Simulador de Relação e Velocidade de Engrenagens

Carregue Trem simples com roda intermédia: 12, 36, 24 e 36 dentes, com entrada a 1 200 rpm e 10 N·m. O painel indica uma relação de 3,00:1. Duas dessas quatro contagens de dentes não têm qualquer efeito nessa relação. Demonstre quais são; depois, altere a divisão em etapas e veja o que essas mesmas quatro rodas podem realmente fornecer.

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1. Uma regra aplica-se a todos os engrenamentos: onde duas engrenagens se tocam, os dentes passam pelo ponto de contacto à mesma taxa, pelo que a engrenagem menor roda mais depressa na proporção exata do número de dentes.

   $$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{N_2}{N_1} \qquad \text{at every mesh}$$

2. Um trem simples consiste em três engrenamentos em série, pelo que se multiplicam os três.

   $$\frac{\omega_{\text{in}}}{\omega_{\text{out}}} = \frac{N_2}{N_1}\cdot\frac{N_3}{N_2}\cdot\frac{N_4}{N_3}$$

3. Ao introduzir os números, cada andar parece ter importância: um de 3,00, depois um de 0,667 e, em seguida, um de 1,50.

   $$= \frac{36}{12}\cdot\frac{24}{36}\cdot\frac{36}{24} = 3 \times \tfrac{2}{3} \times \tfrac{3}{2} = 3.000$$

4. Agora, cancele. Cada número do meio aparece uma vez no numerador e uma vez no denominador, pelo que todo o produto se reduz ao último sobre o primeiro, e as engrenagens entre eles não deixam qualquer rasto no resultado.

   $$\frac{N_2}{N_1}\cdot\frac{N_3}{N_2}\cdot\frac{N_4}{N_3} = \frac{N_4}{N_1} = \frac{36}{12} = 3$$

5. O resto decorre apenas da relação. A velocidade divide-se, o binário multiplica-se.

   $$\omega_{\text{out}} = \frac{1200}{3} = 400\ \mathrm{rpm}, \qquad \tau_{\text{out}} = 10 \times 3 = 30\ \mathrm{N\,m}$$

6. E o produto permanece intacto. As engrenagens transferem potência entre a velocidade e a força; nunca a criam, e a ferramenta mantém este princípio em todas as configurações.

   $$\omega\tau\ (\mathrm{rpm}\cdot\mathrm{N\,m}) : \quad 1200 \times 10 = 400 \times 30 = 12{,}000$$

7. Para que as engrenagens do meio influenciem o resultado, monte duas delas no mesmo eixo, obrigando-as a rodar em conjunto. Assim, as relações de cada estágio multiplicam-se em vez de se anularem, e as mesmas quatro contagens de dentes dão 4,50 em vez de 3,00.

   $$\text{compounded instead: } \frac{36}{12}\cdot\frac{36}{24} = 3.00 \times 1.50 = 4.50$$

Carregue Multiplicador (12:1): 12, 36, 12 e 48 dentes, entrada a 1.200 rpm com 10 N·m, saída a 100 rpm com 120 N·m. Entre esses dois eixos existe um terceiro que o painel nunca menciona. Calcule o que ele está a suportar e decida depois qual das duas etapas deve fazer a redução maior.

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1. As duas etapas multiplicam-se porque as engrenagens 2 e 3 estão chavetadas ao mesmo eixo e não podem rodar uma sem a outra. Três vezes quatro é doze, e é só desse número que saem os cartões da velocidade e do binário.

   $$i = \frac{N_2}{N_1}\cdot\frac{N_4}{N_3} = \frac{36}{12}\cdot\frac{48}{12} = 3.00 \times 4.00 = 12.00 \quad\Longrightarrow\quad 100.0\ \mathrm{rpm},\ 120.0\ \mathrm{N\,m}$$

2. Esse eixo é onde a primeira etapa termina e a segunda começa. Roda à velocidade de entrada dividida pela primeira relação e suporta o binário de entrada multiplicado por ela.

   $$n_{\mathrm{mid}} = \frac{n_{\mathrm{in}}}{r_1} = \frac{1200}{3.00} = 400\ \mathrm{rpm}, \qquad T_{\mathrm{mid}} = T_{\mathrm{in}}\,r_1 = 10 \times 3.00 = 30\ \mathrm{N\,m}$$

3. O que deixa o produto intacto uma segunda vez. O painel já o mostra a manter-se entre a entrada e a saída; mantém-se também no meio, porque um trem de engrenagens não tem onde guardar seja o que for.

   $$n\,T\ (\mathrm{rpm}\cdot\mathrm{N\,m}): \quad 1200 \times 10 \;=\; 400 \times 30 \;=\; 100 \times 120 \;=\; 12{,}000$$

4. Agora troque as etapas: primeiro o quatro, depois o três. A relação total continua a ser 12,00:1 e a saída continua nas 100 rpm com 120 N·m, pelo que nada do que se vê na página mudou. O eixo intermédio mudou: roda mais devagar e suporta mais um terço de binário.

   $$\text{stages swapped } (12/48/12/36): \quad i = 4.00 \times 3.00 = 12.00, \qquad n_{\mathrm{mid}} = 300\ \mathrm{rpm},\ T_{\mathrm{mid}} = 40\ \mathrm{N\,m}$$

5. O enunciado geral é curto. A primeira relação fixa por completo o eixo intermédio, e as duas relações têm de multiplicar até à relação total pretendida, pelo que o binário intermédio cai algures entre o da entrada e o da saída e nunca fora deles.

   $$T_{\mathrm{mid}} = T_{\mathrm{in}}\,r_1, \quad n_{\mathrm{mid}} = \frac{n_{\mathrm{in}}}{r_1}, \qquad r_1 r_2 = i \ \text{fixed} \;\Longrightarrow\; T_{\mathrm{in}} \le T_{\mathrm{mid}} \le T_{\mathrm{out}}$$

6. Vale a pena escolher, porque um eixo é dimensionado pelo binário e não pela velocidade. Para uma dada tensão de corte admissível, o diâmetro varia com a raiz cúbica do binário.

   $$d \propto T^{1/3} \quad (\text{torsion, one allowable shear stress}): \qquad \left(\frac{40}{30}\right)^{1/3} = 1.10$$