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Inferenz für zwei Anteile

Gib Trefferzahl und Stichprobenumfang beider Gruppen ein und wähle Alternativhypothese, Konfidenzniveau sowie α. Die obere Grafik zeigt die Stichprobenverteilung von p̂₁ − p̂₂ unter p₁ = p₂ mit schattiertem p-Wert; darunter liegt auf derselben Skala das Konfidenzintervall für p₁ − p₂.

Standardabweichung von p̂₁ − p̂₂ σp^1−p^2=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}
Konfidenzintervall (p^1−p^2)±z∗p^1(1−p^1)n1+p^2(1−p^2)n2(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}
Teststatistik, gepoolt z=p^1−p^2p^c(1−p^c)(1n1+1n2),p^c=x1+x2n1+n2z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}},\quad\hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}
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Lektion

Die Theorie — Inferenz für zwei Anteile

Die Inferenz für zwei Anteile vergleicht p₁ und p₂, also die Erfolgswahrscheinlichkeiten zweier Grundgesamtheiten oder Behandlungen, anhand der Differenz p̂₁ − p̂₂: Ein Konfidenzintervall schätzt p₁ − p₂ ab, und ein Signifikanztest prüft H₀: p₁ = p₂.

Woher die Formel kommt

  1. Die Stichprobenverteilung von p̂₁ − p̂₂. Bei wiederholter, unabhängiger Stichprobenziehung hat p̂₁ − p̂₂ den Erwartungswert p₁ − p₂. Da die Stichproben unabhängig sind, addieren sich ihre Varianzen; die Standardabweichungen verbinden sich daher unter einer Wurzel und niemals durch einfache Addition. Die Verteilung ist näherungsweise normal, wenn n₁p₁, n₁(1 − p₁), n₂p₂ und n₂(1 − p₂) jeweils mindestens 10 betragen.
    μp^1−p^2=p1−p2,σp^1−p^22=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2\mu_{\hat p_1-\hat p_2}=p_1-p_2,\qquad\sigma^2_{\hat p_1-\hat p_2}=\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}
  2. Bedingungen prüfen. Zufall: zwei unabhängige Zufallsstichproben oder zwei durch randomisierte Zuweisung gebildete Versuchsgruppen. 10 %: Beim Ziehen ohne Zurücklegen umfasst jede Stichprobe höchstens ein Zehntel der jeweiligen Grundgesamtheit; bei Zufallszuweisung existiert keine beprobte Grundgesamtheit, die Bedingung entfällt. Ausreichender Umfang: Für das Intervall mindestens 10 Erfolge und 10 Misserfolge in jeder Gruppe; für den Test mindestens 10 für alle vier erwarteten Häufigkeiten unter dem gepoolten Anteil.
    n1≤0.1 N1,n2≤0.1 N2xi≥10,ni−xi≥10nip^c≥10,ni(1−p^c)≥10\begin{aligned}&n_1\le0.1\,N_1,\quad n_2\le0.1\,N_2\\&x_i\ge10,\quad n_i-x_i\ge10\\&n_i\hat p_c\ge10,\quad n_i(1-\hat p_c)\ge10\end{aligned}
  3. Das Intervall. (p̂₁ − p̂₂) ± z* mal Standardfehler, berechnet mit dem jeweils eigenen p̂ der Gruppen, da das Intervall keine Annahmen über p₁ und p₂ trifft. Enthält es die 0, ist ein Unterschied von null plausibel. Liegt es vollständig über oder unter 0, liefert es einen überzeugenden Beleg für einen Unterschied in diese Richtung.
    (p^1−p^2)±z∗ SE,z∗=1.645, 1.96, 2.576(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\,SE,\qquad z^*=1.645,\ 1.96,\ 2.576
  4. Der Test. Formuliere H₀: p₁ = p₂ und die Alternativhypothese. Gilt H₀, schätzen beide Stichproben denselben Anteil; der Test poolt sie daher zu p̂c und berechnet die Standardabweichung von p̂₁ − p̂₂ allein aus diesem p̂c. Die Teststatistik z misst die beobachtete Differenz in Einheiten dieser Standardabweichung. Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter Annahme von H₀ eine mindestens so extreme Differenz in Richtung von Hₐ zu beobachten.
    H0: p1=p2 ⇒ p^c=x1+x2n1+n2,σ0=p^c(1−p^c)(1n1+1n2)H_0:\ p_1=p_2\ \Rightarrow\ \hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad\sigma_0=\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}
  5. Schlussfolgern und den Geltungsbereich benennen. Vergleiche den p-Wert mit α und formuliere das Ergebnis im Sachzusammenhang wie beim Einstichprobentest. Achte auf das Studiendesign: Eine randomisierte Zuweisung erlaubt den Schluss, dass die Behandlung den Unterschied verursacht hat; eine echte Zufallsstichprobe erlaubt die Verallgemeinerung auf die Grundgesamtheit. Zwei Stichproben aus einer Beobachtungsstudie können zeigen, dass sich zwei Gruppen unterscheiden – aber niemals, warum.
Setzt voraus
Das Normalverteilungsmodell approximiert zwei binomialverteilte Zählgrößen. Sind die Mindesthäufigkeiten nicht erfüllt, berechnet die Seite Fishers exakten p-Wert: Er hält die Gesamtzahl aller Erfolge fest und bestimmt, wie oft eine rein zufällige Aufteilung der n₁ + n₂ Personen mindestens x₁ davon der Gruppe 1 zuweisen würde. Für die zweiseitige Variante verdoppelt man die Wahrscheinlichkeit des kleineren Rands.

