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Vantagem Mecânica do Sarilho

uma maçaneta, um volante e uma chave de fendas são a mesma máquina com números diferentes

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A razão dos raios é a razão das distâncias

A vantagem mecânica é R/r. Uma volta completa enrola 2πR no aro, em oposição a 2πr no eixo. O termo 2π anula-se. A razão das distâncias coincide, portanto, com a dos raios: o sarilho do poço converte 3,770 m de percurso da manivela em 0,628 m de corda. É uma proporção exata de seis para um, o mesmo seis da sua vantagem ideal. Qualquer mecanismo de roda e eixo nesta ferramenta obedece a esta lógica, visto ser a mesma afirmação escrita duas vezes.

É uma alavanca cujo curso nunca termina

Basta colocar o ponto de apoio no centro do eixo para perceber que os dois raios representam os dois braços de uma alavanca interfixa. A expressão R/r é a/b sob um nome diferente. A grande novidade da forma circular é que o curso nunca chega ao fim. Um pé-de-cabra esgota-se quando a barra atinge o chão, mas um sarilho continua a rodar. Eis a razão pela qual as máquinas que precisam de elevar cargas continuamente sem nunca reiniciar o movimento (como as dos poços, âncoras e elevadores) são construídas em torno de um eixo em vez de uma barra.

O destino dos joules em falta

A predefinição da maçaneta opera a 95%: num total de 33,1 J de trabalho de rotação, 31,4 J chegam ao trinco e 1,7 J aquecem o veio. Trata-se de uma máquina excelente. Com 85%, o sarilho do poço dissipa 66,5 J em cada 443,5 J. Sente-se essa diferença na manivela, que se torna mais pesada do que a aritmética prometia, exigindo 117,6 N em vez dos 100 N ideais. O rendimento é a razão entre a vantagem que a geometria oferece e a que as suas mãos obtêm.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Por que motivo a manivela do sarilho percorre 3,77 metros para subir 63 centímetros de corda 6 passos

    Carregue o Sarilho de Poço. Um raio de manivela de 60 cm num eixo de 10 cm, um balde de 600 N e 85% de eficiência. O painel indica uma vantagem ideal de 6,00 e um esforço de 117,6 N. Calcule ambos. Em seguida, calcule a distância que a sua mão percorre.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. A vantagem corresponde à razão entre os dois raios. É um resultado direto do cálculo de momentos: o eixo é o mesmo, logo o binário ideal também o é. Uma força seis vezes menor, aplicada a uma distância de seis vezes o raio, estabelece o equilíbrio.

      MAideal=Rr=6010=6.00\mathrm{MA}_{\text{ideal}} = \frac{R}{r} = \frac{60}{10} = 6.00

    2. As distâncias são o campo em que esta razão mostra o seu verdadeiro valor. Uma volta completa enrola a circunferência em cada raio.

      one turn: sR=2πR=3.770 m,sr=2πr=0.628 m\text{one turn: } s_R = 2\pi R = 3.770\ \mathrm{m}, \qquad s_r = 2\pi r = 0.628\ \mathrm{m}

    3. Ao dividir uma pela outra, o 2π anula-se. A razão das distâncias é exatamente a razão dos raios. Encontramos o mesmo 6 que a razão das forças nos deu. Chegámos a este valor através da geometria em vez dos momentos.

      sRsr=2πR2πr=Rr=6.0000\frac{s_R}{s_r} = \frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{R}{r} = 6.0000

    4. A eficiência reduz a vantagem. A 85%, o seis passa a 5,10.

      MAactual=Rr η=6.00×0.85=5.10\mathrm{MA}_{\text{actual}} = \frac{R}{r}\,\eta = 6.00 \times 0.85 = 5.10

    5. A manivela torna-se assim mais pesada do que a máquina ideal previa. Este acréscimo é de 17,6%, e não dos 15% perdidos no rendimento. Isto acontece porque dividir a vantagem por 0,85 corresponde a multiplicar o esforço por 1/0,85.

      E=6005.10=117.6 N(ideal would be 100.0 N)E = \frac{600}{5.10} = 117.6\ \mathrm{N} \quad (\text{ideal would be } 100.0\ \mathrm{N})

    6. Calcule o trabalho e os joules em falta aparecem por si mesmos. São 66,5 J dos 443,5 que introduziu, os quais aquecem a chumaceira.

      Win=117.65×3.7699=443.5 J,Wout=600×0.6283=377.0 JW_{\text{in}} = 117.65 \times 3.7699 = 443.5\ \mathrm{J}, \quad W_{\text{out}} = 600 \times 0.6283 = 377.0\ \mathrm{J}

    Resposta

    Seis para um. O esforço na manivela atinge 117,6 N em vez dos 100,0 N necessários num sarilho ideal, trocando-se 3,770 m de percurso da mão por cada 0,628 m de corda.

    Um pé-de-cabra interrompe o movimento assim que a barra bate no chão. Uma alavanca capaz de elevar um balde do fundo de um poço teria de ser tão comprida quanto a profundidade do próprio poço. Um eixo simplesmente continua a rodar, pelo que a mesma vantagem de seis para um se mantém ao longo dos metros que desejar. Este é o motivo pelo qual as máquinas de tração contínua sem reposição inicial assentam num eixo: o guincho da âncora, o elevador e a torneira que abriu hoje de manhã.

