Derivación implícita

Hay curvas de las que no es posible despejar y; aun así, tienen pendiente en casi todos sus puntos. Elige una curva y una x: la página localiza los puntos sobre esa x, traza la tangente en el que elijas y calcula allí −F_x/F_y. Avanza luego paso a paso por la derivación y comprueba cada línea con los números.

Derivación implícita	$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\qquad F_y\neq0$

Ejemplo resuelto — Derivación implícita

El punto elegido	(1; 2,3615)
∂F/∂x en el punto	−11,1688
∂F/∂y en el punto	10,7296
La pendiente en ese punto	1,0409
Cuerda entre los puntos vecinos de la misma rama	1,0409
Otros puntos sobre esta x	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Derivación implícita

Una curva F(x, y) = 0 en la que no puedas despejar y sigue teniendo pendiente en cada uno de sus puntos regulares: dy/dx = −F_x/F_y, una fórmula que combina x e y. Deja de funcionar donde F_y = 0.

Qué significa cada símbolo

F_x: ∂F/∂x, la derivada de F respecto a x manteniendo y constante
F_y: ∂F/∂y, la derivada de F respecto a y manteniendo x constante; donde vale 0, la fórmula de la pendiente carece de valor

De dónde viene la fórmula

Deriva a lo largo de la curva. Trata y como función de x y deriva F(x, y(x)) = 0. Los términos en x se derivan como siempre; cada término en y adquiere un factor y′ por la regla de la cadena. Las dos partes son F_x y F_y·y′, y juntas suman 0.
$\frac{d}{dx}F\bigl(x,y(x)\bigr)=F_x+F_y\,y'=0$
Despeja y′. Siempre que F_y no sea cero, divide entre ella. La pendiente queda en función de x y de y, así que necesitas el punto completo y no solo la x: una misma x puede albergar varios puntos y distintas pendientes.
$y'=-\frac{F_x}{F_y}\qquad(F_y\neq0)$
Donde F_y = 0. La fórmula se queda sin divisor. Si F_x no es cero en ese punto, la tangente es vertical; si F_x también se anula, la fórmula arroja 0/0 y no dice nada, justo como en el cruce del folio.

Supone: F tiene derivadas parciales continuas en el entorno del punto. En las tres curvas predefinidas, los puntos sobre una x se calculan en forma cerrada; en una curva que introduzcas, se obtienen numéricamente rastreando cambios de signo de F a lo largo de y entre −8 y 8, por lo que un punto situado fuera de esa franja, o donde F toque el 0 sin cruzarlo, puede pasar desapercibido.

Problemas resueltos al detalle

La tangente a una circunferencia 3 pasos
Halla dy/dx en x² + y² = 25 y la recta tangente en (3, 4).

Abre este problema en la herramienta
1. Deriva ambos lados considerando que y es función de x. La regla de la cadena coloca un y′ junto a la derivada de y²:
  
  $2x+2y\,y'=0$
2. Agrupa y′ y despeja:
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
3. En (3, 4), y luego la recta que pasa por ese punto con esa pendiente:
  
  $(3,4):\ y'=-\frac34;\qquad y-4=-\frac34(x-3)\ \Rightarrow\ y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Respuesta

y′ = −x/y, y la tangente en (3, 4) es y = −3x/4 + 25/4. La página muestra allí F_x = 6 y F_y = 8, con lo que la pendiente es −6/8. La tangente es perpendicular al radio, cuya pendiente es 4/3.

$y'=-\frac{x}{y},\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Un producto dentro de la curva 3 pasos
Halla dy/dx en x²y + y² = 2 y su valor en (1, 1).

Abre este problema en la herramienta
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1. Deriva ambos lados. Como x²y es un producto, genera dos términos, y cada y arrastra un y′:
  
  $2xy+x^{2}y'+2y\,y'=0$
2. Agrupa los términos con y′ y despeja:
  
  $\left(x^{2}+2y\right)y'=-2xy\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
3. En (1, 1):
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{2}{3}$
Respuesta

y′ = −2xy/(x² + 2y), y −2/3 en (1, 1). En la página: Tu propia curva, x^2*y + y^2 = 2, x = 1. Muestra F_x = 2 y F_y = 3.

