Integrales dobles en coordenadas polares

Corta una región con circunferencias centradas en el origen y rayos que salen de él, y cada celda es un trozo de anillo cuya área es su radio medio por Δr por Δθ. Ese radio medio es la r de r dr dθ. Marca una celda en cualquiera de los dos dibujos y compara su área en los dos planos.

Integral doble en coordenadas polares	$\iint_R f\,dA=\int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f\,r\,dr\,d\theta$
La integral de Gauss	$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}$

Ejemplo resuelto — Integrales dobles en coordenadas polares

Celda marcada en el plano rθ	0,1745
Celda marcada en el plano xy	0,16
La integral doble	3,1416
Lo mismo sin la r (incorrecto)	6,2832

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Integrales dobles en coordenadas polares

Una integral doble en coordenadas polares integra sobre una región descrita por un ángulo θ y una distancia r al origen, con el elemento de área dA = r dr dθ.

Qué significa cada símbolo

r, θ: la distancia al origen y el ángulo medido desde el semieje x positivo: x = r cos θ, y = r sin θ
r̄, Δr, Δθ: el radio medio de una celda, su anchura en r y su anchura en θ

De dónde viene la fórmula

Corta la región en celdas polares. Una celda entre los radios r₁ y r₂ y los ángulos θ y θ + Δθ es la diferencia de dos sectores, y su área se factoriza como el radio medio por Δr por Δθ.
$\begin{aligned}\Delta A&=\tfrac{1}{2}\left(r_2^{2}-r_1^{2}\right)\Delta\theta\\&=\tfrac{r_1+r_2}{2}\,(r_2-r_1)\,\Delta\theta=\bar r\,\Delta r\,\Delta\theta\end{aligned}$
Suma y pasa al límite. El valor de f en cada celda por el área de la celda, sumado, tiende a una integral iterada en la que r̄ se ha convertido en r. Los límites de r pueden depender de θ.
$\begin{aligned}\iint_R f\,dA&=\int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f\,r\,dr\,d\theta,\\ x&=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta\end{aligned}$
Eleva al cuadrado la integral de Gauss. El producto de dos integrales de una variable es una integral doble sobre el plano, y en forma polar la r le da a e^(−r²) una primitiva con fórmula.
$\begin{aligned}I^{2}&=\iint_{\mathbb{R}^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA\\&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta\\&=2\pi\left[-\tfrac{1}{2}e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty}=\pi\\ I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}\end{aligned}$

Supone: En la región, θ va entre dos ángulos y, a lo largo de cada rayo, r va entre dos curvas r₁(θ) ≤ r₂(θ). La integral sobre todo el plano es impropia; discos crecientes y cuadrados crecientes dan el mismo π, porque cada cuadrado queda entre dos discos.

Problemas resueltos al detalle

El área de un disco 2 pasos
Calcula el área del disco de radio R como integral doble en coordenadas polares, y qué obtienes si olvidas la r.

Abre este problema en la herramienta
1. El disco es 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, y dA = r dr dθ:
  
  $\begin{aligned}A&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r\,dr\,d\theta\\&=\int_{0}^{2\pi}\tfrac{R^{2}}{2}\,d\theta=\pi R^{2}\end{aligned}$
2. Sin la r:
  
  $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}dr\,d\theta=2\pi R$
Respuesta

πR², que vale 3,1416 para R = 1. Sin la r, 2πR: el perímetro, una longitud.

$A=\pi R^{2},\qquad R=1:\ A\approx3{.}1416$
Dentro de una cardioide 2 pasos
Calcula el área encerrada por la cardioide r = 1 + cos θ.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Para cada θ en [0, 2π], r va de 0 a 1 + cos θ, y la integral interior es la mitad del cuadrado de ese límite:
  
  $\begin{aligned}A&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1+\cos\theta}r\,dr\,d\theta\\&=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+\cos\theta\right)^{2}d\theta\end{aligned}$
2. En una vuelta completa, la integral de cos θ es 0 y la de cos² θ es π:
  
  $\begin{aligned}A&=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta\right)d\theta\\&=\tfrac{1}{2}\left(2\pi+0+\pi\right)=\tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}$
Respuesta

3π/2 ≈ 4,7124.

