← Física

Pressão em Profundidade

Escolha um recipiente, uma profundidade e um líquido. A página calcula a pressão na base, a força que essa pressão nela exerce e como essa força se compara com o peso do líquido que está acima.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Pressão em Profundidade

A pressão é a força distribuída por uma área, p = F/A, medida em pascais: um pascal é um newton sobre um metro quadrado. Num líquido em repouso, a pressão a uma profundidade h abaixo da superfície é p = ρgh, onde ρ é a densidade do líquido e g é 9,81 m/s². Leia a fórmula e repare no que não está lá: não há nela qualquer área, nenhum volume, e nada sobre o recipiente. As três afirmações desta página decorrem dessa ausência. Cada pressão aqui é uma pressão manométrica, o que significa que é a quantidade que o líquido adiciona àquilo que já estiver a pressionar a sua superfície.

O que significa cada símbolo

p
pressão, em pascais. 1 Pa = 1 N/m², e um quilopascal corresponde a mil deles
ρ
densidade do líquido, em kg/m³. A única propriedade do líquido que aparece em toda esta página
h
profundidade abaixo da superfície, em metros. A profundidade, não a altura do recipiente nem a quantidade de líquido
A
a área sob pressão, em m². A pressão multiplicada pela área dá a força
g
9,81 m/s², para que ρgh resulte em pascais
Pressupõe
Que o líquido está imóvel e a sua densidade é igual em todo o lado. Ambas as condições são válidas para a água num tanque, mas não para a atmosfera, e é por isso que esta página trata de líquidos e não de gases. A pressão atmosférica é omitida em todos os cálculos porque se anula: o ar empurra a superfície do líquido para baixo e a parte inferior da base para cima com os mesmos 101 kPa, logo, nunca entra na força que a base suporta. Um medidor de profundidade numa piscina funciona da mesma maneira, o que explica por que os valores aqui apresentados são os que mediria na prática.
Falha quando
Assim que o líquido se move. Um cano com fluxo obedece a Bernoulli em vez disto, e é em Bernoulli e o Efeito Venturi que se calcula a pressão que um fluido em movimento perde para a sua própria velocidade. Os fluidos compressíveis quebram a outra premissa: o ar reduz a sua densidade a metade a cada 5,5 km, de modo que ρgh com um ρ constante é incorreto para algo além de umas poucas dezenas de metros de atmosfera. Recipientes muito pequenos também a quebram: num tubo com cerca de um milímetro de diâmetro, a tensão superficial puxa o líquido para cima ou para baixo por uma altura que esta página simplesmente não modela. Por fim, a força na parede aqui considerada é por metro de uma parede vertical reta; uma barragem curva suporta a sua carga parcialmente através do arqueamento contra as encostas do vale, o que constitui um cálculo diferente e a razão pela qual as barragens em arco podem ser finas.

Quatro recipientes, quarenta e duas vezes a água, uma leitura

Prima Alargado, 68 litros e depois Tubo sobre disco, 1,6 litros. Mesma base, mesmo meio metro de água, e o volume altera-se por um fator de 42. A pressão marca 4,896 kPa nas duas vezes e a força na base é de 153,8 N em ambos os casos. Só a profundidade e a densidade entram em p = ρgh, e nenhuma delas sabe o que quer que seja sobre as paredes. A tabela abaixo simula os quatro recipientes em simultâneo, para que possa ver duas das suas colunas imóveis enquanto as outras se movem.

A base suporta mais do que o líquido pesa

O tubo num disco contém 1,606 litros (cerca de 1,6 kg) e a sua base suporta 153,8 N, o peso de 15,7 kg. Isso representa 9,78 vezes a água que ali repousa, e o recipiente alargado é a imagem invertida a 0,231. Nada está a ser criado: as paredes inclinadas empurram o líquido para baixo no recipiente afunilado e puxam-no para cima no alargado, e a diferença é exatamente o que a base sente. A demonstração com o nome de Pascal é isto levado ao extremo — algumas centenas de gramas de água num cano longo e estreito, e o barril na base rebenta — e o problema resolvido abaixo é esse mesmo barril, com os números.

O dobro da profundidade significa quatro vezes a carga na parede

A pressão na parede de uma barragem não é um número único, porque cresce do zero à superfície até ρgh no fundo. Em média, ao longo da parede, é metade do máximo, e a área molhada também cresce com a profundidade, logo, a força por metro de largura é ½ρgh²: um quadrado. Ao passar uma albufeira de 1 m para 2 m, a carga na parede vai de 4.896 para 19.585 N por metro, quatro vezes mais. É também por isso que uma barragem é espessa no fundo e estreita no topo: a resultante atua a um terço da base, e não a meio.