Aufgaben vollständig gelöst

  1. Die Stichprobenverteilung von p̂₁ − p̂₂ 3 Schritte

    In einer Großstadt geben 30 % der Erwachsenen und 20 % der Jugendlichen an, Zeitung zu lesen. Es werden unabhängige Zufallsstichproben von 100 Erwachsenen und 150 Jugendlichen gezogen. Beschreibe die Stichprobenverteilung von p̂₁ − p̂₂ und berechne, wie wahrscheinlich es ist, dass der Stichprobenanteil der Erwachsenen kleiner ausfällt als der der Jugendlichen.

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    1. Lage und Streuung ergeben sich direkt aus den beiden Anteilen und Stichprobenumfängen:

      μp^1−p^2=0.3−0.2=0.1σp^1−p^2=0.3 (0.7)100+0.2 (0.8)150≈0.0563\begin{aligned}\mu_{\hat p_1-\hat p_2}&=0.3-0.2=0.1\\\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{100}+\frac{0.2\,(0.8)}{150}}\\&\approx0.0563\end{aligned}

    2. Die Form ist annähernd normalverteilt, da alle vier erwarteten Häufigkeiten mindestens 10 erreichen:

      100 (0.3)=30,100 (0.7)=70150 (0.2)=30,150 (0.8)=120\begin{aligned}&100\,(0.3)=30,\quad100\,(0.7)=70\\&150\,(0.2)=30,\quad150\,(0.8)=120\end{aligned}

    3. Der Anteil der Erwachsenen ist kleiner, sobald p̂₁ − p̂₂ unter 0 fällt:

      P(p^1−p^2<0)=P ⁣(Z<0−0.10.0563)=P(Z<−1.78)≈0.038\begin{aligned}P(\hat p_1-\hat p_2<0)&=P\!\left(Z<\frac{0-0.1}{0.0563}\right)\\&=P(Z<-1.78)\approx0.038\end{aligned}

    Antwort

    Näherungsweise normalverteilt mit dem Mittelwert 0,1 und der Standardabweichung 0,0563. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenanteil der Erwachsenen kleiner ist, beträgt etwa 0,038.

    p^1−p^2 ∼˙ N(0.1, 0.0563)P(p^1<p^2)≈0.038\begin{aligned}&\hat p_1-\hat p_2\ \dot\sim\ N(0.1,\ 0.0563)\\&P(\hat p_1<\hat p_2)\approx0.038\end{aligned}
  2. Ein Konfidenzintervall konstruieren 3 Schritte

    In einer Zufallsstichprobe von 300 Erwachsenen einer Stadt befürworten 168 ein Fahrverbot in der Innenstadt; in einer Stichprobe von 350 Erwachsenen einer zweiten Stadt sind es 140. Konstruiere und interpretiere ein 95%-Konfidenzintervall für die Differenz der Anteile beider Städte.

