Impuls & Stoßgesetze Labor

Simuliere 1D-Kollisionen von Wagen, um Impulserhaltung, Änderungen der kinetischen Energie und die Stoßzahl zu untersuchen.

Der Gesamtimpuls bleibt bei jedem Stoß erhalten	$m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2$
Stoßzahl: e = 1 elastisch, e = 0 sie haften aneinander	$v_2-v_1=e\,(u_1-u_2),\qquad 0\le e\le1$
Kraftstoß: die Änderung des Impulses	$J=\bar F\,\Delta t=m(v-u)=\Delta p$

Rechenbeispiel — Impuls & Stoßgesetze Labor

Anfangsimpuls (Pi)	3 kg·m/s
Wagen 1 danach (v₁)	−1,8 m/s
Wagen 2 danach (v₂)	2,2 m/s
Trennungsgeschwindigkeit	4 m/s
Endimpuls (Pf)	3 kg·m/s
Anfangsenergie (Ki)	10,5 J
Endenergie (Kf)	10,5 J
Verlorene kinetische Energie	0 J (0%)

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Impuls & Stoßgesetze Labor

Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit, p = mv; in einer Dimension bestimmt das Vorzeichen die Richtung. Bei einem Stoß üben nur die beiden Wagen Kräfte aufeinander aus und sonst nichts. Ihr Gesamtimpuls ist danach derselbe wie davor, ganz gleich, was der Stoß mit ihrer kinetischen Energie anstellt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

p: Impuls, mv, in kg·m/s. Nach rechts ist positiv; rollt ein Wagen nach links, trägt er negativen Impuls.
u: Geschwindigkeit vor dem Stoß: u₁ für Wagen 1 links, u₂ für Wagen 2 rechts. Die Wagen treffen nur aufeinander, wenn u₁ > u₂ ist.
v: Geschwindigkeit nach dem Stoß.
e: die Stoßzahl: Trennungsgeschwindigkeit geteilt durch Annäherungsgeschwindigkeit. Bei 1 bleibt die kinetische Energie der Relativbewegung vollständig erhalten; bei 0 haften die Wagen aneinander.
J: der Kraftstoß, die Impulsänderung eines Wagens, in N·s. Bei einer Kontaktdauer von Δt entspricht er der mittleren Kraft mal Δt.

Woher die Formel kommt

Der Kraftstoß ist die Impulsänderung. Newtons zweites Axiom über die Kontaktdauer aufsummiert: Die Kraft mal der Einwirkzeit ergibt den hinzugewonnenen Impuls.
$J=\int F\,dt=\bar F\,\Delta t=m(v-u)=\Delta p$
Nach Newtons drittem Axiom sind beide Kraftstöße entgegengesetzt gleich. Jeder Wagen drückt den anderen genauso stark, wie er selbst gedrückt wird, und das über dieselbe Kontaktzeit: Was Wagen 2 gewinnt, verliert Wagen 1.
$\begin{gathered}m_2(v_2-u_2)=-m_1(v_1-u_1)\\ \Rightarrow\ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2\end{gathered}$
Das liefert eine Gleichung für zwei Unbekannte; die Stoßzahl liefert die zweite. Sie vergleicht die Trennungsgeschwindigkeit mit der Annäherungsgeschwindigkeit. Nur an dieser Stelle fließt ein, um welche Art von Stoß es sich handelt.
$v_2-v_1=e\,(u_1-u_2)$
Das Gleichungspaar lösen. Nach diesen Formeln rechnet die Ergebnistabelle.
$\begin{gathered}v_1=\frac{(m_1-em_2)u_1+m_2(1+e)u_2}{m_1+m_2}\\ v_2=\frac{(m_2-em_1)u_2+m_1(1+e)u_1}{m_1+m_2}\end{gathered}$
Der Verlust an kinetischer Energie hängt allein von der Relativgeschwindigkeit ab. Er ist null bei e = 1 und am größten bei e = 0, wenn die Wagen aneinanderhaften. Treffen dieselben Massen mit derselben Relativgeschwindigkeit aufeinander, verlieren sie exakt dieselbe Energie, ganz gleich, wohin sich das Paar als Ganzes bewegt.
$\Delta K=\tfrac12\,\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,(1-e^{2})\,(u_1-u_2)^{2}$

