Integrales no elementales

Algunas integrales no tienen ninguna fórmula y Joseph Liouville lo demostró. Ejecuta su test con un polinomio por e^−x², mira por qué la respuesta depende de un solo número, y luego practica con integrandos donde la respuesta correcta puede ser Ninguna existe.

Para un polinomio g	$\begin{aligned}\int g(x)\,e^{-x^{2}}dx&=R(x)\,e^{-x^{2}}+C\\ &\iff\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,e^{-x^{2}}dx=0\end{aligned}$
El nombre de la fórmula que falta	$\int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}x+C$

Ejemplo resuelto — Integrales no elementales

Área de g(x)·e⁻ˣ² en toda la recta	1,7725
Primitiva elemental de g(x)·e⁻ˣ²	ninguna
Proporción con fórmula, coeficientes −3 a 3	6,12%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Integrales no elementales

Una función es elemental si se puede construir a partir de x y constantes mediante un número finito de sumas, multiplicaciones, divisiones, raíces de ecuaciones polinómicas, exponenciales y logaritmos; se permiten valores complejos, lo que introduce las funciones trigonométricas y sus inversas. Un integrando tiene una primitiva elemental si alguna F elemental cumple que F′ = f. El teorema de Liouville restringe la forma que puede tomar dicha F, y para f·e^g con f y g racionales, g no constante, se convierte en un único test: existe una primitiva elemental exactamente cuando R′ + g′R = f tiene una solución racional R, y entonces R·e^g es una.

Qué significa cada símbolo

R: la función racional que busca el test de Liouville; para g(x)e^−x² debe ser un polinomio
K: g₀ + g₂/2 + 3g₄/4 + 15g₆/8 + …, el múltiplo de ∫e^−x² dx que queda tras integrar por partes: el área en toda la recta dividida por √π

De dónde viene la fórmula

La forma que debe tener la solución. El teorema de Liouville reduce la búsqueda a una sola estructura: si ∫g(x)e^−x² dx tiene fórmula, es R(x)e^−x² para algún polinomio R. Deriva esa expresión e iguálala a g.
$\int g(x)\,e^{-x^{2}}dx=R(x)\,e^{-x^{2}}\ \Rightarrow\ g=R'-2xR$
Iguala las potencias. Si g es cúbico, R es cuadrático. Los términos en x³ y en x siempre se pueden ajustar. El término en x² y el término independiente fijan r₁, uno como −g₂/2 y el otro como g₀, y solo coinciden cuando g₀ + g₂/2 = 0.
$R=r_2x^{2}+r_1x+r_0:\quad R'-2xR=-2r_2x^{3}-2r_1x^{2}+(2r_2-2r_0)x+r_1\ \Rightarrow\ r_1=g_0=-\frac{g_2}{2}$

Falla cuando: El test de esta página cubre f·e^g con f y g racionales, y mediante x = e^u los integrandos x^m/ln x. Las raíces cuadradas de polinomios necesitan un argumento distinto: el Ejemplo 4.3 de Conrad explica por qué ∫dx/√P(x) no es elemental para un P de grado 3 o superior sin raíces repetidas, y Hardy atribuye a Liouville las integrales elípticas estándar, entre ellas la longitud de arco de una elipse.

Problemas resueltos al detalle

La vecina elemental 2 pasos
Calcula ∫x e^−x² dx.
1. La x es −½ por la derivada de −x², así que sustituye:
  
  $u=-x^{2},\quad du=-2x\,dx,\quad x\,dx=-\tfrac12\,du$
2. Una exponencial:
  
  $\int x\,e^{-x^{2}}dx=-\tfrac12\int e^{u}\,du=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$
Respuesta

−½e^−x² + C. Un solo factor x marca toda la diferencia con ∫e^−x² dx, que no tiene fórmula alguna.

