Drawdown e Travão da Volatilidade

Uma queda de 50% precisa de uma subida de 100% para ser desfeita. A mesma assimetria está a trabalhar todos os anos, sem ser preciso qualquer crash.

Exemplo resolvido — Drawdown e Travão da Volatilidade

Média aritmética	11,86%
Crescimento anual composto	10,02%
Travão (média − composto)	1,84%
Metade da variância	1,86%
Drawdown máximo	64,8%
Ganho necessário para recuperar	+183,8%
Travão da volatilidade	1,84%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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O travão não é um crash — é o preço da viagem

Duas carteiras podem render o mesmo retorno médio e acabar em sítios muito diferentes, sem que nenhuma sofra um desastre. A diferença anda perto de metade da variância, e é por isso que 8% mais suaves ganham a 8% mais agitados. Medida nestes dados, a aproximação é apertada: o rácio entre o travão real e metade da variância fica entre 0,90 e 1,09, para proporções de ações de 0 a 100% e ao longo de todos os subperíodos. Explica ainda algo que parece um paradoxo: a média aritmética de uma série é o número que citaria, a taxa composta é o número que receberia, e só o segundo compra alguma coisa.

A carteira menos profunda não é a que não tem ações

Defina a parcela de ações para 0 e a queda mais profunda indica 21,5%, atingindo o fundo em 2022. Aumente-a e o número diminui — 18,8% aos 10%, depois 17,9% dos 14% até aos 28% — antes de começar a subir: 18,7% aos 30%, 25,6% aos 40%, 64,8% aos 100%. O ano do fundo muda entre os 28 e os 29, de 2022 para 1931. Dois desastres diferentes estão a competir pelo título, e a combinação menos profunda neste registo é a que detém o suficiente de cada ativo para que nenhum vença. As duas extremidades do leque de ações não mostram isso; apenas os passos de 1% entre elas o mostram.

Treze anos em que o custo da volatilidade superou o rendimento do mercado

Clique em Década perdida, 2000, com 100% em ações, e verá que dois dos quatro cartões divergem de uma forma fácil de ignorar: a taxa composta é de 1,63% ao ano, enquanto o custo da volatilidade é de 1,78%. A volatilidade consumiu mais do que a carteira rendeu. Isso é perfeitamente possível. O custo corresponde aproximadamente a metade da variância, e a taxa composta é o que resta da média depois de o pagar; qualquer período cuja variância seja elevada em relação à média produz o mesmo efeito. Reduza a percentagem de ações para 60% durante esses mesmos treze anos, e o custo cai para 0,36%, perante uma taxa composta de 4,57%: passa de exceder todo o rendimento para representar cerca de 8% dele.

Problema resolvido na íntegra

Quatro retornos anuais que fixam a profundidade do crash de 1929–1932 6 passos
Quatro retornos anuais determinam a profundidade do crash de 1929–1932. O ganho que o anula é um número diferente, e o tempo que deveria levar é um terceiro — deduza todos os três. Este é o estado inicial da ferramenta: 100% em ações ao longo de todo o registo de 98 anos a partir de 1928, no qual o cartão Crescimento anual composto indica 10,02%.
1. Um ano multiplica o seu dinheiro por 1 + r e não lhe faz mais nada, pelo que quatro anos maus seguidos são um produto e não uma soma. Converta os retornos em fatores antes de qualquer outra coisa. São os retornos totais anuais do S&P 500 para esses anos, do conjunto de dados identificado em De onde vêm os números.
  
  $r_{1929\ldots1932}=-8.30\%,\,-25.12\%,\,-43.84\%,\,-8.64\%\ \Longrightarrow\ 1+r=0.9170,\,0.7488,\,0.5616,\,0.9136$
2. Multiplique. Em seguida, note o que falta: 1928 rendeu +43,81% e está deliberadamente ausente, porque um drawdown é uma razão relativamente ao valor máximo atingido e seja qual for esse valor, ele simplifica-se na divisão. A altura a que subiu primeiro não torna o buraco nem mais raso nem mais profundo. O cartão Pior drawdown concorda, e a sua dica identifica os mesmos dois anos.
  