Setzt voraus: Die Wagen bewegen sich entlang einer Geraden und berühren während des Stoßes nur einander; Reibung und Schiene übertragen in dieser Zeit keinen Kraftstoß. Die Stoßzahl ist ein fester Wert für das Materialpaar, auch wenn sie bei realen Stoßpartnern mit härterem Aufprall sinkt. Die Wände der Animation liegen außerhalb des Zwei-Wagen-Systems: Ein Wandstoß kehrt die Richtung eines Wagens um, was den Gesamtimpuls ändert, die kinetische Energie aber unangetastet lässt.

Beide Wagen erfahren denselben Kraftstoß

Ganz gleich, welche Massen im Spiel sind: Beide Wagen erfahren stets gleich große, entgegengesetzte Kraftstöße. Jeder drückt den anderen exakt so stark, wie er selbst gedrückt wird (Newtons drittes Axiom), und das über dieselbe Kontaktzeit. Impulserhaltung bedeutet schlicht, dass sich diese beiden Kraftstöße aufheben. Klick auf Leicht prallt von schwer ab: Der Kraftstoß auf den 8-kg-Wagen beträgt 5,3333 N·s, und der Impuls des 1-kg-Wagens ändert sich um genau denselben Betrag in Gegenrichtung, von 3 auf −2,3333 kg·m/s. Die Geschwindigkeit des leichten Wagens ändert sich achtmal so stark, weil er nur ein Achtel der Masse besitzt. Eine Fliege an der Windschutzscheibe drückt genauso stark gegen das Glas wie das Glas gegen die Fliege. Der sichtbare Unterschied liegt allein an der Masse, die beschleunigt werden muss.

Die eine Zahl, die den Rückprall bestimmt

Die Stoßzahl e ist der zentrale Regler dieses Werkzeugs. Sie ist die Trenngeschwindigkeit geteilt durch die Annäherungsgeschwindigkeit: e = 1 bedeutet einen idealen Abprall, den kein realer Ball ganz erreicht (ein Flummi schafft etwa 0,9), während bei e = 0 die Wagen wie feuchter Ton aneinanderkleben. Du kannst sie zu Hause selbst messen: Lass einen Ball fallen und teile die Sprunghöhe durch die Fallhöhe – das ergibt e². Ein Basketball, der auf etwa 64 % seiner Fallhöhe zurückspringt, kommt auf e ≈ 0.8.

Voyager 2 spielte Billard mit dem Jupiter

Ein Swing-by-Manöver einer Raumsonde folgt genau diesen Regeln, ganz ohne Berührung. Im Bezugssystem des Planeten ist der Vorbeiflug perfekt elastisch (e = 1): Die Sonde verlässt ihn mit derselben Geschwindigkeit, mit der sie ankam, nur umgelenkt. Im Bezugssystem der Sonne kann sie jedoch fast die doppelte Bahngeschwindigkeit des Planeten aufnehmen. Voyager 2 gewann so am Jupiter rund 10 km/s — geliehen aus der Bahnbewegung des Planeten, die sich im Gegenzug um einen völlig vernachlässigbaren Betrag verlangsamte.

STÖSSE — DER IMPULS BLEIBT IMMER, DIE ENERGIE OFT NICHT

Welchen Stoß modellierst du?

Jeder Stoß hier erhält den Impuls: m₁u₁ + m₂u₂ ist vorher und nachher immer gleich. Die Fälle unterscheiden sich darin, wie viel kinetische Energie überlebt, und darüber entscheidet eine einzige Zahl — die Stoßzahl e, also Trenngeschwindigkeit geteilt durch Annäherungsgeschwindigkeit. Lege zuerst e fest; das Massenverhältnis sagt dann, wer wohin fährt.