$\int x\,e^{-x^{2}}dx=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$
Cuatro decimales con una serie 3 pasos
Calcula ∫₀¹ e^−x² dx con cuatro decimales.
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1. No hay primitiva que nos sirva, pero e^−x² tiene una serie de potencias y se puede integrar término a término:
  
  $e^{-x^{2}}=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{k!}\ \Rightarrow\ \int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}}{k!\,(2k+1)}$
2. Los términos alternan de signo y decrecen: súmalos hasta que el siguiente sea demasiado pequeño para importar:
  
  $1-\frac13+\frac1{10}-\frac1{42}+\frac1{216}-\frac1{1320}+\frac1{9360}=0{.}74684$
3. En una serie alternada, el error es menor que el primer término omitido:
  
  $|R|<\frac{1}{7!\cdot15}=\frac{1}{75600}\approx1{.}3\times10^{-5}$
Respuesta

0,7468. Si te detienes un término antes, en 1/1320, la cota de error es 1/9360 ≈ 1,1×10⁻⁴, que no basta para garantizar el cuarto decimal.

$\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx\approx0{.}7468$
El mismo método con sin(x²) 2 pasos
Calcula ∫₀¹ sin(x²) dx con cuatro decimales.
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1. Tampoco sin(x²) tiene una primitiva elemental. Su serie, integrada término a término:
  
  $\sin x^{2}=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}x^{4k+2}}{(2k+1)!}\ \Rightarrow\ \int_{0}^{1}\sin x^{2}\,dx=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!\,(4k+3)}$
2. Tres términos, y el cuarto acota el error:
  
  $\frac13-\frac1{42}+\frac1{1320}=0{.}31028,\qquad |R|<\frac{1}{75600}$
Respuesta

0,3103. Es una integral de Fresnel: Augustin Fresnel la necesitó en 1818 para su teoría sobre la difracción de la luz.

$\int_{0}^{1}\sin x^{2}\,dx\approx0{.}3103$
Por partes, hasta la integral sin fórmula 3 pasos
Calcula ∫x² e^−x² dx y su valor de 0 a ∞, sabiendo que ∫₀^∞ e^−x² dx = √π/2.
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1. Descompón x² e^−x² en x · x e^−x²; el segundo factor tiene la primitiva del primer problema:
  
  $u=x,\quad dv=x\,e^{-x^{2}}dx,\quad v=-\tfrac12e^{-x^{2}}$
2. Una integración por partes nos deja ∫e^−x² dx. Como no tiene fórmula, se queda tal cual:
  
  $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\tfrac12x\,e^{-x^{2}}+\tfrac12\int e^{-x^{2}}dx$
3. En [0, ∞), el término de frontera vale 0 en ambos extremos y la integral que queda es conocida:
  
  $\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\Bigl[-\tfrac12x\,e^{-x^{2}}\Bigr]_{0}^{\infty}+\tfrac12\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}=\frac{\sqrt\pi}{4}$
Respuesta

−½x e^−x² + (√π/4) erf x + C, y √π/4 ≈ 0,4431 en [0, ∞). erf es el nombre que recibe la integral sin fórmula, escalada para que tienda a 1.

$\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\tfrac12x\,e^{-x^{2}}+\frac{\sqrt\pi}{4}\operatorname{erf}x+C,\qquad \int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt\pi}{4}\approx0{.}4431$
Dos piezas sin fórmula que suman una 1 pasos
Calcula ∫e^x(1/x − 1/x²) dx para x > 0.
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1. Ni ∫eˣ/x dx ni ∫eˣ/x² dx son elementales. Pero deriva eˣ/x con la regla del cociente:
  
  $\frac{d}{dx}\,\frac{e^{x}}{x}=\frac{e^{x}x-e^{x}}{x^{2}}=e^{x}\left(\frac1x-\frac1{x^{2}}\right)$
Respuesta

eˣ/x + C. El teorema de Liouville se refiere al integrando en su conjunto: una suma puede tener fórmula aunque ninguno de sus términos la tenga.

$\int e^{x}\left(\frac1x-\frac1{x^{2}}\right)dx=\frac{e^{x}}{x}+C$
¿Qué c hace integrable a (4x⁴ + c)e^(−x²)? 4 pasos
¿Para qué c tiene (4x⁴ + c)e^−x² una primitiva elemental, y cuál es? Las casillas de la página se detienen en x³. Pulsa Equilibrado para la misma pregunta un grado más abajo.