$A=\tfrac{3\pi}{2}\approx4{.}7124$
De x e y a r y θ 2 pasos
Calcula ∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (x² + y²) dy dx.

Abre este problema en la herramienta
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1. y va de 0 hasta la circunferencia x² + y² = 1 y x de 0 a 1: es el cuarto del disco unidad en el primer cuadrante, es decir, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2. Y x² + y² = r²:
  
  $\begin{aligned}&\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\,dx\\&\quad=\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\end{aligned}$
2. Integra:
  
  $\int_{0}^{\pi/2}\left[\tfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\tfrac{1}{4}\,d\theta=\tfrac{\pi}{8}$
Respuesta

π/8 ≈ 0,3927.

$\tfrac{\pi}{8}\approx0{.}3927$
Un disco que no está centrado en el origen 3 pasos
Calcula ∬ x dA sobre el disco x² + y² ≤ 2x y, a partir de ella, la coordenada x del centroide del disco.

Abre este problema en la herramienta
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1. En coordenadas polares el borde es r² = 2r cos θ, así que r = 2 cos θ, y r ≥ 0 exige cos θ ≥ 0. θ va de −π/2 a π/2, una vuelta a la circunferencia; una vuelta completa de θ la recorrería dos veces y duplicaría el resultado.
  
  $x^{2}+y^{2}\le2x\iff r\le2\cos\theta,\quad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$
2. Con x = r cos θ:
  
  $\begin{aligned}\iint x\,dA&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2\cos\theta}r\cos\theta\cdot r\,dr\,d\theta\\&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tfrac{8}{3}\cos^{4}\theta\,d\theta=\tfrac{8}{3}\cdot\tfrac{3\pi}{8}=\pi\end{aligned}$
3. El disco tiene radio 1 y área π:
  
  $\bar x=\frac{\iint x\,dA}{A}=\frac{\pi}{\pi}=1$
Respuesta

∬ x dA = π ≈ 3,1416, así que el centroide está en x = 1, el centro del disco.

$\iint x\,dA=\pi\approx3{.}1416,\qquad \bar x=1$
El volumen de una esfera 2 pasos
Calcula el volumen de una esfera de radio R como integral doble en coordenadas polares.
Mostrar solución
1. La mitad superior es el volumen bajo z = √(R² − x² − y²) sobre el disco r ≤ R:
  
  $V=2\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta$
2. Sustituye u = R² − r², de modo que du = −2r dr; la r del elemento de área es la que hace que la sustitución funcione:
  
  $\begin{aligned}V&=2\cdot2\pi\int_{0}^{R^{2}}\tfrac{1}{2}\sqrt{u}\,du\\&=2\pi\cdot\tfrac{2}{3}R^{3}=\tfrac{4\pi R^{3}}{3}\end{aligned}$
Respuesta

4πR³/3, el mismo volumen que se obtuvo por secciones antes en este capítulo.

$V=\tfrac{4\pi R^{3}}{3}$
Gauss sobre un disco 2 pasos
Calcula ∬ e^(−(x²+y²)) dA sobre el disco de radio R y halla su límite cuando R → ∞.

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1. En forma polar el integrando es e^(−r²), y la r que lo acompaña hace que la primitiva tenga fórmula:
  
  $\int_{0}^{R}e^{-r^{2}}\,r\,dr=\left[-\tfrac{1}{2}e^{-r^{2}}\right]_{0}^{R}=\tfrac{1}{2}\left(1-e^{-R^{2}}\right)$
2. La integral en θ multiplica por 2π:
  
  $\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\left(1-e^{-R^{2}}\right)d\theta=\pi\left(1-e^{-R^{2}}\right)$
Respuesta

π(1 − e^(−R²)), que vale 3,0841 para R = 2 y tiende a π.