  2. O que a chave de fendas faz assim que se larga a mão 6 passos

    Carregue a Chave de Fendas (5:1): um raio de cabo de 15 cm sobre um veio de 3 cm, 50 N de carga, 90% de eficiência e 11,1 N no bordo. Calcule o que a carga faz no instante em que retira a mão e decida depois quão mau tem de ser um sarilho para segurar um balde sozinho.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. O painel: cinco para um a partir dos raios, 4,50 depois de aplicados os 90%, pelo que onze newtons no bordo equilibram cinquenta no veio.

      MA=Rr η=5.00×0.90=4.50,E=504.50=11.11 N\mathrm{MA} = \frac{R}{r}\,\eta = 5.00 \times 0.90 = 4.50, \qquad E = \frac{50}{4.50} = 11.11\ \mathrm{N}

    2. Conte os joules de uma volta completa. O bordo percorre 0,94 m, o veio 0,19 m, e um dos dez joules e meio vai para a chumaceira.

      one turn: Win=11.11×0.9425=10.472 J,Wout=50×0.1885=9.425 J,Wloss=1.047 J\text{one turn: } W_{\mathrm{in}} = 11.11 \times 0.9425 = 10.472\ \mathrm{J}, \quad W_{\mathrm{out}} = 50 \times 0.1885 = 9.425\ \mathrm{J}, \quad W_{\mathrm{loss}} = 1.047\ \mathrm{J}

    3. Agora deixe que seja a carga a acionar o conjunto. As mesmas superfícies deslizam a mesma distância sob as mesmas forças, pelo que a chumaceira leva o mesmo joule, só que desta vez ele sai do trabalho da carga em vez de se somar ao seu. Essa igualdade é a única suposição do cálculo, e é o que torna o caso inverso sequer calculável.

      driven from the axle, same surfaces and same travel  ⟹  Wloss′=Wloss=1.047 J\text{driven from the axle, same surfaces and same travel} \;\Longrightarrow\; W'_{\mathrm{loss}} = W_{\mathrm{loss}} = 1.047\ \mathrm{J}

    4. Assim, a eficiência inversa é o que sobra do trabalho da própria carga, e reduz-se a uma expressão que não tem lá dentro nada além da eficiência direta.

      ηrev=9.425−1.0479.425=8.3789.425=0.8889=2−10.90\eta_{\mathrm{rev}} = \frac{9.425 - 1.047}{9.425} = \frac{8.378}{9.425} = 0.8889 = 2 - \frac{1}{0.90}

    5. Em força: a carga empurra de volta no bordo com 8,89 N. Tem de a segurar quase com a mesma força com que a rodou.

      Fhold=L rR ηrev=50×0.200×0.8889=8.89 N(against 11.11 N to raise it)F_{\mathrm{hold}} = \frac{L\,r}{R}\,\eta_{\mathrm{rev}} = 50 \times 0.200 \times 0.8889 = 8.89\ \mathrm{N} \qquad (\text{against } 11.11\ \mathrm{N}\ \text{to raise it})

    6. A expressão esgota-se em um meio. Abaixo disso a carga não consegue mover a máquina de todo, e a ferramenta mostra o que isso custa, porque levantar a mesma carga a 50% exige o dobro do esforço ideal.

      ηrev≤0  ⟺  η≤0.50;η=0.50  ⟹  E=20.0 N=2×505.00\eta_{\mathrm{rev}} \le 0 \iff \eta \le 0.50; \qquad \eta = 0.50 \;\Longrightarrow\; E = 20.0\ \mathrm{N} = 2 \times \frac{50}{5.00}

    Resposta

    Desenrola-se. 8,89 N no bordo, contra os 11,11 N necessários para a levantar.

    Uma máquina segura a sua própria carga apenas quando é pior do que 50% eficiente, e nenhuma das quatro predefinições desta ferramenta chega perto: a maçaneta a 95% devolve 94,7%, o volante e a chave de fendas a 90% devolvem 88,9%, o sarilho de poço a 85% devolve 82,4%. Arraste o cursor da eficiência até ao seu mínimo de 10% e o valor inverso é −8, o que significa que a carga não a consegue mexer por mais pesada que fique. É por isso que um sarilho de poço se constrói com um linguete e uma chave de fendas se constrói com a mão à volta dela. Um diferencial é a única máquina em que se paga a eficiência duas vezes: uma ao comprá-la e outra no roquete que se tem de lhe aparafusar por causa dela.

    ηrev=2−1η:0.95→0.947,0.90→0.889,0.85→0.824,0.50→0,0.10→−8\eta_{\mathrm{rev}} = 2 - \frac{1}{\eta}: \quad 0.95 \to 0.947, \quad 0.90 \to 0.889, \quad 0.85 \to 0.824, \quad 0.50 \to 0, \quad 0.10 \to -8

Percurso de aprendizagem

Máquinas simples: trocar força por distância

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.