Abre este problema en la herramienta
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1. Al integrar por partes, cada x^2m deja tras de sí (2m − 1)!!/2^m veces ∫e^−x² dx; para x⁴ ese peso es 3/4. Suma los restos:
  
  $K=c+4\cdot\frac{3\cdot1}{2^2}=c+3$
2. Una fórmula requiere que el resto se anule:
  
  $K=0\ \Rightarrow\ c=-3$
3. Entonces R tiene grado 3. Igualando las potencias de R′ − 2xR = 4x⁴ − 3 de mayor a menor:
  
  $-2r_3=4,\ \ -2r_2=0,\ \ 3r_3-2r_1=0,\ \ 2r_2-2r_0=0\ \Rightarrow\ R=-2x^3-3x;\qquad r_1=-3=g_0$
4. Comprueba derivando:
  
  $\frac{d}{dx}\Big(-(2x^3+3x)e^{-x^2}\Big)=\big(-6x^2-3+4x^4+6x^2\big)e^{-x^2}=\left(4x^4-3\right)e^{-x^2}$
Respuesta

c = −3, y ∫(4x⁴ − 3)e^−x² dx = −(2x³ + 3x)e^−x² + C. Cualquier otro c deja atrás (c + 3)∫e^−x² dx, que no tiene fórmula, y el área en toda la recta pasa a ser (c + 3)√π en lugar de cero.

$c=-3:\quad\int\left(4x^4-3\right)e^{-x^2}\,dx=-\left(2x^3+3x\right)e^{-x^2}+C$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Calcula ∫ x³e^−x² dx o demuestra que no tiene fórmula.

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−½(x² + 1)e^−x² + C. Una potencia impar de x delante la hace elemental: u = x² y luego por partes.

$-\tfrac12\left(x^{2}+1\right)e^{-x^{2}}+C$
Usa la serie de sin x para calcular ∫₀¹ (sin x)/x dx con cuatro decimales.

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0,9461, a partir de 1 − 1/18 + 1/600 − 1/35280. El siguiente término, 1/3265920, no puede alterar el cuarto decimal.

$1-\tfrac1{18}+\tfrac1{600}-\tfrac1{35280}\approx0{.}9461$
Expresa ∫₀² e^−x² dx en función de erf y da su valor.

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(√π/2) erf 2 ≈ 0,8821.

$\int_{0}^{2}e^{-x^{2}}\,dx=\tfrac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}2\approx0{.}8821$

«No hay fórmula» para e⁻ˣ² es un teorema

Pulsa La campana de Gauss. La práctica te pide ∫3e^−x² dx, y la respuesta correcta es Ninguna existe. Nadie está esperando una sustitución más inteligente: Joseph Liouville demostró en la década de 1830 que ninguna combinación de potencias, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, por larga que sea, tiene a e^−x² como derivada. Dado el teorema de Liouville, el último paso cabe en un párrafo, y los apuntes de Brian Conrad lo recogen: si existiera una primitiva elemental, tendría la forma R(x)e^−x² con R una función racional, de modo que R′ − 2xR = 1. Un polinomio R hace que el grado del lado izquierdo sea demasiado alto; un polo de R le da a R′ un polo de un orden mayor, que nada en ninguno de los lados cancela. Y sin embargo, la primitiva existe. El panel inferior la dibuja a partir de la regla de Simpson, una curva suave ascendente, y los resultados muestran ∫₀¹ 3e^−x² dx = 2,2405. Lo que falta es una fórmula, no una función, y los matemáticos le dieron nombre a una copia a escala de la misma: la función error erf(x) = (2/√π)∫₀ˣ e^−t² dt, así que la primitiva de la práctica es (3√π/2)·erf(x) + C. Pulsa 1/ln x: el mismo teorema, mediante x = e^u, descarta una fórmula para la integral logarítmica ∫dx/ln x, y la página dibuja esa primitiva igualmente.