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    1. Bedingungen: zwei unabhängige Zufallsstichproben; eine Stadt hat weit mehr als die 3.000 bzw. 3.500 Erwachsenen, die eine Stichprobe zu einem Zehntel der Grundgesamtheit machen würden; 168, 132, 140 und 210 sind alle mindestens 10. Die beiden Anteile:

      p^1=168300=0.56,p^2=140350=0.4\hat p_1=\frac{168}{300}=0.56,\qquad\hat p_2=\frac{140}{350}=0.4

    2. Der Standardfehler, berechnet mit dem jeweiligen Anteil der beiden Städte:

      SE=0.56 (0.44)300+0.4 (0.6)350≈0.0388\begin{aligned}SE&=\sqrt{\frac{0.56\,(0.44)}{300}+\frac{0.4\,(0.6)}{350}}\\&\approx0.0388\end{aligned}

    3. Mit z* = 1,96 multiplizieren sowie addieren und subtrahieren:

      0.16±1.96 (0.0388)=0.16±0.0760.16\pm1.96\,(0.0388)=0.16\pm0.076

    Antwort

    (0,084; 0,236). Wir können zu 95 % darauf vertrauen, dass der Anteil der Erwachsenen, die das Verbot unterstützen, in der ersten Stadt um 8,4 bis 23,6 Prozentpunkte höher liegt als in der zweiten.

    (0.084, 0.236)(0.084,\ 0.236)
  3. Mit einem Intervall eine Behauptung beurteilen 2 Schritte

    In Zufallsstichproben von Kundinnen und Kunden gaben 45 von 150 in Filiale A und 52 von 200 in Filiale B einen Artikel zurück. Die Geschäftsleitung behauptet, die Rückgaberaten beider Filialen seien unterschiedlich. Beurteile diese Behauptung anhand eines 95%-Konfidenzintervalls.

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    1. Die Differenz und ihr Standardfehler:

      p^1−p^2=0.3−0.26=0.04SE=0.3 (0.7)150+0.26 (0.74)200≈0.0486\begin{aligned}\hat p_1-\hat p_2&=0.3-0.26=0.04\\SE&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{150}+\frac{0.26\,(0.74)}{200}}\\&\approx0.0486\end{aligned}

    2. Das Intervall und die Lage der 0:

      0.04±1.96 (0.0486)=0.04±0.095=(−0.055, 0.135)\begin{aligned}0.04\pm1.96\,(0.0486)&=0.04\pm0.095\\&=(-0.055,\ 0.135)\end{aligned}

    Antwort

    Das Intervall (−0,055; 0,135) enthält die 0; ein Unterschied von null ist also ein plausibler Wert. Die Daten liefern keinen überzeugenden Beleg dafür, dass sich die Rückgaberaten unterscheiden.

    0∈(−0.055, 0.135)0\in(-0.055,\ 0.135)
  4. Ein zweiseitiger Test in einem Experiment 3 Schritte

    200 Freiwillige wurden zufällig auf zwei Gruppen von je 100 Personen aufgeteilt. Eine Gruppe erhielt eine Erinnerungs-SMS; 62 von ihnen ließen sich gegen Grippe impfen, verglichen mit 45 in der Kontrollgruppe. Teste zum 5%-Niveau, ob die Erinnerung einen Unterschied macht, und erläutere, welche Schlussfolgerungen zulässig sind und welcher Fehler riskiert wird.

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    1. Hypothesen: H₀: p₁ = p₂, Hₐ: p₁ ≠ p₂. Bedingungen: randomisierte Zuweisung; die erwarteten Häufigkeiten von 53,5 und 46,5 in beiden Gruppen sind jeweils mindestens 10. Gilt H₀, teilen sich die Gruppen einen gemeinsamen Anteil:

      p^c=62+45100+100=0.535100 (0.535)=53.5100 (0.465)=46.5\begin{aligned}&\hat p_c=\frac{62+45}{100+100}=0.535\\&100\,(0.535)=53.5\\&100\,(0.465)=46.5\end{aligned}

    2. Die Teststatistik mit der Standardabweichung aus dem gepoolten Anteil:

      z=0.62−0.450.535 (0.465)(1100+1100)=0.170.0705≈2.41\begin{aligned}z&=\frac{0.62-0.45}{\sqrt{0.535\,(0.465)\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{100}\right)}}\\&=\frac{0.17}{0.0705}\approx2.41\end{aligned}