Problema resolvido na íntegra

  1. O barril de Pascal: quanta força exerce meio litro de água sobre a tampa? 6 passos

    Um barril selado possui uma tampa com 0,60 m de diâmetro. Um cano fino com 5 mm de raio é encaixado na tampa e cheio de água até uma altura de 5 m. Calcule a força que a água exerce na tampa e compare-a com o peso da água no cano, antes de continuar a ler. Prima Tubo num disco, 1,6 litros para ver a mesma situação a um décimo da escala.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. O cano adiciona pressão através da sua altura e nada mais. Cinco metros de água:

      p=ρgh=998.2⋅9.81⋅5=48,962 Pap=\rho g h=998{.}2\cdot 9{.}81\cdot 5=48{,}962\ \mathrm{Pa}

    2. Essa pressão atua sobre toda a tampa, que é um disco com um raio de 0,30 m:

      Alid=πR2=π⋅0.302=0.28274 m2A_{\text{lid}}=\pi R^2=\pi\cdot 0{.}30^2=0{.}28274\ \mathrm{m^2}

    3. A força é a pressão vezes a área. Expressa como uma massa, é mais fácil de percecionar: a tampa suporta cerca de 1,4 toneladas.

      F=pAlid=48,962⋅0.28274=13,844 N(13,8449.81=1,411 kg)F=pA_{\text{lid}}=48{,}962\cdot 0{.}28274=13{,}844\ \mathrm{N} \quad\left(\dfrac{13{,}844}{9{.}81}=1{,}411\ \mathrm{kg}\right)

    4. Agora, a água que causou isto. O orifício do cano tem 5 mm, por isso a sua secção transversal é minúscula:

      bore radius0.005 mcross-section πr27.854×10−5 m2volume πr2h3.927×10−4 m3=0.3927 Lmass ρV0.392 kgweight ρVg3.85 N\begin{array}{l|r} \text{bore radius} & 0{.}005\ \mathrm{m} \\\\ \hline \text{cross-section }\pi r^2 & 7{.}854\times10^{-5}\ \mathrm{m^2} \\\\ \text{volume }\pi r^2 h & 3{.}927\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}=0{.}3927\ \mathrm{L} \\\\ \text{mass }\rho V & 0{.}392\ \mathrm{kg} \\\\ \text{weight }\rho V g & 3{.}85\ \mathrm{N} \end{array}

    5. Divida um pelo outro. Trezentos e noventa gramas de água exercem 13.844 N sobre a tampa:

      FW=13,8443.85=3,600\dfrac{F}{W}=\dfrac{13{,}844}{3{.}85}=3{,}600

    6. E aqui está a parte que vale a pena reter. Se escrever a proporção em símbolos a altura anula-se, porque aparece na pressão e de novo no volume. O mesmo acontece com a densidade e com g. A multiplicação é o rácio entre as duas áreas e nada mais — que é exatamente a forma como um macaco hidráulico levanta um carro.

      FW=ρgh Alidρg Apipeh=AlidApipe=(0.300.005) ⁣2=602=3,600\dfrac{F}{W}=\dfrac{\rho g h\,A_{\text{lid}}}{\rho g\,A_{\text{pipe}}h} =\dfrac{A_{\text{lid}}}{A_{\text{pipe}}} =\left(\dfrac{0{.}30}{0{.}005}\right)^{\!2}=60^2=3{,}600

    Resposta

    13.844 N na tampa, a partir de 3,85 N de água: uma multiplicação de 3.600. Esse valor é (0,30 ÷ 0,005)² e seria igual para um cano de qualquer altura e um líquido de qualquer densidade. Pascal não precisou de muita água, precisou de um cano fino — e o barril não rebenta devido ao que está no cano, rebenta devido à proporção entre o cano e a tampa.

    13,844 N from 3.85 N⇒AlidApipe=3,60013{,}844\ \mathrm{N}\ \text{from}\ 3{.}85\ \mathrm{N} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{A_{\text{lid}}}{A_{\text{pipe}}}=3{,}600

Percurso de aprendizagem

Fluidos em repouso: do manómetro à raiz de uma montanha

Referências (3)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.