Explorador de Juros Compostos

Quanto vale um ponto percentual de taxa de juro ao longo de trinta anos, e como se compara isso com a capitalização mais frequente? A ferramenta fixa P = 1 000 a 7% nominais com capitalização mensal durante 30 anos, com o limite contínuo traçado ao lado.

1. A capitalização mensal divide a taxa anual em doze partes iguais e aplica cada parte ao valor acumulado do saldo. Trinta anos correspondem a 360 dessas parcelas.

   $$i=\frac{r}{n}=\frac{0.07}{12}=0.0058\overline{3},\qquad N=nt=12\times30=360$$

2. Cada parcela multiplica o saldo pelo mesmo fator, pelo que a totalidade dos trinta anos é esse mesmo fator elevado ao número de parcelas.

   $$A=P(1+i)^{N}=1000\,(1.0058\overline{3})^{360}=8116.50,\qquad I=A-P=7116.50$$

3. O modelo contínuo substitui os 360 passos por um limite, sendo a versão com que vale a pena trabalhar, porque nele a taxa e o tempo surgem apenas como o produto rt. A diferença entre os dois modelos é a confirmação de que a substituição de um pelo outro não altera a resposta.

   $$A_c=Pe^{rt}=1000\,e^{0.07\times30}=8166.17,\qquad \Delta=A_c-A=49.67\ (0.61\%)$$

4. Se r mudar em δ, então rt muda em tδ, pelo que o saldo final é multiplicado por e^tδ — um fator determinado apenas pelo horizonte temporal, sem P na expressão. Recalcular o saldo mensal exato a 6% testa se se pode confiar nesse atalho.

   $$\frac{A(r+\delta)}{A(r)}\approx e^{t\delta}:\quad e^{-0.30}=0.7408\quad\text{vs}\quad\frac{1000(1.005)^{360}}{8116.50}=\frac{6022.58}{8116.50}=0.7420$$

5. Agora inverta-se a questão: que alteração na taxa teria rendido o mesmo dinheiro que a capitalização infinitamente frequente rendeu?

   $$e^{t\delta}=1+\frac{\Delta}{A}\ \Longrightarrow\ \delta=\frac{\ln(1.006120)}{30}=\frac{0.006101}{30}=2.03\times10^{-4}$$

O painel transforma 10.000 em 81.164,97 ao longo de 30 anos a 7% com capitalização mensal. Ninguém faz isso de cabeça, e por isso toda a gente cita a Regra dos 72: o dinheiro duplica em cerca de 72/7 ≈ 10,3 anos. De onde vem o 72, e quando é que mente?

Abrir este problema na ferramenta

1. Comece pelo número do painel, porque o tempo de duplicação já lá está escondido.

   $$A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=10\,000\left(1+\frac{0.07}{12}\right)^{360}=81\,164.97,\qquad I=A-P=71\,164.97$$

2. Divida pelo montante inicial e pergunte que potência de dois é aquilo. Pouco mais de três duplicações em trinta anos, portanto uma duplicação leva 9,9310 anos — e repare que o capital se cancelou. É por isso que ninguém pergunta com quanto começou.

   $$\frac{A}{P}=8.1165=2^{\,3.0209}\ \Longrightarrow\ t_2=\frac{30}{3.0209}=9.9310$$

3. Deduza-o como deve ser, em vez de o ler de um quociente: iguale o saldo ao dobro do capital e resolva. O P cancela-se pela mesma razão, e o resultado coincide até à quarta casa com o caminho anterior.

   $$2P=P\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt_2}\ \Longrightarrow\ t_2=\frac{\ln2}{n\ln\!\left(1+r/n\right)}=\frac{0.693147}{12\ln(1.00583\overline{3})}=9.9310$$

4. Compare agora com a regra popular. A Regra dos 72 é enunciada para capitalização anual, portanto n = 1: o tempo exato é 10,2448 anos e a regra diz 10,2857. Quinze dias de desvio, numa década.

   $$n=1:\quad t_2=\frac{\ln2}{\ln1.07}=10.2448\qquad\frac{72}{7}=10.2857\qquad \Delta=0.0409\ (\approx15\ \mathrm{d})$$

5. Então de onde vem o 72? Multiplique o tempo de duplicação pela taxa em percentagem e o r quase se cancela. Desenvolvendo o logaritmo até ao segundo termo, não sobra constante nenhuma, mas 69,31 com uma pequena correção que cresce com a taxa.

   $$100\,r\,t_2=\frac{100\,r\ln2}{\ln(1+r)}\approx\frac{100\,r\ln2}{r\left(1-\tfrac r2\right)}=\frac{69.31}{1-\tfrac r2}\approx69.31\left(1+\tfrac r2\right)$$

6. Avalie isso a três taxas. A constante verdadeira sobe, e 72 é apenas o valor por onde ela passa perto dos 8% — um compromisso centrado nas taxas sobre as quais realmente se discute.

   $$r=2\%:\ 70.01\qquad r=8\%:\ 72.05\qquad r=15\%:\ 74.39$$

7. Fica uma coisa por explicar: 69,31 arredonda para 69, e em taxas baixas 70 está mais perto do correto do que 72. Nenhum dos dois venceu.

   $$72=2^{3}\cdot3^{2}\ \Rightarrow\ 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\qquad 70=2\cdot5\cdot7\ \Rightarrow\ 1,2,5,7,10,14,35,70$$