    3. Der zweiseitige p-Wert:

      P=2 P(Z≥2.41)≈0.016P=2\,P(Z\ge2.41)\approx0.016

    Antwort

    p = 0,016 < 0,05, also H₀ verwerfen: Es gibt einen überzeugenden Beleg dafür, dass die Erinnerung den Anteil der Geimpften verändert. Da die Gruppen durch Zufallszuweisung entstanden, hat die Erinnerung den Unterschied verursacht; weil es sich um Freiwillige handelte, gilt der Schluss für Personen mit ähnlichen Voraussetzungen. Wenn die Erinnerung in Wirklichkeit keinen Unterschied bewirkt, handelt es sich um einen Fehler 1. Art.

    P≈0.016<0.05P\approx0.016<0.05
  5. Ein einseitiger Test bei Beobachtungsdaten 3 Schritte

    In einem Schulbezirk spielen 2.600 Jugendliche ein Musikinstrument und 7.400 nicht. Es werden Zufallsstichproben von 200 Musizierenden und 180 Nicht-Musizierenden gezogen. 26 aus der ersten Gruppe und 18 aus der zweiten stehen auf der Bestenliste. Gibt es bei α = 0,05 einen überzeugenden Beleg dafür, dass ein höherer Anteil der Instrumentalisten auf der Bestenliste steht?

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    1. Hypothesen: H₀: p₁ = p₂, Hₐ: p₁ > p₂. Bedingungen: zwei unabhängige Zufallsstichproben; 200 ist weniger als ein Zehntel von 2.600 und 180 weniger als ein Zehntel von 7.400; erwartete Häufigkeiten 23,2, 176,8, 20,8 und 159,2. Der gepoolte Anteil:

      p^c=26+18200+180≈0.1158\hat p_c=\frac{26+18}{200+180}\approx0.1158

    2. Die Teststatistik:

      z=0.13−0.10.1158 (0.8842)(1200+1180)=0.030.0329≈0.91\begin{aligned}z&=\frac{0.13-0.1}{\sqrt{0.1158\,(0.8842)\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{180}\right)}}\\&=\frac{0.03}{0.0329}\approx0.91\end{aligned}

    3. Der einseitige p-Wert:

      P=P(Z≥0.91)≈0.181P=P(Z\ge0.91)\approx0.181

    Antwort

    p = 0,181 ≥ 0,05, daher H₀ nicht verwerfen: Es gibt keinen überzeugenden Beleg dafür, dass Instrumentalisten häufiger auf der Bestenliste stehen. Selbst ein kleiner p-Wert hätte nicht bewiesen, dass das Musizieren die Noten verbessert: Es wurden zwei Stichproben beobachtet, keine Versuchsgruppen randomisiert zugewiesen.

    P≈0.181≥0.05P\approx0.181\ge0.05
  6. Wenn die Mindesthäufigkeiten fehlen: Fishers exakter Test 2 Schritte

    In einer Pilotstudie wurden 20 Erkrankte randomisiert zugewiesen, 10 zu einem neuen Medikament und 10 zu einem Placebo. Unter dem Medikament trat bei 5 eine Besserung ein, unter dem Placebo bei 1. Ist der z-Test angemessen? Bestimme den exakten p-Wert für Hₐ: p₁ > p₂.

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    1. Die Mindesthäufigkeiten für den Test sind nicht erfüllt:

      p^c=5+120=0.3,10 (0.3)=3<10\hat p_c=\frac{5+1}{20}=0.3,\qquad10\,(0.3)=3<10

    2. Ist das Medikament wirkungslos, hätten sich die 6 gebesserten Personen ohnehin erholt, und allein der Zufall der Zuweisung entschied, wie viele davon in der Medikamentengruppe landeten. Die Wahrscheinlichkeit, dass 5 oder 6 davon dort gelandet sind:

      P(X1≥5)=(105)(101)+(106)(100)(206)=2520+21038760≈0.070\begin{aligned}P(X_1\ge5)&=\frac{\binom{10}{5}\binom{10}{1}+\binom{10}{6}\binom{10}{0}}{\binom{20}{6}}\\&=\frac{2520+210}{38760}\approx0.070\end{aligned}

    Antwort

    Nein: Die erwarteten Häufigkeiten betragen in jeder Gruppe 3 und 7. Der exakte p-Wert liegt bei 0,070 gegenüber 0,025 unter der Normalkurve; die Pilotstudie liefert auf dem 5%-Niveau somit keinen überzeugenden Beleg.