  $\frac{V_{1932}}{V_{1928}}=0.9170\times0.7488\times0.5616\times0.9136=0.352305\ \Longrightarrow\ L=1-0.352305=64.8\%$
3. Sair do buraco significa multiplicar de volta até 1, pelo que o ganho necessário é o recíproco menos um. Calcule-o a partir de 0,352305 e não dos 64,8% apresentados: uma casa decimal é suficiente para exibir uma profundidade, mas não para a inverter. A versão arredondada dá 184,1%, um terço de ponto acima do que o cartão indica.
  
  $g=\frac{1}{0.352305}-1=2.83845-1=+183.8\%\qquad\left(\frac{1}{1-0.648}-1=184.1\%\right)$
4. Essa é a assimetria em geral. Perder metade exige duplicar; perder 64,77% exige quase triplicar. Cada ganho é medido em relação ao número menor, portanto, à medida que a perda cresce, o denominador encolhe e a exigência afasta-se rapidamente.
  
  $g(L)=\frac{1}{1-L}-1:\quad L=0.5000\Rightarrow+100.0\%,\quad L=0.6477\Rightarrow+183.8\%$
5. Agora meça o tempo. A taxa de crescimento anual composta é a taxa única que reproduz todo o intervalo de 98 anos, por isso pergunte-se quantos anos a essa taxa multiplicam por 2,83845.
  
  $n=\frac{\ln 2.83845}{\ln 1.1002}=\frac{1.04326}{0.09549}=10.9\ \mathrm{yr}$
6. Abra Quanto tempo levou a recuperar e leia o ano. O pico de 1928 regressa em 1936 — quatro anos após o fundo de 1932, e não onze.
  
  $1936-1932=4\ \mathrm{yr}\ \neq\ 10.9\ \mathrm{yr}$
Resposta

64,8% de queda, +183,8% para recuperar, e levou quatro anos quando 10,02% ao ano preveria 10,9. Uma taxa composta é ajustada a um intervalo completo, sendo essa a razão exata pela qual não consegue cronometrar nenhuma parte dele. 1933 rendeu +49,98%, 1935 +46,74% e 1936 +31,94%, com 1934 estagnado em −1,19%; esses quatro fatores multiplicam-se para 2,869, superando os 2,838 necessários, a uma taxa implícita de 30,15% ao ano. As recuperações não ocorrem à taxa média. Chegam em dois ou três anos enormes rodeados por uma década comum — e a concentração é a parte frágil: exclua 1933 e os restantes três anos multiplicam-se para 1,913, ficando muito aquém dos 2,838, de modo que um único ano desse tipo em falta empurra toda a recuperação para além de 1936. A ferramenta apresenta uma taxa média num cartão e um ano civil dentro de um painel recolhido. Não calcula nem os 10,9 anos nem a distância entre eles, e essa distância é a razão pela qual vale a pena ler os dois em conjunto.

$L=1-\prod_{k=1929}^{1932}(1+r_k)=64.8\%,\quad g=\frac{1}{1-L}-1=+183.8\%,\quad \frac{\ln(1+g)}{\ln 1.1002}=10.9\ \mathrm{yr}\ \neq\ 4\ \mathrm{yr}$

Percurso de aprendizagem

O risco, medido

Referências (3)

Drawdown treated as the risk measure itself rather than as a symptom of variance: A. Chekhlov, S. Uryasev and M. Zabarankin, "Drawdown Measure in Portfolio Optimization." International Journal of Theoretical and Applied Finance 08(1), 13–58, 2005.
And a recent refinement of the same measure, for anyone who wants the conditional version: D. Rossello and S. Lo Cascio, "A refined measure of conditional maximum drawdown." Risk Management 23(4), 301–321, 2021.
Where the log-growth argument behind the compound rate comes from — why the geometric mean, not the arithmetic one, is what a repeatedly reinvested stake actually earns: J. L. Kelly Jr., "A New Interpretation of Information Rate." Bell System Technical Journal 35(4), 917–926, 1956.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Drawdown e Travão da Volatilidade

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A carteira menos profunda não é a que não tem ações 🖖

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