Daten darstellen

Gib Zahlen ein oder wähle einen Datensatz. Dotplot, Histogramm und Boxplot teilen sich dieselbe Skala, sodass jeder Wert in allen dreien an derselben Stelle liegt. Darunter findest du das Stamm-Blatt-Diagramm und die Häufigkeitstabelle. Wähle Kategorien, um ein Säulendiagramm zu sehen.

Relative Häufigkeit	$\frac{f}{n}$
Interquartilsabstand	$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$
Ausreißer	$\begin{aligned}&x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Rechenbeispiel — Daten darstellen

Anzahl der Werte	25
Minimum	47
Erstes Quartil Q₁	53
Median M	74
Drittes Quartil Q₃	83,5
Maximum	88
Interquartilsabstand	30,5
Unterer Zaun	7,25

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Daten darstellen

Die Verteilung einer Variable beschreibt, welche Werte sie annimmt und wie oft diese vorkommen. Eine kategoriale Variable ordnet jedes Individuum einer Gruppe zu; eine quantitative liefert Zahlenwerte, mit denen sich sinnvoll rechnen lässt.

Woher die Formel kommt

Bestimme die Art der Variable. Kategorien werden ausgezählt und als Säulendiagramm dargestellt; Zahlenwerte gehören auf eine Zahlengerade. Dient eine Zahl nur als Kennzeichnung, etwa eine Postleitzahl oder eine Rückennummer, ist die Variable kategorial.
Zähle aus. Die absolute Häufigkeit f einer Kategorie oder Klasse gibt an, wie viele Merkmalsträger in sie fallen. Ihre relative Häufigkeit ist f geteilt durch die Gesamtzahl n. Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1; ihre fortlaufende Summe bildet die kumulierte relative Häufigkeit.
$\frac{f_1}{n}+\frac{f_2}{n}+\dots+\frac{f_k}{n}=1$
Erhalte jeden Einzelwert: Dotplot und Stamm-Blatt-Diagramm. Ein Dotplot setzt für jeden Wert einen Punkt über die Zahlengerade und stapelt gleiche Werte übereinander. Ein Stamm-Blatt-Diagramm zerlegt jeden Wert in einen Stamm (alle Ziffern außer der letzten) und ein Blatt (die letzte Ziffer); aus 47 wird so 4 | 7. Die Blatteinheit u legt den Stellenwert eines Blattes fest: Bei u = 0,1 bedeutet derselbe Eintrag 4 | 7 den Wert 4,7.
$x=(10s+\ell)\,u$
Fasse in Klassen zusammen: das Histogramm. Wähle eine Klassenbreite w und einen linken Rand a. Jede Klasse reicht von ihrer linken Grenze bis knapp vor die rechte Grenze, und die Säule ist so hoch wie die zugehörige Häufigkeit. Die Klassen decken die Zahlengerade lückenlos ab, sodass die Säulen einander berühren.
$[a+jw,\ a+(j+1)w),\qquad j=0,1,2,\dots$
Fasse fünf Kennwerte zusammen: der Boxplot. Sortiere die Daten. Der Median M ist der mittlere Wert oder, bei geradem n, das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Q₁ und Q₃ sind die Mediane der unteren und oberen Hälfte; bei ungeradem n wird M aus beiden Hälften ausgeschlossen. Der Kasten reicht von Q₁ bis Q₃. Werte, die mehr als 1,5 IQR über den Kasten hinausragen, werden einzeln als Ausreißer eingetragen; jede Antenne endet beim äußersten Wert, der noch kein Ausreißer ist.
$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1,\qquad x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$

Setzt voraus: Taschenrechner berechnen Quartile unterschiedlich. Diese Seite nutzt das Hälften-Verfahren des TI-84 und der AP Statistics; Tabellenkalkulationen interpolieren zwischen den Werten und können für dieselben Daten abweichende Werte für Q₁ und Q₃ liefern.

