Calculadora de composición de funciones

f(x) = x², g(x) = 2x + 3, evaluadas en x₀ = 2. Componga en ambos órdenes y resuelva la cuestión más difícil que el panel deja abierta: ¿es la discrepancia un mero accidente de haber elegido x₀ = 2, o bien estas dos composiciones difieren en todo x?

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1. Componga de forma simbólica antes de hacerlo de forma numérica. En f∘g la función interna actúa primero, por lo que toda la expresión 2x + 3 es la que se eleva al cuadrado; no x, ni el 3 por separado.

   $$(f\circ g)(x)=f(2x+3)=(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$$

2. Invierta el orden y la elevación al cuadrado se realiza primero, de modo que es x² lo que se duplica y desplaza. Ambos resultados son expresiones cuadráticas, pero solo una de ellas tiene término lineal, y ese término constituye toda la discrepancia.

   $$(g\circ f)(x)=g(x^{2})=2x^{2}+3$$

3. Sustituya x₀ = 2 en cada una. Los valores intermedios son a lo que hay que prestar atención: 7 entra en la función externa en un orden y 4 entra en el otro, de modo que a la función externa se le plantea una pregunta distinta en cada caso. El panel imprime cada uno de ellos: 7 y 4 a la entrada, 49 y 11 a la salida.

   $$(f\circ g)(2)=7^{2}=49,\qquad (g\circ f)(2)=2\cdot4+3=11$$

4. Restar convierte una comparación en un punto en una función que se puede interrogar en todas partes. Su valor en 2 es 38, que es 49 − 11, por lo que no se ha perdido nada en el álgebra.

   $$D(x)=(f\circ g)(x)-(g\circ f)(x)=2x^{2}+12x+6,\qquad D(2)=38$$

5. La diferencia es una cuadrática con coeficiente de x² positivo, de modo que puede anularse a lo sumo dos veces; y el discriminante 36 − 12 es positivo, por lo que efectivamente se anula dos veces. Solo queda resolver la ecuación.

   $$D(x)=0\iff x^{2}+6x+3=0\iff x=-3\pm\sqrt6=-0.5505,\ -5.4495$$

f(x) = √x, g(x) = x² − 1, en x₀ = 0,5. Un orden devuelve un número y el otro no devuelve absolutamente nada. Determine el dominio de cada composición y halle después todos los x en los que ambas coinciden.

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1. Siga f∘g a través del paso intermedio y observe dónde se interrumpe. 0,5 es una entrada perfectamente válida para g, y −0,75 es una salida perfectamente válida de g. Lo que no es válido es el traspaso: −0,75 no es un valor del que se pueda calcular la raíz cuadrada. El panel imprime −0,75 y después no tiene ningún número que imprimir para la composición en sí.

   $$g(0.5)=0.5^{2}-1=-0.75\quad\Longrightarrow\quad f(g(0.5))=\sqrt{-0.75}\notin\mathbb{R}$$

2. El otro orden supera ese mismo traspaso, porque √0,5 = 0,707107 es una entrada válida para g. Ambos valores aparecen en el panel, y a ninguna de las dos composiciones se le ha asignado un x₀ diferente.

   $$f(0.5)=\sqrt{0.5}=0.707107\quad\Longrightarrow\quad g(f(0.5))=0.707107^{2}-1=-0.5$$

3. Escriba ambos dominios correctamente, trabajando de dentro hacia fuera. f∘g exige que la salida de g sea no negativa, lo cual es una condición sobre x²; g∘f exige únicamente que se pueda calcular la raíz cuadrada de x.

   $$f\circ g:\ x^{2}-1\ge0\iff|x|\ge1;\qquad g\circ f:\ x\ge0$$

4. En su propio dominio cada composición se simplifica, y una de ellas de forma sorprendente: elevar al cuadrado una raíz cuadrada la deshace, por lo que g∘f es una recta. Componer 2 funciones curvas ha producido algo que no contiene curva alguna.

   $$(f\circ g)(x)=\sqrt{x^{2}-1},\qquad (g\circ f)(x)=\left(\sqrt{x}\right)^{2}-1=x-1$$

5. Donde ambas están definidas, plantéese cuándo son iguales. El término x² se cancela en ambos miembros y lo que queda es lineal, por lo que hay a lo sumo 1 solución.

   $$\sqrt{x^{2}-1}=x-1\iff x^{2}-1=x^{2}-2x+1\iff x=1$$