    Pexact≈0.070,Pnormal≈0.025P_{\mathrm{exact}}\approx0.070,\quad P_{\mathrm{normal}}\approx0.025

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

  1. Bestimme für die beiden Städte mit 168 von 300 und 140 von 350 ein 90%-Konfidenzintervall für die Differenz der Anteile.

    Ergebnis anzeigen

    (0,096; 0,224)

    0.16±1.645 (0.0388)=0.16±0.064=(0.096, 0.224)\begin{aligned}0.16\pm1.645\,(0.0388)&=0.16\pm0.064\\&=(0.096,\ 0.224)\end{aligned}

  2. Wiederhole den Test zur Grippeimpfung (62 von 100 gegen 45 von 100) zu α = 0,01. Wie lautet die Entscheidung und welcher Fehler könnte vorliegen?

    Ergebnis anzeigen

    p = 0,016 ≥ 0,01: H₀ nicht verwerfen. Macht die Erinnerung in Wirklichkeit einen Unterschied, liegt ein Fehler 2. Art vor.

    P≈0.016≥0.01P\approx0.016\ge0.01

  3. Warum poolt der Test die beiden Stichproben, das Konfidenzintervall jedoch nicht?

    Ergebnis anzeigen

    Der Test rechnet unter der Annahme, dass H₀ wahr ist. Unter H₀ schätzen beide Stichproben denselben Anteil; ihre Zusammenfassung liefert somit die beste Schätzung. Das Intervall schätzt p₁ − p₂ ohne die Annahme gleicher Anteile, weshalb jede Gruppe ihr eigenes p̂ behält.

  4. Schätze z für die Impfstudie mit 8 gegen 162 Fälle mittels z ≈ (a − b)/√(a + b) ab.

    Ergebnis anzeigen

    z ≈ −11,8

    z≈8−162170≈−11.8z\approx\frac{8-162}{\sqrt{170}}\approx-11.8

  5. Ein 95%-Konfidenzintervall für p₁ − p₂ lautet (−0,12; −0,03). Welche Aussage liefert es über die beiden Anteile?

    Ergebnis anzeigen

    Die 0 liegt nicht darin. Es gibt also einen überzeugenden Beleg dafür, dass p₁ kleiner als p₂ ist, und zwar um etwa 3 bis 12 Prozentpunkte.

    0∉(−0.12, −0.03)0\notin(-0.12,\ -0.03)

  6. Zufallsstichproben von 400 Rauchenden und 400 Nichtrauchenden zeigen einen deutlich höheren Anteil an Husten bei Rauchenden mit p < 0,0001. Zeigt die Studie, dass Rauchen das Husten verursacht?

    Ergebnis anzeigen

    Nicht von sich aus: Es handelt sich um eine Beobachtungsstudie. Sie zeigt lediglich, dass sich beide Gruppen unterscheiden; Störvariablen könnten diesen Unterschied erklären. Nur eine randomisierte Zuweisung könnte Kausalität belegen, doch Menschen zum Rauchen zu verdonnern, wäre unethisch.

  7. Für 40 von 100 gegen 27 von 100 beträgt die Chi-Quadrat-Statistik der 2 × 2-Tabelle 3,793. Bestimme die z-Statistik des Anteilstests ohne dessen Formel.