Aufgaben vollständig gelöst

Kategorial oder quantitativ? 2 Schritte
Für alle Schüler erfasst eine Schule (a) die Anzahl der Geschwister, (b) die Körpergröße in Zentimetern, (c) das Lieblingsfach, (d) die Postleitzahl und (e) die Zeit für 100 m. Welche Variablen sind kategorial, welche quantitativ, und welche der quantitativen sind diskret?
1. Überlege, ob ein Mittelwert der Werte einen Sinn ergibt. Eine durchschnittliche Körpergröße oder eine mittlere Zahl von Geschwistern ist aussagekräftig. Ein durchschnittliches Lieblingsfach ergibt keinen Sinn, ebenso wenig eine durchschnittliche Postleitzahl, auch wenn diese aus Ziffern besteht.
2. Unter den quantitativen Variablen kann eine Zählung nur ganzzahlige Werte annehmen, während ein Messwert jeden beliebigen Wert in einem Intervall treffen kann.
Antwort

Kategorial: (c) und (d). Quantitativ: (a), (b) und (e); davon ist (a) diskret sowie (b) und (e) stetig.
Häufigkeitstabelle und Säulendiagramm 3 Schritte
Zwanzig Schüler wurden gefragt: „Wie kommst du meistens zur Schule?“. Die Antworten: Auto, Bus, zu Fuß, Auto, Fahrrad, Bus, Auto, zu Fuß, Auto, Bus, Auto, Fahrrad, zu Fuß, Auto, Bus, Auto, zu Fuß, Auto, Bus, Auto. Erstelle eine Häufigkeitstabelle mit relativen Häufigkeiten, bestimme den Modus und gib an, welches Diagramm sich eignet.

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1. Zähle die einzelnen Antworten aus. Die Summe der Häufigkeiten muss n ergeben:
  
  $f_{\mathrm{car}}=9,\quad f_{\mathrm{bus}}=5,\quad f_{\mathrm{walk}}=4,\quad f_{\mathrm{bike}}=2,\qquad 9+5+4+2=20$
2. Teile jede Häufigkeit durch n = 20:
  
  $\frac{9}{20}=0.45,\qquad\frac{5}{20}=0.25,\qquad\frac{4}{20}=0.20,\qquad\frac{2}{20}=0.10$
3. Der Schulweg ist ein kategoriales Merkmal, die passende Darstellung daher ein Säulendiagramm: eine Säule pro Antwort, mit Zwischenräumen und in der übersichtlichsten Reihenfolge.
Antwort

Auto 9 (45 %), Bus 5 (25 %), zu Fuß 4 (20 %), Fahrrad 2 (10 %). Der Modus ist Auto. Zeichne ein Säulendiagramm.

$\mathrm{mode}=\mathrm{car},\qquad\frac{f}{n}=45\%$
Einen Dotplot auswerten 2 Schritte
Der Dotplot der ersten 25 Wartezeiten von Old Faithful zeigt folgende Werte in Minuten: 47, 47, 51, 51, 52, 52, 54, 54, 55, 62, 62, 69, 74, 74, 78, 78, 79, 79, 83, 84, 84, 85, 85, 85, 88. Welcher Anteil der Wartezeiten dauerte länger als 80 Minuten, und wo liegen die Häufungen?

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1. Zähle die Punkte rechts von 80: 83, 84, 84, 85, 85, 85 und 88.
  
  $\frac{7}{25}=0.28$
2. Betrachte die Verteilung: Die Punkte ballen sich von 47 bis 55 sowie von 74 bis 88; im Bereich dazwischen liegen nur 62, 62 und 69.
Antwort

7 von 25 Wartezeiten (28 %) lagen über 80 Minuten. Es gibt zwei Häufungen, 47 bis 55 und 74 bis 88, mit drei Werten dazwischen.

$\frac{7}{25}=28\%$
Stamm-Blatt-Diagramm und Quartile 3 Schritte
Erstelle ein Stamm-Blatt-Diagramm für dieselben 25 Wartezeiten und ermittle daraus Median und Quartile.

