Verteilungen beschreiben

Gib einen Datensatz ein, zwei zum Vergleichen, oder wähle unten ein Beispiel aus. Jeder Datensatz erscheint als Punktdiagramm über seinem Boxplot auf einer gemeinsamen Skala; der Mittelwert ist unter der Box markiert. Der Quartil-Schalter wechselt die Berechnungsmethode für Q₁ und Q₃ und verschiebt damit auch die Ausreißergrenzen.

Mittelwert	$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i$
Standardabweichung	$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$
Ausreißergrenzen	$\begin{aligned}&Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Rechenbeispiel — Verteilungen beschreiben

Anzahl der Werte	97
Mittelwert	54,4948
Standardabweichung s	5,8401
Median M	54
Erstes Quartil Q₁	50
Drittes Quartil Q₃	59
Interquartilsabstand	9
Spannweite	28

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Verteilungen beschreiben

Eine Verteilung zu beschreiben bedeutet, ihre Form, ihre Lage, ihre Streuung und eventuelle Ausreißer im Sachzusammenhang darzustellen. Zwei Verteilungen zu vergleichen heißt, die Unterschiede in diesen Eigenschaften mit konkreten Kennzahlen zu belegen.

Woher die Formel kommt

Form. Betrachte das Punktdiagramm oder Histogramm: Gibt es einen oder mehrere Gipfel? Ist die Verteilung annähernd symmetrisch oder hat sie einen langen Ausläufer nach rechts (rechtsschief) oder nach links (linksschief)? Achte auch auf Lücken oder Häufungen. Die Schiefe g₁ fasst den Verlauf in einer Zahl zusammen: ein positiver Wert kennzeichnet einen langen rechten Ausläufer.
$g_1=\frac{\frac1n\sum(x_i-\bar x)^3}{\left(\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2\right)^{3/2}}$
Lage. Der Mittelwert ist der physikalische Schwerpunkt der Daten. Der Median teilt die geordnete Reihe so, dass mindestens die Hälfte der Werte kleiner oder gleich und mindestens die Hälfte größer oder gleich ihm ist. Ein einzelner Extremwert kann den Mittelwert stark verfälschen, lässt den Median jedoch nahezu unberührt. Man nennt den Median deshalb resistent oder robust.
$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i,\qquad M=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$
Streuung. Die Standardabweichung s erfasst den typischen Abstand zum Mittelwert; geteilt wird durch n − 1, weil die Summe der Abweichungen von x̄ stets null ergibt. Der Interquartilsabstand (IQR) misst die Spannweite der mittleren Hälfte und ist wie der Median unempfindlich gegenüber Ausreißern. Die gewöhnliche Spannweite greift dagegen nur die beiden äußersten Werte heraus.
$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}},\qquad\sum(x_i-\bar x)=0$
Auffällige Werte. Ein Wert gilt als Ausreißer, wenn er mehr als 1,5 IQR unter Q₁ oder über Q₃ liegt. Liegt ein Wert exakt auf der Ausreißergrenze, zählt er nicht dazu.
$x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$
Wähle das passende Kennzahlenpaar. Bei einer halbwegs symmetrischen Verteilung ohne Ausreißer nutzt du Mittelwert und s; ist sie schief oder treten Ausreißer auf, greifst du zu Median und IQR. Willst du zwei Gruppen vergleichen, verwende für beide dasselbe Paar auf einer gemeinsamen Skala und gib an, welche Gruppe größere Werte aufweist und um wie viel.

Setzt voraus: Quartile hängen von der Berechnungsmethode ab. Der Schalter bietet drei Verfahren: die Hälften-Methode des TI-84 sowie Typ 7 und Typ 6 nach Hyndman und Fan, die Standards in R sowie in Minitab und SPSS. Sie können sich bei Datensätzen jeder Größe voneinander unterscheiden.

Aufgaben vollständig gelöst

Eine einzelne Verteilung beschreiben 3 Schritte
Beschreibe die Verteilung der 175 Wartezeiten von Old Faithful nach einem Ausbruch von mindestens 3 Minuten: n = 175, Mittelwert 79,99, s = 5,99, Minimum 64, Q₁ = 76, Median 80, Q₃ = 84, Maximum 96, Schiefe −0,04.

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1. Form: Das Punktdiagramm ist eingipflig mit etwa gleich langen Ausläufern; die Schiefe liegt nahe bei null.
  