Vollkommen elastisch (e = 1) — die kinetische Energie bleibt vollständig e = 1, K′ = K

Vollkommen unelastisch (e = 0) — sie bleiben aneinander und verlieren am meisten e = 0, v₁ = v₂

Teilelastisch (0 < e < 1) — die Wirklichkeit dazwischen e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Schwer trifft leicht — der Kleine wird abgeschossen m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Leicht trifft schwer — es prallt geradewegs zurück m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Vollkommen elastisch (e = 1) — die kinetische Energie bleibt vollständig

Was du weißt: Nichts verformt sich bleibend und nichts erwärmt sich: Die Wagen trennen sich genauso schnell, wie sie sich genähert haben. Impuls und kinetische Energie bleiben beide erhalten.

Stoßzahl: e = 1, K′ = K

Rechenbeispiel: 2 kg mit +3 m/s trifft 2 kg mit −3 m/s bei e = 1 → sie fahren mit −3 und +3 m/s weiter. Die Geschwindigkeiten tauschen einfach, und alle 18 J sind noch da.

Diesen Fall öffnen: Symmetrischer elastischer Stoß

Vollkommen elastisch (e = 1) — die kinetische Energie bleibt vollständig. Gleiche Massen bei e = 1: Die Wagen tauschen Geschwindigkeiten und behalten jedes Joule. Nichts verformt sich bleibend und nichts erwärmt sich: Die Wagen trennen sich genauso schnell, wie sie sich genähert haben. Impuls und kinetische Energie bleiben beide erhalten. — Gleiche Massen bei e = 1: Die Wagen tauschen Geschwindigkeiten und behalten jedes Joule.

Vollkommen unelastisch (e = 0) — sie bleiben aneinander und verlieren am meisten

Was du weißt: Die Wagen fahren mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiter, die Trenngeschwindigkeit ist also null. Der Impuls stimmt weiterhin, aber der Verlust an kinetischer Energie ist so groß wie überhaupt möglich.

Stoßzahl: e = 0, v₁ = v₂

Rechenbeispiel: 2 kg mit 3 m/s trifft ruhende 3 kg bei e = 0 → beide fahren mit 1,2 m/s weiter, und 5,4 J der ursprünglichen 9 J sind weg: 60 % Verlust.

Diesen Fall öffnen: Vollkommen unelastischer Stoß

Vollkommen unelastisch (e = 0) — sie bleiben aneinander und verlieren am meisten. Bei e = 0 fahren die Wagen gemeinsam weiter, und die fehlende Energie steckt im Schaden. Die Wagen fahren mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiter, die Trenngeschwindigkeit ist also null. Der Impuls stimmt weiterhin, aber der Verlust an kinetischer Energie ist so groß wie überhaupt möglich. — Bei e = 0 fahren die Wagen gemeinsam weiter, und die fehlende Energie steckt im Schaden.

Teilelastisch (0 < e < 1) — die Wirklichkeit dazwischen

Was du weißt: Die Wagen trennen sich zwar, aber langsamer, als sie sich genähert haben. e ist das Verhältnis der beiden: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂).

Stoßzahl: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Rechenbeispiel: 3 kg mit +4 m/s trifft 2 kg mit −2 m/s bei e = 0,5 → v₁ = +0,4 und v₂ = +3,4 m/s. Aus 6 m/s Annäherung werden 3 m/s Trennung, und 16,2 J der 28 J gehen verloren.

Diesen Fall öffnen: Realer Stoßdämpfer-Bounce

Teilelastisch (0 < e < 1) — die Wirklichkeit dazwischen. Bei 0 < e < 1 trennen sie sich langsamer, als sie sich trafen; die Differenz geht als Wärme fort. Die Wagen trennen sich zwar, aber langsamer, als sie sich genähert haben. e ist das Verhältnis der beiden: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂). — Bei 0 < e < 1 trennen sie sich langsamer, als sie sich trafen; die Differenz geht als Wärme fort.

