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Valor Futuro de uma Anuidade

Acumulação de poupança através de contribuições repetidas.

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Lição

A teoria — Valor Futuro de uma Anuidade

Uma anuidade aqui é uma sequência de depósitos iguais a intervalos iguais, e o seu valor futuro é o valor dessa sequência no final: cada depósito, mais todo o crescimento que cada um acumulou no tempo que lhe restava. Um aviso antes da álgebra, porque engana quase toda a gente — o r e o n na fórmula abaixo não são os números nas caixas acima. São a taxa por período e o número de períodos.

O que significa cada símbolo

d
o depósito efetuado em cada período. Constante: esta fórmula não tem espaço para um pagamento que mude.
r
a taxa por período, e é esta que costuma enganar as pessoas. A caixa acima pede 7% anuais, mas a fórmula usa 0.0058333 — ou seja, 0.07 / 12, porque os depósitos são mensais.
n
o número de períodos, não de anos. Trinta anos de depósitos mensais equivalem a n = 360, que é o valor que o desenvolvimento acima substitui.

De onde vem a fórmula

  1. Alinhe os depósitos pelo tempo durante o qual cada um rende. O primeiro tem n − 1 períodos restantes, o último não tem nenhum, pelo que o total é d·(1+r)n−1 + d·(1+r)n−2 + ⋯ + d.
  2. Trata-se de uma série geométrica: cada termo é o seguinte multiplicado por (1+r). A sua forma fechada é deduzida no passo 5 de Sequências & séries, o primeiro passo deste percurso de aprendizagem — com primeiro termo d, razão (1+r) e n termos, a sua soma é d·((1+r)n − 1) / ((1+r) − 1). Se essa fórmula ainda não lhe for familiar, comece por aí e regresse depois.
  3. O denominador (1+r) − 1 é simplesmente r, o que resulta em FV = d·((1+r)n − 1) / r — a fórmula apresentada acima. Substituindo os valores por período: 500·((1+0.0058333)360 − 1) / 0.0058333 = 6.1 × 10⁵, o que condensa 360 depósitos separados numa única linha.
Pressupõe
Uma taxa constante e um depósito constante, com cada depósito a ser efetuado no final do seu período e a capitalizar exatamente com a mesma frequência. Os rendimentos reais não são constantes, e um fundo que capitaliza diariamente enquanto faz depósitos mensais não se adequa a esta fórmula.
Falha quando
Nada aqui está ajustado à inflação, pelo que o valor 6.1 × 10⁵ está na moeda do último ano e não na de hoje. Pressupõe também que nunca falha um depósito nem faz levantamentos. Vale a pena testar o caso de taxa zero, pois a apresentação dos cálculos e a resposta divergem: defina a taxa como 0 e o desenvolvimento mostra FV = 500·((1+0)³⁶⁰ − 1) / 0, um denominador nulo — contudo, o resultado é um correto 1.8 × 10⁵, porque quando r se aproxima de 0, toda a fração se aproxima de n, restando exatamente d × n.

porque é que os últimos 10 anos fazem a maior parte do trabalho

O juro composto é exponencial, não linear. Num plano de reforma a 30 anos, cerca de metade do saldo total acumula-se nos últimos 10 anos. É por isso que começar cedo importa muito mais do que contribuir mais tarde — a base sobre a qual o juro se compõe é muito maior após 20 anos de crescimento. Duplicar o depósito no ano 25 ajuda muito menos do que teria ajudado começar 5 anos antes.

o que é realmente uma anuidade

Uma anuidade é simplesmente uma sequência de aportes iguais feitos em intervalos regulares — mensais, trimestrais ou anuais. Esta ferramenta os soma enquanto cada aporte anterior continua rendendo por conta própria e depois divide o saldo final em duas partes: o dinheiro que você colocou (linha azul) e o crescimento que ele gerou (área verde). A conclusão: quando a linha verde do saldo se afasta claramente da linha azul dos aportes, a maior parte do dinheiro novo vem dos rendimentos, não do seu bolso.

a mesma fórmula dosa seu remédio

O motor aqui é uma série geométrica: FV = d·((1+r)ⁿ − 1)/r. Troque o fator de crescimento (1+r) por um que encolhe e você obtém a equação exata que os farmacologistas usam para doses repetidas de um medicamento. Como cada aporte cresce enquanto cada dose decai entre os intervalos, uma anuidade sobe sem limite enquanto a concentração plasmática se estabiliza num platô de estado estacionário — a mesma equação, destino oposto, decidido apenas por o fator estar acima ou abaixo de 1.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

  1. Os valores por omissão poupam 500 por mês durante 30 anos a 7 % — ou seja, 6.000 por ano. Põe Depósitos por ano a 1 e Depósito por período a 6000: o mesmo dinheiro, entregue de uma só vez por ano. Prevê o que acontece ao valor futuro.