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1. Die Stämme bilden die Zehnerziffern 4 bis 8, die Blätter die geordneten Einerziffern:
  
  $\begin{array}{r|l}4&7\,7\\5&1\,1\,2\,2\,4\,4\,5\\6&2\,2\,9\\7&4\,4\,8\,8\,9\,9\\8&3\,4\,4\,5\,5\,5\,8\end{array}$
2. Bei n = 25 entspricht der Median von oben gezählt dem 13. Blatt:
  
  $M=x_{(13)}=74$
3. Klammere den Median aus. Die untere Hälfte besteht aus den ersten 12 Werten, Q₁ ist also der Mittelwert aus dem 6. und 7. Wert. Die obere Hälfte umfasst die letzten 12 Werte; hier ist Q₃ der Mittelwert aus dem 19. und 20. Wert:
  
  $Q_1=\frac{x_{(6)}+x_{(7)}}{2}=\frac{52+54}{2}=53,\qquad Q_3=\frac{x_{(19)}+x_{(20)}}{2}=\frac{83+84}{2}=83.5$
Antwort

M = 74 Minuten, Q₁ = 53 und Q₃ = 83,5.

$M=74,\qquad Q_1=53,\qquad Q_3=83.5$
Ein Histogramm und die Klasse des Medians 3 Schritte
Teile dieselben 25 Wartezeiten ab 40 in Klassen von 10 Minuten Breite ein. Gib für jede Klasse die relative und die kumulierte relative Häufigkeit an und bestimme, in welcher Klasse der Median liegt.

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1. Zähle die Klassen [40, 50), [50, 60) usw. aus; ein Randwert wie 50 fällt in die rechts anschließende Klasse:
  
  $f=2,\ 7,\ 3,\ 6,\ 7,\qquad 2+7+3+6+7=25$
2. Teile durch 25 und bilde die fortlaufende Summe:
  
  $\frac{f}{25}=0.08,\ 0.28,\ 0.12,\ 0.24,\ 0.28;\qquad\sum\frac{f}{25}=0.08,\ 0.36,\ 0.48,\ 0.72,\ 1$
3. Der Median ist der 13. Wert. Am Ende von [60, 70) sind 12 Werte erreicht, am Ende von [70, 80) bereits 18; der 13. Wert liegt also in der Klasse [70, 80).
  
  $2+7+3=12<13\le 2+7+3+6=18$
Antwort

Relative Häufigkeiten: 8 %, 28 %, 12 %, 24 %, 28 %; kumuliert: 8 %, 36 %, 48 %, 72 %, 100 %. Der Median liegt in [70, 80).

$M\in[70,\ 80)$
Zäune, Ausreißer und Antennen 3 Schritte
Newcombs 66 Messungen der Lichtlaufzeit liefern Q₁ = 24, M = 27 und Q₃ = 31. Die kleinsten Werte lauten −44, −2, 16 und 16, die größten 37, 39 und 40. Bestimme Zäune und Ausreißer und gib an, wo die Antennen des Boxplots enden.

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1. Zunächst der Interquartilsabstand, dann die Zäune im Abstand 1,5 IQR vom Kasten:
  
  $\mathrm{IQR}=31-24=7,\qquad 24-1.5\times7=13.5,\qquad 31+1.5\times7=41.5$
2. Jeder Wert unter 13,5 oder über 41,5 gilt als Ausreißer. −44 und −2 liegen unter 13,5, und kein Wert überschreitet 41,5:
  
  $-44<13.5,\qquad -2<13.5,\qquad 40<41.5$
3. Jede Antenne reicht bis zum äußersten Wert, der noch kein Ausreißer ist: unten bis 16, oben bis 40. −44 und −2 werden als separate Punkte eingetragen.
Antwort

Zäune bei 13,5 und 41,5; Ausreißer −44 und −2. Der Kasten reicht von 24 bis 31 mit dem Median bei 27, die Antennen reichen von 16 bis 40.

$16,\ 24,\ 27,\ 31,\ 40;\qquad -44,\ -2$
Was ein Boxplot nicht zeigen kann 2 Schritte
Klasse A erzielte die Ergebnisse 40, 48, 50, 51, 53, 57, 58, 59, 60, 62, 78, 80, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 92, 100 und Klasse B die Ergebnisse 40, 43, 47, 50, 54, 56, 59, 62, 66, 69, 71, 74, 78, 81, 84, 86, 90, 94, 97, 100. Vergleiche ihre Boxplots und anschließend ihre Histogramme mit einer Klassenbreite von 10 Punkten.