Schwer trifft leicht — der Kleine wird abgeschossen

Was du weißt: Ein elastischer Stoß mit m₁ viel größer als m₂. Der schwere Wagen merkt den Stoß kaum; der leichte fährt schneller weg, als irgendetwas angekommen ist.

Stoßzahl: m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Rechenbeispiel: 8 kg mit 3 m/s trifft ruhende 1 kg elastisch → der schwere Wagen wird nur auf 2,33 m/s abgebremst, der leichte fährt mit 5,33 m/s davon, nahe an der Grenze 2u₁.

Diesen Fall öffnen: Schwer trifft leicht

Schwer trifft leicht — der Kleine wird abgeschossen. Bei m₁ ≫ m₂ rollt der schwere Wagen fast unverändert weiter und der leichte wird nach vorn geschleudert. Ein elastischer Stoß mit m₁ viel größer als m₂. Der schwere Wagen merkt den Stoß kaum; der leichte fährt schneller weg, als irgendetwas angekommen ist. — Bei m₁ ≫ m₂ rollt der schwere Wagen fast unverändert weiter und der leichte wird nach vorn geschleudert.

Leicht trifft schwer — es prallt geradewegs zurück

Was du weißt: Ein elastischer Stoß mit m₁ viel kleiner als m₂. Der ankommende Wagen kehrt um; der schwere bewegt sich kaum.

Stoßzahl: m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Rechenbeispiel: 1 kg mit 3 m/s trifft ruhende 8 kg elastisch → der leichte Wagen prallt mit −2,33 m/s zurück und der schwere kriecht mit 0,67 m/s vorwärts.

Diesen Fall öffnen: Leicht prallt von schwer ab

Leicht trifft schwer — es prallt geradewegs zurück. Bei m₁ ≪ m₂ prallt der leichte Wagen fast mit Ankunftstempo zurück und der schwere rührt sich kaum. Ein elastischer Stoß mit m₁ viel kleiner als m₂. Der ankommende Wagen kehrt um; der schwere bewegt sich kaum. — Bei m₁ ≪ m₂ prallt der leichte Wagen fast mit Ankunftstempo zurück und der schwere rührt sich kaum.

Quellen (1)

Insight block 3 — the gravity assist as an elastic collision with a planet: G. A. Flandro, "Solar electric low-thrust missions to Jupiter with swingby continuation to the outer planets." Journal of Spacecraft and Rockets 5(9), 1029–1033, 1968 — the swingby trajectories that became the Voyager Grand Tour.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein 2-kg-Wagen, der elastisch mit einem 3-kg-Wagen zusammenstößt 5 Schritte
Ein 2-kg-Wagen mit 3 m/s trifft elastisch auf einen 3-kg-Wagen mit −1 m/s. Bestimme beide Endgeschwindigkeiten aus den beiden Erhaltungssätzen und berechne, was derselbe Stoß an Energie kostet, wenn die Wagen stattdessen aneinanderhaften.
1. Zuerst der Impuls, da er unabhängig vom Verlauf des Stoßes erhalten bleibt. Vorzeichen tragen die Richtungen, sodass die −1 des zweiten Wagens subtrahiert wird.
  
  $p:\quad m_1u_1+m_2u_2=2(3)+3(-1)=3\ \mathrm{kg\,m/s}$
2. Die kinetische Energie ist die zweite Bedingung, und sie gilt nur dann, wenn der Stoß elastisch ist. 10,5 J gehen hinein.
  
  $K:\quad \tfrac12(2)(3)^2+\tfrac12(3)(-1)^2=9+1.5=10.5\ \mathrm{J}$
3. Zwei Gleichungen zu lösen, von denen eine quadratisch ist, lässt sich umgehen. Bei einem elastischen Stoß kehrt sich die Relativgeschwindigkeit schlicht um: Die Wagen trennen sich genauso schnell, wie sie aufeinander zugesteuert sind. Diese lineare Aussage ersetzt die Energiegleichung vollständig.
  