  $g_1\approx-0.04$
2. Lage und Streuung: Da die Verteilung annähernd symmetrisch ist, eignen sich Mittelwert und Standardabweichung gut zur Beschreibung. Prüfe anhand der Grenzen auf Ausreißer:
  
  $76-1.5\times8=64,\qquad 84+1.5\times8=96$
3. 64 und 96 liegen exakt auf den Grenzen. Ein Wert genau auf der Grenze gilt nicht als Ausreißer.
Antwort

Eingipflig und annähernd symmetrisch, zentriert um 80 Minuten (Mittelwert 79,99, Median 80), mit einer Standardabweichung von rund 6 Minuten und Wartezeiten von 64 bis 96; keine Ausreißer.

$\bar x\approx80,\quad M=80,\quad s\approx6,\quad 64\le x\le96$
Mittelwert und Standardabweichung von Hand berechnen 3 Schritte
Neun Jugendliche brauchten 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31 und 49 Minuten für ihre Hausaufgaben. Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung.

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1. Addiere die Werte und teile durch n:
  
  $\bar x=\frac{10+15+19+20+23+29+29+31+49}{9}=\frac{225}{9}=25$
2. Quadriere jede Abweichung vom Mittelwert und bilde die Summe der Quadrate:
  
  $225+100+36+25+4+16+16+36+576=1034$
3. Teile durch n − 1 = 8 und ziehe die Quadratwurzel:
  
  $s=\sqrt{\frac{1034}{8}}=\sqrt{129.25}\approx11.37$
Antwort

x̄ = 25 Minuten, s ≈ 11,37 Minuten.

$\bar x=25,\qquad s\approx11.37$
Welche Kennzahlen Ausreißern standhalten 2 Schritte
Newcombs 66 Messwerte haben einen Mittelwert von 26,21, eine Standardabweichung von 10,75, einen Median von 27 und einen IQR von 7. Ohne die beiden Ausreißer −44 und −2 weisen die verbleibenden 64 Werte einen Mittelwert von 27,75, eine Standardabweichung von 5,08, einen Median von 27,5 und einen IQR von 6,5 auf. Welche Kennzahlen veränderten sich am stärksten, und welches Kennzahlenpaar sollte den gesamten Datensatz beschreiben?

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1. Vergleiche jede Kennzahl mit und ohne die beiden Extremwerte:
  
  $\bar x:\ 26.21\to27.75,\qquad s:\ 10.75\to5.08,\qquad M:\ 27\to27.5,\qquad\mathrm{IQR}:\ 7\to6.5$
2. Die Standardabweichung halbiert sich mehr als, und der Mittelwert verschiebt sich um 1,54. Median und IQR verändern sich dagegen nur um jeweils 0,5. Die Ausreißer beeinflussen die nicht-robusten Maße massiv.
Antwort

Der Mittelwert und vor allem die Standardabweichung veränderten sich am stärksten. Der Gesamtdatensatz mit seinen zwei Ausreißern wird am besten durch den Median von 27 und den IQR von 7 beschrieben.

$M=27,\qquad\mathrm{IQR}=7$
Zwei Verteilungen vergleichen 2 Schritte
Vergleiche die Wartezeiten nach kurzen Ausbrüchen (n = 97: Median 54, Q₁ 50, Q₃ 59, Spannweite 43 bis 71, Schiefe 0,30) mit denen nach langen Ausbrüchen (n = 175: Median 80, Q₁ 76, Q₃ 84, Spannweite 64 bis 96, Schiefe −0,04).

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1. Lage: Die Mediane unterscheiden sich um:
  
  $80-54=26$
2. Streuung: Die IQRs betragen 9 und 8 Minuten, sind also fast identisch. Form: Beide Verteilungen sind eingipflig; nach kurzen Ausbrüchen ist der rechte Ausläufer etwas länger. Auffällige Werte: Nach den Grenzen gibt es in keiner Gruppe Ausreißer. Überlappung:
  
  $Q_1^{\,\mathrm{long}}=76>59=Q_3^{\,\mathrm{short}}$
Antwort

Wartezeiten nach einem langen Ausbruch sind typischerweise um 26 Minuten länger (Median 80 gegenüber 54), bei nahezu gleicher Streuung (IQR 8 und 9) und ohne Ausreißer. Die mittlere Hälfte der Wartezeiten nach langen Ausbrüchen (76 bis 84) liegt vollständig über der mittleren Hälfte nach kurzen Ausbrüchen (50 bis 59).

$M_{\mathrm{long}}-M_{\mathrm{short}}=26,\qquad\mathrm{IQR}:\ 8,\ 9$
Dieselben Daten, zwei Quartilmethoden 2 Schritte
Bestimme für 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49 die Quartile Q₁ und Q₃ mit der Hälften-Methode sowie nach Typ 7 mit h = (n − 1)p + 1, und entscheide jeweils, ob 49 ein Ausreißer ist.