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1. Bei n = 20 ist der Median das arithmetische Mittel aus dem 10. und 11. Wert. Jede Hälfte zählt 10 Werte, somit ist Q₁ der Mittelwert aus dem 5. und 6. Wert und Q₃ der Mittelwert aus dem 15. und 16. Wert:
  
  $A:\ \frac{53+57}{2}=55,\ \frac{62+78}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85\qquad B:\ \frac{54+56}{2}=55,\ \frac{69+71}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85$
2. Beide Klassen spannen von 40 bis 100, ihre Boxplots sind daher deckungsgleich. Bei den Histogrammen gilt das von [40, 50) an Klasse für Klasse keineswegs:
  
  $A:\ 2,\ 6,\ 2,\ 1,\ 7,\ 1,\ 1\qquad B:\ 3,\ 4,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 1$
Antwort

Derselbe Boxplot (40, 55, 70, 85, 100) für zwei völlig unterschiedliche Verteilungen. Klasse A besteht aus zwei Häufungen, zwischen 62 und 78 liegt kein einziger Wert: Dotplot und Stamm-Blatt-Diagramm machen diese Lücke sofort sichtbar, das Histogramm zeigt beide Häufungen, der Boxplot keine von beiden. Klasse B verteilt sich gleichmäßig.

$40,\ 55,\ 70,\ 85,\ 100$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Bestimme die Fünf-Punkte-Zusammenfassung von 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 31, 47 und gib an, ob 47 ein Ausreißer ist.

Ergebnis anzeigen

12, 15, 20, 28, 47. Der obere Zaun liegt bei 47,5, also ist 47 kein Ausreißer.

$12,\ 15,\ 20,\ 28,\ 47;\qquad 28+1.5\times13=47.5>47$
Von den 2.201 Personen an Bord der Titanic gehörten 885 zur Besatzung. Wie hoch ist die relative Häufigkeit der Besatzung, und welche Darstellung eignet sich für das Merkmal „Klasse“?

Ergebnis anzeigen

885/2.201 ≈ 40,2 %; ein Säulendiagramm.

$\frac{885}{2201}\approx40.2\%$
Für welche Werte stehen 3 | 4 und −0 | 2 in einem Stamm-Blatt-Diagramm mit der Blatteinheit 0,1?

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3,4 und −0,2

$3.4,\qquad -0.2$
Die 272 Wartezeiten von Old Faithful weisen bei 5-Minuten-Klassen ab 40 in den ersten vier Klassen die Besetzungszahlen 1, 20, 32 und 24 auf. Welcher Anteil der Wartezeiten lag unter 60 Minuten?

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77/272 ≈ 28,3 %

$\frac{1+20+32+24}{272}=\frac{77}{272}\approx28.3\%$
Bei welchen der Darstellungen Dotplot, Stamm-Blatt-Diagramm, Histogramm und Boxplot lässt sich jeder einzelne Datenwert wieder ablesen?

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Beim Dotplot sowie beim Stamm-Blatt-Diagramm bis zur Genauigkeit der Blatteinheit.
Ein Boxplot hat Q₁ = 30 und Q₃ = 50. Ist der Wert 82 ein Ausreißer? Ist es der Wert 0?

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82 ist ein Ausreißer (der obere Zaun liegt bei 80); 0 ist keiner, denn der untere Zaun liegt bei 0 und 0 liegt nicht darunter.

$50+1.5\times20=80<82,\qquad 30-1.5\times20=0$

Old Faithful hat bei 5 Minuten zwei Höcker, bei 20 nur einen

Klick auf Alle 272, 5-Min-Klassen: Die Wartezeiten ballen sich um 50 und um 80 Minuten, zwei Höcker mit einer Senke dazwischen. Überlege kurz, was viermal so breite Klassen zeigen würden, und klick dann auf Alle 272, 20-Min-Klassen. Die Säulen zählen 77, 103 und 92 Werte: ein einziger Höcker, ganz gleich, wo die erste Klasse beginnt. Am Geysir selbst hat sich zwischen beiden Bildern natürlich nichts geändert. Zieh die Klassenbreite auf 2 Minuten herunter, und das Histogramm zeigt plötzlich acht Gipfel – das meiste davon reines Rauschen. Die Gestalt eines Histogramms hängt also immer auch davon ab, wer es zeichnet. Bevor du eine Verteilung zweigipflig nennst, solltest du sie stets bei verschiedenen Klassenbreiten prüfen. Beim Dotplot darüber stellt sich diese Frage gar nicht: Er zeigt beide Häufungen, ganz gleich, wie der Schieberegler steht.