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    Cai de 6.1 × 10⁵ para 5.668 × 10⁵, com contribuições totais que continuam em 1.8 × 10⁵. A linha por baixo põe preço à diferença: 429,985 de crescimento contra 386,765, cerca de 43.000 só pelo momento da entrega. Dinheiro entregue em Janeiro capitaliza onze meses mais do que dinheiro de Dezembro, e acabaste de fazer isso trinta vezes seguidas.

  2. A mesma experiência, mas vigia o ponto de cruzamento — o ano em que o crescimento ultrapassa aquilo que puseste lá dentro. Experimenta um depósito de 6000 por ano, depois 500 doze vezes, depois 16.438356 por dia. Prevê como se desloca o cruzamento.

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    Não se desloca: ano 11 nos três casos. A frequência muda o destino — 5.668 × 10⁵ anual, 6.1 × 10⁵ mensal, 6.141 × 10⁵ diário — mas o cruzamento é uma corrida entre um total que cresce exponencialmente e um total que cresce em linha recta, e antecipar os depósitos umas semanas quase não mexe no momento em que um passa o outro. Repara também no pouco que rende o último passo: de mensal para diário acrescenta cerca de 4.000, onde de anual para mensal acrescentava 43.000.

Problema resolvido na íntegra

  1. O valor futuro de 500 por mês durante 30 anos a 7% 6 passos

    500 por mês durante 30 anos a 7%. Deduza o valor futuro a partir da série em vez de uma folha de cálculo e, em seguida, calcule quanto ele realmente vale.

    1. Cada depósito é um montante individual que capitaliza durante o tempo que lhe resta. Somá-los resulta numa série geométrica de razão (1+i), e a forma fechada é a única fórmula em toda a aritmética da reforma.

      FV=∑k=0n−1d (1+i)k=d (1+i)n−1i\mathrm{FV}=\sum_{k=0}^{n-1}d\,(1+i)^{k}=d\,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}

    2. Converta para o período de capitalização antes de qualquer outra coisa. Tanto a taxa como o número de períodos são mensais — misturar uma taxa anual com uma contagem mensal é a forma clássica de errar por um fator de doze.

      i=0.0712=0.0058333,n=30×12=360i=\frac{0.07}{12}=0.0058333,\qquad n=30\times12=360

    3. Substitua. Repare onde está o efeito amplificador: ao longo do período, o numerador aumentou por um fator de 8,1; dividir por um i pequeno multiplica novamente o resultado.

      (1+i)360=8.1165⟹FV=500⋅8.1165−1i=609 985(1+i)^{360}=8.1165\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{FV}=500\cdot\frac{8.1165-1}{i}=609\,985

    4. As contribuições são trivialmente o depósito multiplicado pela contagem. Tudo o que ultrapassa isso é capitalização e, neste caso, representa 70% do total — a conta rende mais do que o aforrador deposita.

      contributions=500×360=180 000,growth=429 985=70.491%\text{contributions}=500\times360=180\,000,\qquad \text{growth}=429\,985=70.491\%

    5. Os depósitos não têm um efeito igual. O primeiro tem 359 meses para crescer e o último não tem nenhum.

      first deposit→500(1.0058333)359=4035;last→500\text{first deposit}\to500(1.0058333)^{359}=4035;\qquad \text{last}\to500

    6. Por fim, aplique a desflação. O montante é nominal e os depósitos foram fixados em termos nominais, pelo que a questão honesta é o que 609.985 compram daqui a trinta anos.

      609 9851.02530=609 9852.0976=290 806\frac{609\,985}{1.025^{30}}=\frac{609\,985}{2.0976}=290\,806

    Resposta

    609.985 em valor nominal — e cerca de 291.000 em dinheiro de hoje. Uma taxa de inflação de 2,5% divide o montante por 2,10 ao longo de trinta anos, o que converte um ganho de 430.000 num ganho real de aproximadamente 111.000, face aos 180.000 investidos. Nada no painel está errado. O cálculo surge, simplesmente, expresso na moeda de 2056. O outro aspeto oculto na série geométrica é a profunda desigualdade dos depósitos: os primeiros 500 convertem-se em 4.035 e os últimos ficam-se pelos originais 500. O mês de abertura tem, por isso, um peso oito vezes superior ao de encerramento. Começar uma década mais cedo rende muito mais do que poupar mais um terço.

    FV=d (1+i)n−1i=609 985nominal;290 806 in today’s money\mathrm{FV}=d\,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}=609\,985\quad\text{nominal};\qquad 290\,806\ \text{in today's money}

Percurso de aprendizagem

Dinheiro ao longo do tempo

Referências (1)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.