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1. Hälften-Methode: Schließe den Median 23 aus und nimm den Median der jeweils vier verbleibenden Werte:
  
  $Q_1=\frac{15+19}{2}=17,\qquad Q_3=\frac{29+31}{2}=30,\qquad 30+1.5\times13=49.5>49$
2. Typ 7: h = 8 × 0,25 + 1 = 3 und h = 8 × 0,75 + 1 = 7, somit entsprechen Q₁ und Q₃ dem 3. und 7. Wert:
  
  $Q_1=x_{(3)}=19,\qquad Q_3=x_{(7)}=29,\qquad 29+1.5\times10=44<49$
Antwort

Hälften: Q₁ = 17, Q₃ = 30, Grenze 49,5, somit ist 49 kein Ausreißer. Typ 7: Q₁ = 19, Q₃ = 29, Grenze 44, somit ist 49 ein Ausreißer.

$49.5>49,\qquad 44<49$
Einheiten umrechnen 2 Schritte
Newcomb notierte jede gemessene Zeit t als codierten Wert x mit t = 24,8 + x/1000 Millionstelsekunden. Für die Codewerte gilt: Mittelwert 26,21, Standardabweichung 10,75, Median 27 und IQR 7. Bestimme dieselben vier Kennzahlen für t.
Lösung anzeigen
1. Die Addition einer Konstanten verschiebt jedes Lagemaß und lässt Streumaße unverändert; die Multiplikation mit einer positiven Konstanten skaliert beides. Lage:
  
  $24.8+\frac{26.21}{1000}=24.82621,\qquad 24.8+\frac{27}{1000}=24.827$
2. Streuung, lediglich multipliziert mit 1/1000:
  
  $\frac{10.75}{1000}=0.01075,\qquad\frac{7}{1000}=0.007$
Antwort

Mittelwert 24,82621 und Median 24,827 Millionstelsekunden; Standardabweichung 0,01075 und IQR 0,007.

$\bar t=24.82621,\quad M_t=24.827,\quad s_t=0.01075,\quad\mathrm{IQR}_t=0.007$
Wenn Mittelwert und Median nicht zum Ausläufer passen 3 Schritte
In 100 Haushalten leben in 38 ein Erwachsener, in 49 zwei, in 9 drei, in 3 vier und in 1 fünf. Bestimme den Mittelwert und den Median und gib an, in welche Richtung die Verteilung schief ist.

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Lösung anzeigen
1. Der Mittelwert:
  
  $\bar x=\frac{38\cdot1+49\cdot2+9\cdot3+3\cdot4+1\cdot5}{100}=\frac{180}{100}=1.8$
2. Der Median ist der Mittelwert des 50. und 51. Werts. Die ersten 38 Werte sind 1 und die Werte 39 bis 87 sind 2:
  
  $x_{(50)}=x_{(51)}=2\ \Rightarrow\ M=2$
3. Der Ausläufer reicht nach rechts bis zu 4 und 5 Erwachsenen, die Schiefe ist positiv:
  
  $g_1\approx1.2>0,\qquad\bar x=1.8<2=M$
Antwort

Mittelwert 1,8, Median 2, rechtsschief (g₁ ≈ 1,2): Der Mittelwert liegt unter dem Median, obwohl der lange Ausläufer nach rechts zeigt.

$\bar x=1.8<M=2,\qquad g_1\approx1.2$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung von 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

Ergebnis anzeigen

x̄ = 5, s ≈ 2,14

$\bar x=5,\qquad s=\sqrt{\tfrac{32}{7}}\approx2.14$
Ein Datensatz hat Q₁ = 12 und Q₃ = 20. Welche der Zahlen 0, 8, 32 und 33 sind Ausreißer?

Ergebnis anzeigen

Nur 33. Die Grenzen liegen bei 0 und 32, und ein Wert genau auf der Grenze gilt nicht als Ausreißer.

$12-1.5\times8=0,\qquad 20+1.5\times8=32<33$
Jeder Wert eines Datensatzes wird mit 3 multipliziert, danach wird 5 addiert. Was geschieht mit Mittelwert, Median, Standardabweichung und IQR?

Ergebnis anzeigen

Mittelwert und Median verändern sich zu 3 × (alt) + 5; Standardabweichung und IQR werden mit 3 multipliziert.

$\bar x\to3\bar x+5,\quad M\to3M+5,\quad s\to3s,\quad\mathrm{IQR}\to3\,\mathrm{IQR}$
Die Testergebnisse sind stark linksschief mit zwei extrem niedrigen Werten. Welche Lage- und Streumaße sollte ein Bericht verwenden?

Ergebnis anzeigen

Den Median und den IQR.
Bestimme für 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49 die Quartile Q₁ und Q₃ nach Typ 6 mit h = (n + 1)p.