  $e=1:\quad v_2-v_1=e(u_1-u_2)=4,\qquad m_1v_1+m_2v_2=3$
4. Zwei lineare Gleichungen liefern dann beide Geschwindigkeiten direkt. Der leichte Wagen prallt nach hinten ab; der schwere wird nach vorne geschoben, ist am Ende jedoch langsamer, als der leichte ankam.
  
  $\Longrightarrow\ v_1=-1.8\ \mathrm{m/s},\qquad v_2=2.2\ \mathrm{m/s}$
5. Setzt du die Stoßzahl nun auf null, bewegen sich beide Wagen gemeinsam mit dem massengewichteten Mittelwert ihrer Geschwindigkeiten weiter: 0,6 m/s mit einer Energie von 0,9 J.
  
  $e=0:\ v=\frac{3}{5}=0.6\ \mathrm{m/s},\ K_f=\tfrac12(5)(0.6)^2=0.9\ \mathrm{J},\ \frac{K_i-K_f}{K_i}=\frac{9.6}{10.5}=91.43\%$
Antwort

Das Werkzeug zeigt vor und nach dem Stoß 3 kg·m/s sowie 10,5 J: Impuls und Energie bleiben erhalten, genau das bedeutet elastisch. Stellst du die Stoßzahl auf 0, steht beim Impuls noch immer 3, während die kinetische Energie danach auf 0,9 J fällt. 91,43 % der kinetischen Energie sind verloren, umgewandelt in Wärme, Schall und dauerhafte Verformung — und der Gesamtimpuls merkt davon nichts.

$e=1:\ v_1=-1.8,\ v_2=2.2\ \mathrm{m/s},\ K_f=K_i;\qquad e=0:\ v=0.6\ \mathrm{m/s},\ \frac{\Delta K}{K_i}=91.43\%$
Zwei Wagen haften aneinander 4 Schritte
Ein 4,0 kg schwerer Wagen fährt mit 2,5 m/s nach rechts und trifft auf einen Wagen von 1,0 kg, der sich mit 5,0 m/s nach links bewegt. Beide koppeln aneinander. Bestimme ihre gemeinsame Geschwindigkeit und den Verlust an kinetischer Energie.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Gesamtimpuls vor dem Stoß (nach rechts als positiv definiert; die Geschwindigkeit des 1,0-kg-Wagens beträgt somit −5,0 m/s):
  
  $P_i=4(2{.}5)+1(-5)=5\ \mathrm{kg\,m/s}$
2. Beide bewegen sich mit derselben Endgeschwindigkeit weiter, die diesen gesamten Impuls trägt:
  
  $(m_1+m_2)v=P_i\ \Rightarrow\ v=\frac{5}{5}=1\ \mathrm{m/s}$
3. Kinetische Energie vor und nach dem Stoß:
  
  $K_i=\tfrac12(4)(2{.}5)^{2}+\tfrac12(1)(5)^{2}=12{.}5+12{.}5=25\ \mathrm{J},\qquad K_f=\tfrac12(5)(1)^{2}=2{.}5\ \mathrm{J}$
4. Die Differenz ergibt den Verlust; über die Relativgeschwindigkeit lässt er sich auch ohne die Endgeschwindigkeit berechnen:
  
  $\Delta K=25-2{.}5=22{.}5\ \mathrm{J}=\tfrac12\cdot\frac{4\cdot1}{4+1}\cdot(2{.}5+5)^{2}$
Antwort

1 m/s nach rechts; von 25 J gehen 22,5 J verloren: 90 %. Der leichte Wagen hatte vor dem Stoß genauso viel kinetische Energie wie der schwere, dennoch rollt das Gespann in Richtung des schweren Wagens weiter: Über die Bewegungsrichtung entscheidet der Impuls, nicht die Energie.