$y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
El cubo de y 3 pasos
Halla dy/dx en y³ + xy = 2 y su valor en (1, 1).

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1. Deriva ambos lados. Por la regla de la cadena, y³ da 3y²y′; por la regla del producto, xy produce y + xy′:
  
  $3y^{2}y'+y+x\,y'=0$
2. Agrupa y despeja:
  
  $\left(3y^{2}+x\right)y'=-y\ \Rightarrow\ y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
3. En (1, 1):
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{1}{4}$
Respuesta

y′ = −y/(3y² + x), y −1/4 en (1, 1). Nadie puede despejar la y de esta curva en un renglón. Para hallar la pendiente, jamás hizo falta.

$y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
Dónde la elipse inclinada es horizontal 3 pasos
Halla los puntos de x² + xy + y² = 3 donde la tangente es horizontal.

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1. Deriva y despeja y′ como antes:
  
  $2x+y+x\,y'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$
2. La pendiente se anula donde lo hace el numerador; sustituye y = −2x en la curva:
  
  $y'=0\iff y=-2x:\quad x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3\ \Rightarrow\ x=\pm1$
3. Los dos puntos:
  
  $(1,-2)\quad(-1,2)$
Respuesta

(1, −2) y (−1, 2). En (1, −2) la página muestra F_x = 0 y una pendiente de 0. Donde en cambio se anula el denominador, en (2, −1) y (−2, 1), la tangente es vertical.

$(1,-2),\ (-1,2)$
La derivada de ln x 3 pasos
Usa eʸ = x para hallar la derivada de y = ln x.

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1. Deriva ambos miembros de eʸ = x. La izquierda sigue la regla de la cadena y da eʸ por y′:
  
  $e^{y}\,y'=1$
2. Despeja y vuelve a usar eʸ = x:
  
  $y'=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x}$
3. Así, y = ln x tiene pendiente 1/x:
  
  $y=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x;\qquad x=2:\ \frac12$
Respuesta

(ln x)′ = 1/x. En x = 2 la página muestra una pendiente de 0,5. El razonamiento solo necesitó la derivada de eˣ, que es justo como se demuestra esta regla por primera vez.

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
La segunda derivada de una circunferencia 3 pasos
Halla y″ en x² + y² = 25 y su valor en (3, 4).

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1. Parte de la primera derivada:
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
2. Vuelve a derivar con la regla del cociente, sustituye y′ por −x/y y aplica x² + y² = 25:
  
  $y''=-\frac{y-x\,y'}{y^{2}}=-\frac{y+\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{3}}=-\frac{25}{y^{3}}$
3. En (3, 4):
  
  $(3,4):\ y''=-\frac{25}{64}\approx-0{.}3906$
Respuesta

y″ = −25/y³, y −25/64 ≈ −0,3906 en (3, 4). La segunda derivada va más allá de lo que calcula la página: esta muestra la pendiente de −0,75 de la que arranca el cálculo.

$y''=-\frac{25}{y^{3}}$
El extremo del folium 3 pasos
Halla la pendiente de x³ + y³ = 6xy en el extremo de su lazo, (3, 3).

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1. Deriva ambos lados. En la derecha hay un producto:
  
  $3x^{2}+3y^{2}y'=6y+6x\,y'$
2. Agrupa y′ y despeja tras dividir entre 3:
  
  $\left(3y^{2}-6x\right)y'=6y-3x^{2}\ \Rightarrow\ y'=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}$
3. En (3, 3):
  
  $(3,3):\ y'=\frac{6-9}{9-6}=-1$
Respuesta

y′ = −1 en (3, 3). La curva es simétrica respecto a y = x, de modo que su tangente allí corta esa recta en ángulo recto. La página muestra F_x = F_y = 9.