Klasse A und Klasse B ergeben denselben Boxplot

Klick auf Klasse A, dann auf Klasse B, und beobachte den Boxplot: Er bewegt sich keinen Millimeter. Beide Datensätze teilen die Fünf-Punkte-Zusammenfassung 40, 55, 70, 85, 100, und ein Boxplot ohne Ausreißer wird allein aus diesen fünf Werten gezeichnet. Der Dotplot entlarvt den Unterschied sofort. In Klasse A liegt kein einziges Ergebnis zwischen 62 und 78, die Gruppe zerfällt in zwei Lager. Klasse B dagegen verteilt sich gleichmäßig von 40 bis 100. Jeder Datensatz mit denselben fünf Werten ergibt dieselbe Grafik. Ein Boxplot kann Lücken verbergen, einen zweiten Höcker verschweigen und verrät nicht einmal, wie viele Werte überhaupt vorliegen. Er ist das ideale Werkzeug, um mehrere Gruppen nebeneinander zu vergleichen, aber das falsche, um die Form einer einzelnen Verteilung zu ergründen.

Ein Säulendiagramm hat keine Form

Klick auf Titanic nach Klasse: 325 Personen in der ersten Klasse, 285 in der zweiten, 706 in der dritten und 885 Besatzungsmitglieder. Wenn du „Säulen nach Häufigkeit ordnen“ aktivierst, fallen die Säulen von links nach rechts ab wie bei einem rechtsschiefen Histogramm; nimmst du das Häkchen weg, sinken sie erst und steigen dann wieder. Die Reihenfolge war von vornherein willkürlich. Die Besatzung ist weder mehr noch weniger als die erste Klasse – Begriffe wie schief oder symmetrisch beschreiben hier nichts. Die Säulen eines Histogramms lassen sich nicht umstellen, weil jede ihren festen Platz auf der Zahlengeraden hat; genau deshalb stoßen sie aneinander, während die Säulen eines Säulendiagramms getrennt stehen. Beschreibe eine kategoriale Variable anhand ihrer Häufigkeiten und Anteile (Besatzung: 40,2 % der 2.201 Personen an Bord) und hebe dir Verteilungsformen für Zahlen auf.

Lernpfad

Statistik: Von Daten zu Anteilen

Quellen (6)

The stem-and-leaf display, the box-and-whisker plot, and the fences 1.5 times the spread between the hinges beyond the box, which the outlier rule on this page follows: Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07616-0.
Why quartiles differ between calculators and packages: nine sample-quantile definitions in use, compared. This page uses the medians of the two halves: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
The rule behind the page's starting bin width, about 1 + log₂ n classes: Sturges, H. A. (1926). The choice of a class interval. Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65–66.
Old Faithful's 272 waiting times between eruptions, the data set behind the first three presets and insight block 1; R's documentation gives the source as Härdle (1991): R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Simon Newcomb's 66 measurements of the passage time of light (1882), as listed in Table 5; the Newcomb preset and solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.
The Titanic preset: 325 first-class, 285 second-class and 706 third-class passengers and 885 crew, 2,201 people, from the British Board of Trade inquiry: Dawson, R. J. MacG. (1995). The “unusual episode” data revisited. Journal of Statistics Education, 3(3).

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

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Woher die Formel kommt

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Old Faithful hat bei 5 Minuten zwei Höcker, bei 20 nur einen 🖖

Klasse A und Klasse B ergeben denselben Boxplot 🖖

Ein Säulendiagramm hat keine Form 🖖

Old Faithful hat bei 5 Minuten zwei Höcker, bei 20 nur einen

Klasse A und Klasse B ergeben denselben Boxplot

Ein Säulendiagramm hat keine Form