$v=1\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta K=22{.}5\ \mathrm{J}\ (90\%)$
Ein Stoß mit e = 0,6 4 Schritte
Ein 1,5 kg schwerer Wagen trifft mit 4,0 m/s auf einen ruhenden Wagen von 2,5 kg. Die Stoßzahl beträgt 0,6. Bestimme beide Geschwindigkeiten nach dem Stoß und den Verlust an kinetischer Energie.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Impuls:
  
  $1{.}5(4)+2{.}5(0)=1{.}5v_1+2{.}5v_2=6$
2. Stoßzahl: Sie trennen sich mit dem 0,6-Fachen der anfänglichen Annäherungsgeschwindigkeit von 4,0 m/s.
  
  $v_2-v_1=0{.}6\,(4-0)=2{.}4$
3. Setze v₂ = v₁ + 2,4 in die Impulsgleichung ein:
  
  $1{.}5v_1+2{.}5(v_1+2{.}4)=6\ \Rightarrow\ 4v_1=0\ \Rightarrow\ v_1=0,\quad v_2=2{.}4\ \mathrm{m/s}$
4. Kinetische Energie vor und nach dem Stoß:
  
  $K_i=\tfrac12(1{.}5)(4)^{2}=12\ \mathrm{J},\quad K_f=\tfrac12(2{.}5)(2{.}4)^{2}=7{.}2\ \mathrm{J},\quad \Delta K=4{.}8\ \mathrm{J}$
Antwort

Der stoßende Wagen bleibt sofort stehen, der getroffene fährt mit 2,4 m/s weiter; 4,8 J gehen verloren, also 40 % der kinetischen Energie. Wagen 1 stoppt, weil hier m₁ = e m₂ gilt: 1,5 = 0,6 × 2,5. Damit verschwindet der erste Term in der Formel für v₁.

$v_1=0,\quad v_2=2{.}4\ \mathrm{m/s},\quad \Delta K=4{.}8\ \mathrm{J}\ (40\%)$
Die Stoßzahl e aus dem Ablauf bestimmen 3 Schritte
Ein Wagen von 1,0 kg trifft mit 4,0 m/s auf einen ruhenden 3,0-kg-Wagen und prallt mit 0,50 m/s zurück. Wie schnell fährt der 3,0-kg-Wagen davon, und wie groß ist die Stoßzahl?

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1. Der Rückprall kehrt das Vorzeichen der Geschwindigkeit um. Aus der Impulserhaltung folgt die andere Geschwindigkeit:
  
  $1(4)+3(0)=1(-0{.}5)+3v_2\ \Rightarrow\ v_2=\frac{4{.}5}{3}=1{.}5\ \mathrm{m/s}$
2. Die Stoßzahl ist das Verhältnis von Trennungsgeschwindigkeit zu Annäherungsgeschwindigkeit:
  
  $e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2}=\frac{1{.}5-(-0{.}5)}{4-0}=0{.}5$
3. Prüfung der Energie: Sie darf keinesfalls gewachsen sein:
  
  $K_i=\tfrac12(1)(4)^{2}=8\ \mathrm{J},\quad K_f=\tfrac12(1)(0{.}5)^{2}+\tfrac12(3)(1{.}5)^{2}=3{.}5\ \mathrm{J}$
Antwort

1,5 m/s und e = 0,5. Wählst du für diese Massen e = 0,5, liefert dir die Tabelle exakt die anfänglichen −0,5 m/s zurück, bei einem Verlust von 4,5 J. Eine Messung mit e größer als 1 würde bedeuten, dass kinetische Energie entstanden ist; ohne eine Feder oder Ladung, die Energie freisetzt, ist so ein Messwert schlicht falsch.

$v_2=1{.}5\ \mathrm{m/s},\qquad e=0{.}5$
Kraftstoß und mittlere Kraft 4 Schritte
Ein 2,0 kg schwerer Wagen trifft mit 3,0 m/s auf einen ruhenden 3,0-kg-Wagen und beide koppeln aneinander, genau wie unter Vollkommen unelastischer Stoß. Der Kontakt dauert 50 ms. Bestimme den Kraftstoß auf jeden Wagen und die mittlere Kraft zwischen ihnen. Was ändert sich, wenn ein weicher Puffer die Kontaktdauer auf 200 ms verlängert?

