela devolve os −0,5 m/s de onde partiu o problema, com 4,5 J perdidos. Um valor medido de e superior a 1 implicaria ganho de energia cinética; sem uma mola ou carga interna pronta a disparar, o erro só pode ser da medição.

$v_2=1{.}5\ \mathrm{m/s},\qquad e=0{.}5$
Impulso e força média 4 passos
Um carrinho de 2,0 kg a 3,0 m/s colide com um carrinho de 3,0 kg em repouso e ambos se acoplam, como em Colisão inelástica aderente. O contacto dura 50 ms. Determine o impulso sobre cada carrinho e a força média entre eles. O que muda se um amortecedor macio prolongar o contacto para 200 ms?

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1. A velocidade comum, pela conservação do momento linear:
  
  $v=\frac{2(3)+3(0)}{2+3}=1{.}2\ \mathrm{m/s}$
2. O impulso é a variação do momento linear de cada carrinho:
  
  $J_2=3\,(1{.}2-0)=3{.}6\ \mathrm{N\,s},\qquad J_1=2\,(1{.}2-3)=-3{.}6\ \mathrm{N\,s}$
3. A força média é o quociente entre o impulso e o tempo de contacto:
  
  $\bar F=\frac{J}{\Delta t}=\frac{3{.}6}{0{.}050}=72\ \mathrm{N}$
4. O amortecedor altera o tempo de contacto, não as velocidades; logo, o impulso não muda:
  
  $\Delta t=0{.}200\ \mathrm{s}:\quad \bar F=\frac{3{.}6}{0{.}200}=18\ \mathrm{N}$
Resposta

3,6 N·s em cada carrinho, em sentidos opostos; 72 N ao longo de 50 ms e 18 N ao longo de 200 ms. Prolongar o contacto quatro vezes reduz a força para um quarto, deixando intactas as velocidades e os 5,4 J perdidos. É exatamente o que fazem uma zona de deformação programada e um airbag: não conseguem alterar a variação do momento linear do passageiro, apenas aumentam o tempo em que essa variação ocorre.

$J=\pm3{.}6\ \mathrm{N\,s},\qquad \bar F=72\ \mathrm{N}\ (50\ \mathrm{ms}),\quad 18\ \mathrm{N}\ (200\ \mathrm{ms})$
Separação a partir do repouso 3 passos
Dois carrinhos, de 2,0 kg e 3,0 kg, estão inicialmente parados com uma mola comprimida entre si. Ao ser libertada, o carrinho de 3,0 kg desloca-se para a direita a 2,0 m/s. Determine a velocidade do carrinho de 2,0 kg e a energia acumulada na mola.

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1. O momento linear total é nulo antes da separação, pelo que tem de continuar nulo depois:
  
  $0=2v_1+3(2)\ \Rightarrow\ v_1=-3\ \mathrm{m/s}$
2. Toda a energia cinética teve origem na mola:
  
  $E=\tfrac12(2)(3)^{2}+\tfrac12(3)(2)^{2}=9+6=15\ \mathrm{J}$
3. Imagine o filme ao contrário: os carrinhos aproximam-se a essas velocidades, acoplam-se e param. A colisão inelástica em u₁ = 3 m/s, u₂ = −2 m/s é precisamente esse filme invertido.
  
  $(m_1+m_2)v=2(3)+3(-2)=0\ \Rightarrow\ v=0,\qquad \Delta K=15\ \mathrm{J}$
Resposta

3 m/s para a esquerda e 15 J. Os momentos lineares têm módulos iguais e sentidos opostos, mas o carrinho mais leve move-se mais depressa e transporta 9 J dos 15. Um recuo é uma colisão perfeitamente inelástica em marcha-atrás; por isso mesmo, o problema inverso corresponde a um choque que dissipa todos os 15 J.

$v_1=-3\ \mathrm{m/s},\qquad E=15\ \mathrm{J}$
Uma bola contra a parede 4 passos
Uma bola de 0,40 kg choca contra uma parede a 12 m/s e ressalta na mesma linha a 8,0 m/s. O contacto dura 20 ms, período em que a força cresce a ritmo constante até um valor máximo e volta a diminuir regularmente até zero. Determine o impulso, a força média, a força máxima e o coeficiente de restituição.
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1. Tomando o sentido do ressalto como positivo, a bola chega a −12 m/s. O impulso é a variação do momento linear:
  
  $J=m(v-u)=0{.}40\,\bigl(8-(-12)\bigr)=8\ \mathrm{N\,s}$
2. A força média ao longo do contacto:
  
  $\bar F=\frac{J}{\Delta t}=\frac{8}{0{.}020}=400\ \mathrm{N}$
3. O impulso é também a área sob o gráfico força–tempo, que aqui é um triângulo:
  
  $J=\tfrac12F_{\max}\,\Delta t\ \Rightarrow\ F_{\max}=\frac{2(8)}{0{.}020}=800\ \mathrm{N}$
4. Como a parede não se move, a velocidade de afastamento é a da própria bola:
  
  $e=\frac{8}{12}=0{.}6667$
Resposta

8 N·s, 400 N em média, 800 N no pico e e = 0,6667. O ressalto amplifica o impulso: uma bola que se imobilizasse contra a parede exigiria 4,8 N·s, ao passo que esta exige 8.

$J=8\ \mathrm{N\,s},\quad \bar F=400\ \mathrm{N},\quad F_{\max}=800\ \mathrm{N},\quad e=0{.}6667$

Problemas suplementares, só com a resposta

Um automóvel de 1.500 kg a 20 m/s embate na traseira de outro de 1.000 kg que segue no mesmo sentido a 10 m/s, ficando ambos bloqueados entre si. Com que velocidade prosseguem e quanta energia cinética se perde?

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16 m/s; 30.000 J.

$v=\frac{1500(20)+1000(10)}{2500}=16\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta K=350\,000-320\,000=30\,000\ \mathrm{J}$
Uma bola de 0,20 kg a 5,0 m/s colide frontal e elasticamente com uma bola de 0,30 kg em repouso. Determine ambas as velocidades após o choque.

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−1,0 m/s (recua) e 4,0 m/s.

$v_1=\frac{0{.}20-0{.}30}{0{.}50}(5{.}0)=-1{.}0\ \mathrm{m/s},\qquad v_2=\frac{2(0{.}20)}{0{.}50}(5{.}0)=4{.}0\ \mathrm{m/s}$
Uma bola de ténis de 0,058 kg chega a 30 m/s e sai da raquete em sentido oposto a 25 m/s, após um contacto de 5,0 ms. Calcule o impulso e a força média.

Mostrar resposta

3,19 N·s e 638 N.

$J=0{.}058\,(25+30)=3{.}19\ \mathrm{N\,s},\qquad \bar F=\frac{3{.}19}{0{.}0050}=638\ \mathrm{N}$
Uma bola largada de 1,80 m sobre um piso rígido ressalta até 1,25 m. Qual é o coeficiente de restituição?

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0,8333, a partir de e = √(1,25/1,80).

$e=\sqrt{\frac{1{.}25}{1{.}80}}=0{.}8333$
Uma espingarda de 4,0 kg dispara uma bala de 0,010 kg a 400 m/s. Com que velocidade recua a arma?

Mostrar resposta

1,0 m/s, em sentido oposto ao da bala.

$v=-\frac{0{.}010(400)}{4{.}0}=-1{.}0\ \mathrm{m/s}$

Percurso de aprendizagem

Energia em vez de forças

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.