$y'(3,3)=-1$
El seno de xy 3 pasos
Halla dy/dx en sin(xy) + y = 1 y su valor en (0, 1).

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1. Deriva a ambos miembros. En sin(xy) tienes una regla de la cadena con un producto dentro, de modo que obtienes cos(xy) por la derivada de xy:
  
  $\cos(xy)\cdot\left(y+x\,y'\right)+y'=0$
2. Agrupa y′:
  
  $\begin{aligned}\left(x\cos(xy)+1\right)y'&=-y\cos(xy)\\y'&=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}\end{aligned}$
3. En (0, 1), el coseno vale cos 0 = 1:
  
  $(0,1):\quad y'=-\dfrac{1\cdot\cos0}{0+1}=-1$
Respuesta

y′ = −y cos(xy)/(x cos(xy) + 1), y vale −1 en (0, 1). El seno exige la regla de la cadena y el término xy en su interior, la del producto; por eso y′ aparece en dos sitios antes de agruparlo.

$y'=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1},\qquad y'(0,1)=-1$
Dónde se endereza la elipse inclinada 3 pasos
Halla los puntos de x² + xy + y² = 3 donde la tangente es vertical y escribe las ecuaciones de esas rectas.

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1. Al derivar igual que en el problema 4, obtienes la pendiente como una fracción:
  
  $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$
2. La tangente es vertical donde el denominador se anula y el numerador no. Sustituye x = −2y en la curva:
  
  $\begin{aligned}&x+2y=0\ \Rightarrow\ x=-2y\\&4y^{2}-2y^{2}+y^{2}=3\ \Rightarrow\ y=\pm1\end{aligned}$
3. El numerador no se anula en ninguno de los dos puntos, así que ambas tangentes son verticales y ninguna es un caso 0/0:
  
  $\begin{aligned}(2,-1):&\quad2x+y=3\neq0\\(-2,1):&\quad2x+y=-3\neq0\end{aligned}$
Respuesta

La tangente es vertical en (2, −1) y en (−2, 1); las tangentes son las rectas x = 2 y x = −2. Tocan la elipse en sus extremos derecho e izquierdo. En el problema 4 calculaste sus puntos horizontales; aquí localizas los de mayor anchura.

$(2,-1):\ x=2;\qquad(-2,1):\ x=-2$
La cima de la hoja 4 pasos
Halla con exactitud el punto más alto de la hoja del folio y determina si es la punta (3, 3), donde la hoja corta a la recta y = x. Pulsa Punta de la hoja: en x = 2,52 la pendiente del punto superior marca −0,0002, muy próxima a 0, pero un deslizador con paso de 0,01 solo permite acotar la respuesta.

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1. La tangente es horizontal donde y′ = 0, lo que exige que el numerador 2y − x² sea 0 sin que se anule el denominador:
  
  $y'=\dfrac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}=0\ \Rightarrow\ y=\tfrac{x^{2}}{2}$
2. Sustituye y = x²/2 en la curva. x = 0 es el origen, donde la fórmula da 0/0, así que divide entre x³:
  
  $x^{3}+\tfrac{x^{6}}{8}=6x\cdot\tfrac{x^{2}}{2}=3x^{3}\ \Rightarrow\ \tfrac{x^{6}}{8}=2x^{3}\ \Rightarrow\ x^{3}=16$
3. De modo que x es la raíz cúbica de 16, y allí el denominador no es 0:
  
  $x=2^{4/3}=2{.}5198,\quad y=\tfrac{x^{2}}{2}=2^{5/3}=3{.}1748,\quad y^{2}-2x=2^{10/3}-2^{7/3}=2^{7/3}=5{.}0397\neq0$
4. En la punta (3, 3) la pendiente es −1, así que la hoja aún sube a su izquierda:
  
  $y'(3,3)=\dfrac{2\cdot3-3^{2}}{3^{2}-2\cdot3}=\dfrac{-3}{3}=-1,\qquad 3{.}1748-3=0{.}1748$
Respuesta

La cima de la hoja es (2^4/3, 2^5/3) ≈ (2,5198; 3,1748), 0,1748 por encima de la punta. Su altura es la x de la tangente vertical en Donde se pliega, porque intercambiar x e y deja invariante x³ + y³ = 6xy y convierte las tangentes horizontales en verticales. La página marca la pendiente dondequiera que sitúes el punto; resolver y′ = 0 exige un álgebra que no hace por ti.