Ergebnis anzeigen

Q₁ = 17, Q₃ = 30

$h=2.5:\ 15+0.5\,(19-15)=17,\qquad h=7.5:\ 29+0.5\,(31-29)=30$

Die zwei Buckel von Old Faithful sind zwei Arten von Ausbrüchen

Klicke auf Old Faithful, kurz/lang. Das Histogramm aller 272 Wartezeiten zeigte zwei Buckel. Hier sind dieselben Werte nach der Dauer des vorangegangenen Ausbruchs aufgeteilt. Nach einem Ausbruch unter 3 Minuten liegt die mittlere Hälfte der Wartezeiten zwischen 50 und 59 Minuten. Nach einem längeren Ausbruch liegt sie zwischen 76 und 84. Die beiden Boxen überlappen sich überhaupt nicht, und das Histogramm jeder einzelnen Gruppe, eingeteilt in 5-Minuten-Klassen, besitzt nur noch einen einzigen Buckel. Der zweite Buckel war also schlicht eine zweite Gruppe, die im selben Diagramm gelandet war. Hat eine Verteilung zwei Gipfel, lohnt sich die Frage, was die beiden Teile voneinander trennt. Hier genügt ein Blick auf die Stoppuhr während des Ausbruchs.

Zwei Rechner, zwei Urteile über dieselbe 49

Klicke auf Hausaufgaben, Hälften. Ein TI-84 ermittelt Q₁ = 17 und Q₃ = 30, die obere Grenze landet bei 49,5, und der größte Wert, 49, liegt gerade noch darunter. Klicke nun auf Hausaufgaben, Typ 7, wie R es standardmäßig handhabt: Hier ist Q₁ = 19 und Q₃ = 29, die Grenze rutscht auf 44 ab, und dieselbe 49 wird zum Ausreißer. Neun Zahlen, und bloß die Software ist eine andere. 1996 verglichen Hyndman und Fan neun gebräuchliche Definitionen für empirische Quantile. Sie stießen auf Pakete, die für Quartile eine andere Rechenvorschrift anwandten als für ihre eigenen Boxplots. Bei neun Werten bestimmt die Methode das Urteil. Halte also stets fest, wie du gerechnet hast, nicht nur das Ergebnis.

Rechtsschief, und der Mittelwert liegt unter dem Median

Die klassische Lehrbuchregel besagt, der Mittelwert wandere stets in Richtung des langen Ausläufers. Klicke auf Erwachsene je Haushalt: Die Verteilung zieht sich nach rechts bis zu Haushalten mit vier und fünf Erwachsenen, die Schiefe beträgt +1,2, und dennoch liegt das arithmetische Mittel mit 1,8 unter dem Median von 2. Paul von Hippel fand die angebliche Faustregel 2005 in 14 von 18 Lehrbüchern; er zeigte zugleich, dass sie schon beim General Social Survey von 2002 versagt. Nach diesem Vorbild sind diese Beispieldaten aufgebaut: 38 % liegen unter dem Median, 49 % genau darauf und 13 % darüber. Der Mittelwert gleicht die dicht besetzte linke Seite aus. Für die Schiefe hingegen wiegen die wenigen hohen Werte rechts schwer, weil ihre Abstände in dritter Potenz einfließen. Bei diskreten Daten mit vielen identischen Werten am Median liest du die Form deshalb besser am Diagramm ab als an der Reihenfolge von Mittelwert und Median.

Lernpfad

Statistik: Von Daten zu Anteilen

Quellen (6)

Insight block 3 and solved problem 7: the textbook rule that the mean lies towards the long tail, found in 14 of 18 introductions, failing for adults per US household in the 2002 General Social Survey (skewness 1.11, 38% of cases below the median, 49% at it, 13% above), and why discrete data break it: von Hippel, P. T. (2005). Mean, median, and skew: Correcting a textbook rule. Journal of Statistics Education, 13(2).
Insight block 2: the definitions of sample quantiles in use in statistical packages, compared, and the observation that one package can use one definition for a quantile and another for its boxplot: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
Types 6 and 7 as the page computes them: type 7 is R's default, type 6 is the one Minitab and SPSS use: R Core Team. quantile: Sample Quantiles. R stats package documentation.
A standard AP Statistics text showing the TI-83/84 and Minitab giving different quartiles for the same data, and the TI-83/84's 1-Var Stats as the five-number summary: Starnes, D. S. & Tabor, J. The Practice of Statistics, 7th edition. New York: Bedford, Freeman & Worth, 2024; page 75.
Old Faithful's waits and eruption lengths, split at 3 minutes for the first preset; R documents the waiting column as the time to the next eruption: R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Newcomb's 66 timings and the code t = 24.8 + x/1000 millionths of a second used in solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

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