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1. Die gemeinsame Geschwindigkeit aus der Impulserhaltung:
  
  $v=\frac{2(3)+3(0)}{2+3}=1{.}2\ \mathrm{m/s}$
2. Der Kraftstoß entspricht der Impulsänderung des jeweiligen Wagens:
  
  $J_2=3\,(1{.}2-0)=3{.}6\ \mathrm{N\,s},\qquad J_1=2\,(1{.}2-3)=-3{.}6\ \mathrm{N\,s}$
3. Die mittlere Kraft ist der Kraftstoß geteilt durch die Kontaktdauer:
  
  $\bar F=\frac{J}{\Delta t}=\frac{3{.}6}{0{.}050}=72\ \mathrm{N}$
4. Der Puffer verlängert nur die Zeitspanne, lässt aber die Geschwindigkeiten und damit den Kraftstoß unverändert:
  
  $\Delta t=0{.}200\ \mathrm{s}:\quad \bar F=\frac{3{.}6}{0{.}200}=18\ \mathrm{N}$
Antwort

3,6 N·s auf jeden Wagen, in entgegengesetzter Richtung; 72 N über 50 ms und 18 N über 200 ms. Eine viermal so lange Kontaktdauer viertelt die Kraft; sämtliche Geschwindigkeiten und der Energieverlust von 5,4 J bleiben genau wie zuvor. Genau so funktionieren Knautschzone und Airbag: Sie können die Impulsänderung der Insassen nicht verringern, sondern strecken lediglich die Zeit, über die sie wirkt.

$J=\pm3{.}6\ \mathrm{N\,s},\qquad \bar F=72\ \mathrm{N}\ (50\ \mathrm{ms}),\quad 18\ \mathrm{N}\ (200\ \mathrm{ms})$
Aus der Ruhe abgestoßen 3 Schritte
Ein Wagen von 2,0 kg und ein Wagen von 3,0 kg ruhen mit einer gespannten Feder zwischen sich. Nach dem Lösen fährt der 3,0-kg-Wagen mit 2,0 m/s nach rechts davon. Bestimme die Geschwindigkeit des 2,0-kg-Wagens und die in der Feder gespeicherte Energie.

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1. Vor dem Lösen ist der Gesamtimpuls null, also muss er auch danach null sein:
  
  $0=2v_1+3(2)\ \Rightarrow\ v_1=-3\ \mathrm{m/s}$
2. Die gesamte kinetische Energie stammt aus der Feder:
  
  $E=\tfrac12(2)(3)^{2}+\tfrac12(3)(2)^{2}=9+6=15\ \mathrm{J}$
3. Lass den Film rückwärts ablaufen: Die Wagen nähern sich mit genau diesen Geschwindigkeiten, koppeln aneinander und bleiben stehen. Der Stoß mit u₁ = 3 m/s und u₂ = −2 m/s ist genau dieser umgekehrte Film.
  
  $(m_1+m_2)v=2(3)+3(-2)=0\ \Rightarrow\ v=0,\qquad \Delta K=15\ \mathrm{J}$
Antwort

3 m/s nach links und 15 J. Die Beträge der Impulse sind gleich groß, die Richtungen entgegengesetzt. Der leichtere Wagen ist jedoch schneller und übernimmt 9 J der 15 J. Ein Rückstoß ist ein zeitumgekehrter vollkommen unelastischer Stoß; deshalb führt dieser Vorgang als Stoß betrachtet auch zum Verlust der gesamten 15 J.

