Sistemas de Polias e Vantagem Mecânica

Carregue a Talha: quatro segmentos de corda, uma carga de 800 N, 85% de eficiência. O painel indica 235,3 N de tração e 4 m de corda por metro de elevação. Calcule ambos. Depois, diga exatamente no que os 15% foram gastos.

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1. Comece pela máquina ideal. Quatro segmentos de corda dividem a carga, logo cada um suporta um quarto dela, e a mão que segura um deles sente um quarto. Essa é a vantagem mecânica: trata-se da contagem, não de uma fórmula.

   $$\mathrm{MA}_{\text{ideal}} = n = 4, \qquad E_{\text{ideal}} = \frac{800}{4} = 200\ \mathrm{N}$$

2. A corda precisa vir de algum lugar. Erguer o moitão em 1 m encurta todos os quatro segmentos em 1 m cada, de modo que 4 m precisam passar pelas suas mãos. A vantagem e o comprimento da corda são o mesmo número pelo mesmo motivo.

   $$\ell = n \times h = 4\ \mathrm{m}\ \text{of rope per } 1\ \mathrm{m}\ \text{of lift}$$

3. Agora adicione a máquina real. A eficiência multiplica a vantagem, não a corda: as roldanas giram contra os seus mancais e a corda resiste a ser dobrada ao redor delas, e ambos custam força.

   $$\mathrm{MA}_{\text{actual}} = n\,\eta = 4 \times 0.85 = 3.40$$

4. Assim a tração aumenta. Observe a segunda forma: dividir os 200 N ideais por 0,85 dá a mesma resposta, que é o que "85% de eficiência" quer dizer.

   $$E = \frac{L}{n\eta} = \frac{800}{3.40} = 235.3\ \mathrm{N} = \frac{200}{0.85}$$

5. Conte os joules de ambos os lados. Você move 4 m contra 235,3 N; a carga move-se 1 m contra 800 N.

   $$W_{\text{in}} = 235.3 \times 4 = 941.2\ \mathrm{J}, \qquad W_{\text{out}} = 800 \times 1 = 800\ \mathrm{J}$$

6. A diferença é a perda, e corresponde exatamente à fração que a eficiência indicou.

   $$W_{\text{lost}} = 141.2\ \mathrm{J} = (1-\eta)\,W_{\text{in}}$$

Carregue Guindaste Pesado (6×): seis segmentos de corda, 1.500 N de carga, 80% de eficiência e 312,5 N de tração. A página diz três vezes distintas que acrescentar segmentos acaba por deixar de ajudar. Descubra onde deixa e decida depois se vale a pena passar um sétimo segmento neste guindaste.

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1. Primeiro o painel. Seis segmentos a 80% dão uma vantagem de 4,80, pelo que a tração é 1.500 a dividir por esse valor, e passam-lhe pelas mãos seis metros de corda por cada metro que o gancho sobe.

   $$\mathrm{MA} = n\eta = 6 \times 0.80 = 4.80, \qquad E = \frac{1500}{4.80} = 312.5\ \mathrm{N}, \qquad \ell = 6.0\ \mathrm{m}$$

2. A ferramenta permite definir a contagem e a eficiência em separado; um aparelho real não. Cada roldana leva a sua fatia, uma chumaceira e uma dobra da corda, pelo que as perdas se acumulam segmento a segmento. As próprias predefinições da ferramenta concordam quanto ao tamanho da fatia de cada segmento: 80% em seis segmentos e 85% em quatro dão ambas cerca de 96%.

   $$\eta = \eta_s^{\,n} \;\Longrightarrow\; \eta_s = 0.80^{1/6} = 0.9635; \qquad \text{block and tackle: } 0.85^{1/4} = 0.9602$$

3. Substitua isso e a tração deixa de ser uma divisão simples. Derive e o número de segmentos em que os dois efeitos se equilibram sai sozinho, sem carga nem aparelho lá dentro.

   $$E(n) = \frac{L}{n\,\eta_s^{\,n}}, \qquad \frac{d}{dn}\ln E = -\frac{1}{n} - \ln\eta_s = 0 \;\Longrightarrow\; n^{*} = \frac{1}{\ln(1/\eta_s)}$$

4. Com roldanas a 96,3% o equilíbrio fica nos vinte e sete segmentos. Nada do intervalo da ferramenta chega perto: com dez segmentos a tração continua a cair com força.

   $$\eta_s = 0.9635: \quad n^{*} = 26.9; \qquad E(6) = 312.5,\ E(7) = 278.0,\ E(10) = 217.6\ \mathrm{N}$$

5. Piore as roldanas e a resposta desloca-se imenso. A 85% cada uma, seis segmentos são o mínimo, e o sétimo já pesa mais do que o sexto.

   $$\eta_s = 0.85: \quad n^{*} = 6.15; \qquad E(5) = 676.1,\ E(6) = 662.9,\ E(7) = 668.4\ \mathrm{N}$$

6. O cartão da eficiência não é o que se deve observar enquanto faz isto. Dez segmentos com as roldanas deste mesmo guindaste dão 68,9% de eficiência, bem abaixo dos 80% agora visíveis, e a tração é um terço mais leve.

   $$\eta(10) = 0.9635^{10} = 0.689 \;<\; 0.80, \qquad E(10) = \frac{1500}{10 \times 0.689} = 217.6\ \mathrm{N}$$