$\left(2^{4/3},\,2^{5/3}\right)\approx\left(2{.}5198,\ 3{.}1748\right)$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Calcula dy/dx en xy = 6 y su valor en (2, 3).

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y′ = −y/x, luego −3/2 en (2, 3)

$y'=-\dfrac{y}{x},\qquad y'(2,3)=-\tfrac32$
Calcula dy/dx en x² − y² = 16.

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y′ = x/y

$y'=\dfrac{x}{y}$
Halla la pendiente de x³ + y³ = 9 en (1, 2).

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y′ = −x²/y², luego −1/4

$y'=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}},\qquad y'(1,2)=-\tfrac14$
Halla la recta normal a x² + y² = 25 en (4, −3).

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La pendiente de la tangente es 4/3, así que la de la normal es −3/4 y la recta queda como y = −3x/4. Pasa por el centro, como ocurre con cualquier normal a una circunferencia.

$y=-\tfrac34x$
Usa tan y = x para hallar la derivada de y = arctan x.

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sec²y · y′ = 1 y sec²y = 1 + tan²y = 1 + x², de modo que y′ = 1/(1 + x²)

$\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}$
Calcula y″ en xy = 1 y su valor en (1, 1).

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y′ = −y/x e y″ = 2y/x², luego vale 2 en (1, 1)

$y''=\dfrac{2y}{x^{2}},\qquad y''(1,1)=2$

Tres puntos sobre x = 1 y tres pendientes

Pulsa Tres pendientes en x = 1. En x = 1 el folio tiene tres puntos, y la curva pasa por cada uno con una pendiente distinta. Una fórmula que solo dependa de x da un único valor para cada x: jamás podría describir la pendiente de esta curva. La derivada implícita, y′ = (2y − x²)/(y² − 2x), exige conocer también la coordenada y del punto; la tabla bajo la curva la evalúa en los tres. Descartes, que propuso la curva en 1638, creía que la hoja se repetía en cada cuadrante como los pétalos de una flor. Solo hay una hoja y dos colas.

La fórmula falla justo donde la curva gana o pierde un punto

Pulsa Donde se pliega. Aquí el denominador F_y es cero y la tangente es vertical. A la izquierda hay tres puntos sobre x; aquí los dos superiores se unen; a la derecha solo queda uno. En las tres curvas, el número de puntos sobre x cambia exactamente donde F_y = 0, y en ningún otro lugar. Ese es el teorema de la función implícita visto desde el deslizador: donde F_y ≠ 0, la curva cerca de un punto es la gráfica de una función. Donde F_y = 0 el teorema no garantiza nada, y en estas tres curvas es justo donde dos de esas funciones confluyen.

En el origen la fórmula da 0/0 y la curva tiene dos tangentes

Pulsa El cruce. En el origen se anulan tanto F_x como F_y, así que la fórmula arroja 0/0, lo que va más allá de una tangente vertical. La curva pasa dos veces por este punto: una saliendo casi plana por el borde inferior de la hoja, y otra subiendo muy empinada al cruzarla. Acércate al origen tomando x = 0,1, 0,01, 0,001: verás en la tabla que una pendiente se reduce hacia 0 y dos crecen sin cota. Ninguna pendiente única podría ser correcta, y el lienzo dibuja ambas tangentes.

Ruta de aprendizaje

Derivación: cómo se combinan las razones de cambio

Referencias (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.