$v_1=-3\ \mathrm{m/s},\qquad E=15\ \mathrm{J}$
Ein Ball gegen eine Wand 4 Schritte
Ein 0,40 kg schwerer Ball trifft mit 12 m/s auf eine Wand und prallt auf derselben Linie mit 8,0 m/s zurück. Der Kontakt dauert 20 ms; dabei steigt die Kraft gleichmäßig bis zu einer Spitze an und fällt gleichmäßig wieder auf null ab. Bestimme den Kraftstoß, die mittlere Kraft, die Maximalkraft und die Stoßzahl.
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1. Wähle die Abprallrichtung als positiv, sodass der Ball mit −12 m/s eintrifft. Der Kraftstoß ist die Impulsänderung:
  
  $J=m(v-u)=0{.}40\,\bigl(8-(-12)\bigr)=8\ \mathrm{N\,s}$
2. Die mittlere Kraft während der Kontaktdauer:
  
  $\bar F=\frac{J}{\Delta t}=\frac{8}{0{.}020}=400\ \mathrm{N}$
3. Der Kraftstoß entspricht auch der Fläche unter dem Kraft-Zeit-Graphen, hier einem Dreieck:
  
  $J=\tfrac12F_{\max}\,\Delta t\ \Rightarrow\ F_{\max}=\frac{2(8)}{0{.}020}=800\ \mathrm{N}$
4. Die Wand bewegt sich nicht; die Trennungsgeschwindigkeit ist somit die Eigengeschwindigkeit des Balls:
  
  $e=\frac{8}{12}=0{.}6667$
Antwort

8 N·s, im Mittel 400 N, 800 N in der Spitze und e = 0,6667. Der Rückprall vergrößert den Kraftstoß: Ein Ball, der an der Wand einfach abstoppen würde, erführe 4,8 N·s – dieser hier erfährt 8.

$J=8\ \mathrm{N\,s},\quad \bar F=400\ \mathrm{N},\quad F_{\max}=800\ \mathrm{N},\quad e=0{.}6667$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Ein 1.500 kg schweres Auto fährt mit 20 m/s auf ein vorausfahrendes Auto von 1.000 kg auf, das in derselben Richtung mit 10 m/s unterwegs ist. Beide verkeilen sich ineinander. Wie schnell rollen sie davon und wie viel kinetische Energie geht verloren?

Ergebnis anzeigen

16 m/s; 30.000 J.

$v=\frac{1500(20)+1000(10)}{2500}=16\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta K=350\,000-320\,000=30\,000\ \mathrm{J}$
Ein 0,20 kg schwerer Ball trifft mit 5,0 m/s zentral und vollkommen elastisch auf einen ruhenden Ball von 0,30 kg. Bestimme beide Geschwindigkeiten nach dem Stoß.

Ergebnis anzeigen

−1,0 m/s (er prallt zurück) und 4,0 m/s.

$v_1=\frac{0{.}20-0{.}30}{0{.}50}(5{.}0)=-1{.}0\ \mathrm{m/s},\qquad v_2=\frac{2(0{.}20)}{0{.}50}(5{.}0)=4{.}0\ \mathrm{m/s}$
Ein Tennisball von 0,058 kg trifft mit 30 m/s auf einen Schläger und verlässt ihn nach 5,0 ms Kontaktzeit in Gegenrichtung mit 25 m/s. Bestimme den Kraftstoß und die mittlere Kraft.

Ergebnis anzeigen

3,19 N·s und 638 N.

$J=0{.}058\,(25+30)=3{.}19\ \mathrm{N\,s},\qquad \bar F=\frac{3{.}19}{0{.}0050}=638\ \mathrm{N}$
Ein Ball fällt aus 1,80 m Höhe auf einen harten Boden und springt auf 1,25 m zurück. Wie groß ist die Stoßzahl?

Ergebnis anzeigen

0,8333, aus e = √(1,25/1,80).

$e=\sqrt{\frac{1{.}25}{1{.}80}}=0{.}8333$
Ein 4,0 kg schweres Gewehr feuert eine Kugel von 0,010 kg mit 400 m/s ab. Wie groß ist die Rückstoßgeschwindigkeit des Gewehrs?

Ergebnis anzeigen

1,0 m/s, entgegen der Flugrichtung der Kugel.

$v=-\frac{0{.}010(400)}{4{.}0}=-1{.}0\ \mathrm{m/s}$

Lernpfad

Energie statt Kräfte

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.