    Ergebnis anzeigen

    z = √3,793 ≈ 1,95, positiv, da p̂₁ = 0,4 der größere Anteil ist

    z=3.793≈1.95z=\sqrt{3.793}\approx1.95

Bei gleich großen Gruppen kann nur das Intervall mutiger sein

Klick auf 18 von 100 gegen 40 von 400. Der Test verwirft p₁ = p₂ mit p = 0,0255, doch das 95%-Intervall für p₁ − p₂ von −0,0008 bis 0,1608 enthält die 0. Klick nun auf 40 von 100 gegen 27 von 100: Das Intervall von 0,0004 bis 0,2596 schließt die 0 aus, während der Test H₀ mit p = 0,0515 beibehält. Fishers exakter Test schlägt sich beide Male auf die Seite des z-Tests (0,0464 und 0,0718) – an der Normalverteilung liegt dieser Widerspruch also nicht. Beide Verfahren messen dieselbe Differenz, nutzen dafür aber unterschiedliche Standardfehler. Der Test nimmt H₀ als wahr an und fasst deshalb beide Stichproben zu einem gemeinsamen Anteil zusammen, im ersten Fall 0,116. Das Intervall setzt nichts voraus und lässt jeder Gruppe ihren eigenen Wert. Im ersten Fall trägt der Wert 0,18 der kleinen Gruppe den Großteil der ungepoolten Varianz; beim Poolen wird er durch die 400 Beobachtungen der zweiten Gruppe stark nach unten gezogen. Sind beide Gruppen exakt gleich groß, übersteigt die gepoolte Varianz die ungepoolte um genau (p̂₁ − p̂₂)²/(2n). Der Maßstab des Tests ist folglich niemals kürzer: Das Intervall kann die 0 ausschließen, während der Test H₀ beibehält. Der umgekehrte Fall verlangt ungleiche Gruppengrößen.

z² ist die Chi-Quadrat-Statistik derselben Tabelle

Ordne die Zahlen aus 18 von 100 gegen 40 von 400 in einer 2 × 2-Tafel nach Erfolgen und Misserfolgen an: 18 und 82 sowie 40 und 360. Die Chi-Quadrat-Statistik, also die Summe aller (O − E)²/E ohne Stetigkeitskorrektur, beträgt 4,993 – und genau das ergibt auch z² (vor dem Runden ist z = 2,2345). Das gilt für jede beliebige Tafel, und zwar ausschließlich wegen des Poolens: Ein Chi-Quadrat-Test ermittelt die erwarteten Häufigkeiten aus der Gesamtrate, und das ist p̂c. Der z-Wert mit dem Standardfehler des Intervalls, 0,08/0,0412 = 1,94, ergibt quadriert 3,76 und passt zu gar nichts. Auch die p-Werte stimmen mit 0,0255 überein, denn das Quadrat einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist chi-quadrat-verteilt mit einem Freiheitsgrad. Durch das Quadrieren geht das Vorzeichen verloren; deshalb kann der Chi-Quadrat-Test einer Vierfeldertafel nur die zweiseitige Fragestellung beantworten. Trägst du die vier Zahlen auf der Chi-Quadrat-Seite als Tabelle mit 2 Zeilen und 2 Spalten ein, erhältst du dort dieselbe 4,993.

Die Beweiskraft der Impfstudie lag in 170 Fällen, nicht in 43.448 Personen

Klick auf Impfstoffstudie 2020. In der Zulassungsstudie des Impfstoffs von Pfizer–BioNTech erhielten 21.720 Personen das Vakzin und 21.728 ein Placebo. Das Forschungsteam zählte 8 Covid-19-Fälle in der ersten Gruppe gegenüber 162 in der zweiten (Polack und Kollegen, 2020). Der Anteilsunterschied liegt unter einem Prozentpunkt, und z = −11,83. Bei annähernd gleich großen Gruppen lässt sich die Teststatistik exakt als z = (a − b)/√((a + b)(1 − p̂c)) schreiben, wobei a und b die beiden Fallzahlen bezeichnen. Bei einem seltenen Ereignis ist der letzte Wurzelfaktor nahe 1: z ≈ (8 − 162)/√170 = −11,8. Die Gesamtzahl der Teilnehmenden fällt praktisch heraus. Zehnmal so viele Testpersonen mit denselben 8 und 162 Fällen führten zu fast demselben z; dieselbe Kohorte mit 85 Fällen in beiden Gruppen ergäbe z = 0. (Die Publikation berücksichtigte nur Teilnehmende ohne vorherige Infektion, also etwas weniger als diese Gesamtzahlen – aus genau demselben Grund ändert sich z dabei kaum.) Eine Studie zu einem seltenen Ereignis erfordert Zehntausende Menschen, weil schlicht so viele nötig sind, um überhaupt eine nennenswerte Anzahl an Fällen zu beobachten.

Lernpfad

Statistik: Von Daten zu Anteilen

Quellen (2)

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.