Al multiplicarse por un polinomio, e⁻ˣ² tiene fórmula exactamente cuando su área en toda la recta es cero

El test de Liouville se puede ejecutar, no solo citar. Escribe un polinomio cúbico g en las casillas y avanza paso a paso: cualquier fórmula para ∫g(x)e^−x² dx tendría que ser R(x)e^−x² con R un polinomio, así que R′ − 2xR debe ser igual a g, e igualar las potencias de mayor a menor encuentra R o termina en una contradicción en el término independiente. Pulsa x²·e⁻ˣ². Los pasos obligan a que R = −½x y luego piden que −½ sea igual a 0, así que no hay fórmula, y el área en toda la recta es √π/2 = 0,8862. Pulsa Equilibrado, (2x² − 1)e^−x²: los pasos encuentran R = −x, así que la integral es −xe^−x² + C, y el área es 0,0000. Los dos hechos son un solo hecho. Una fórmula R(x)e^−x² se desvanece en ambos extremos, de modo que el área entre ellos, F(∞) − F(−∞), es cero; y al integrar por partes se reduce cada x^2me^−x² a una fórmula más un múltiplo fijo de ∫e^−x² dx, un múltiplo que suma el área dividida por √π. En números: existe una fórmula exactamente cuando g₀ + g₂/2 = 0, y las potencias impares nunca importan. El sombreado verde y el rojo lo hacen visible: deben anularse.

Cuenta los integrandos en una familia y los que tienen fórmula casi desaparecen

El teorema de Liouville trata sobre el integrando que tienes delante. No dice qué fracción de las integrales carece de fórmula, y no puede hacerlo, porque la palabra «mayoría» necesita una familia y una forma de contar. Así que cuenta una familia. Toma cada polinomio cúbico g con coeficientes enteros del −3 al 3, un total de 2.401. Multiplicados por e^−x², 147 tienen una primitiva elemental, el 6,12 %, y son exactamente los que cumplen g₂ = −2g₀: tres celdas iluminadas de las 49 en la cuadrícula, con g₁ y g₃ libres. Amplía los coeficientes de −10 a 10 y la proporción cae al 2,49 %; de −100 a 100, al 0,25 %; cada ampliación por diez la divide por unos diez, como muestra la tabla. Una fórmula necesita una coincidencia exacta entre los coeficientes, y una coincidencia exacta es una línea trazada a través de un cuadrado que sigue creciendo. La práctica te da una fórmula aproximadamente la mitad de las veces solo porque fue diseñada para ello; elegido al azar de esta familia, casi ningún integrando tendría una.

Ruta de aprendizaje

Técnicas de integración

Referencias (2)

The criterion the page runs: “Choose f, g ∈ ℂ(X) with f ≠ 0 and g nonconstant. The function f(x)e^g(x) can be integrated in elementary terms if and only if there exists a rational function R ∈ ℂ(X) such that R′(X) + g′(X)R(X) = f(X)” (Theorem 4.4, p. 8), deduced from Liouville's theorem (Theorem 4.1) and proved in §5; applied to e^(−x²) in Example 4.6 and to eˣ/x, equivalently dt/log t, in Example 4.7 (pp. 9–10). Example 4.3 gives ∫dx/√P(x) for P of degree 3 or more without repeated roots: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), Theorems 4.1 and 4.4, Examples 4.3, 4.6 and 4.7.
Liouville's results and their dates: the theorem that an elementary ∫eˣy dx (y algebraic) must be eˣ times a rational expression in y, from his 1835 memoir in Crelle's Journal (vol. 13, pp. 93–118), with “the ‘logarithm-integral’ … is really a new transcendent” (ch. VI §4, pp. 58–59); the reduction of every ∫eˣR(x) dx to ∫eˣ/x dx (p. 58, the eˣ(1 − 1/x)³ and eˣ(1 − 2/x)² examples); a footnote crediting the general method with “the ‘error function’ integral ∫e^(−x²) dx is not an elementary function” (§5, p. 59); Liouville's proof for the standard elliptic integrals (ch. V §19, p. 47); and the bibliography of his memoirs, 1833–1840: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter V §19, Chapter VI §§4–5, and Appendix I.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.