$\pi\left(1-e^{-R^{2}}\right)\xrightarrow[R\to\infty]{}\pi,\qquad R=2:\ \approx3{.}0841$
∫e^(−x²) dx = √π 3 pasos
Demuestra que la integral de e^(−x²) sobre toda la recta es √π.

Abre este problema en la herramienta
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1. Sea I(b) la integral de −b a b. Su cuadrado es una integral doble sobre el cuadrado |x|, |y| ≤ b:
  
  $\begin{aligned}I(b)^{2}&=\int_{-b}^{b}e^{-x^{2}}dx\int_{-b}^{b}e^{-y^{2}}dy\\&=\iint_{|x|,|y|\le b}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA\end{aligned}$
2. El cuadrado contiene el disco de radio b y está dentro del disco de radio b√2. El integrando es positivo, así que, por el problema 6:
  
  $\pi\left(1-e^{-b^{2}}\right)\le I(b)^{2}\le\pi\left(1-e^{-2b^{2}}\right)$
3. Las dos cotas tienden a π cuando b → ∞, así que I(b)² también, e I(b) es positiva:
  
  $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}I(b)=\sqrt{\pi}$
Respuesta

√π ≈ 1,7725. Con b = 2 las cotas son 3,0841 y 3,1405, e I(2)² ≈ 3,1123 queda entre ellas.

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}\approx1{.}7725$
La constante de la distribución normal 2 pasos
Calcula la integral de e^(−x²/2) sobre toda la recta y explica el factor 1/√(2π) de la densidad normal estándar.
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1. Sustituye x = √2 u, de modo que dx = √2 du:
  
  $\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2}\,dx&=\sqrt{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du\\&=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\pi}=\sqrt{2\pi}\end{aligned}$
2. Divide entre √(2π) y el total es 1:
  
  $\int_{-\infty}^{\infty}\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,dx=\tfrac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2\pi}}=1$
Respuesta

√(2π). Así, (1/√(2π)) e^(−x²/2) tiene área total 1, como debe tenerla una densidad de probabilidad.

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2}\,dx=\sqrt{2\pi}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Halla el área de un pétalo de r = sin 3θ.

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π/12 ≈ 0,2618. Un pétalo va de θ = 0 a θ = π/3.

$A=\int_{0}^{\pi/3}\tfrac12\sin^{2}3\theta\,d\theta=\frac{\pi}{12}\approx0{.}2618$
Calcula ∬ (x² + y²) dA en el disco unidad.

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π/2 ≈ 1,5708, a partir de ∫₀^2π ∫₀¹ r² · r dr dθ.

$\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta=\frac{\pi}{2}\approx1{.}5708$
Calcula ∬ dA/(x² + y²) en la corona circular 1 ≤ x² + y² ≤ 4.

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2π ln 2 ≈ 4,3552. El factor r de dA deja 1/r por integrar.

$\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}\frac{dr}{r}\,d\theta=2\pi\ln2\approx4{.}3552$
Halla el volumen bajo z = 4 − x² − y² y sobre el plano z = 0.

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8π ≈ 25,1327. La superficie corta al plano z = 0 en la circunferencia r = 2.

$\begin{aligned}V&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\left(4-r^{2}\right)r\,dr\,d\theta\\&=8\pi\approx25{.}1327\end{aligned}$
Calcula el área interior a la cardioide r = 1 + cos θ y exterior a la circunferencia r = 1.

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2 + π/4 ≈ 2,7854. Las curvas se cortan en θ = ±π/2, y entre ambos ángulos la cardioide forma el borde exterior.

$\begin{aligned}A&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tfrac12\left((1+\cos\theta)^{2}-1\right)d\theta\\&=2+\frac{\pi}{4}\approx2{.}7854\end{aligned}$

Olvida la r y el área del disco sale igual a su perímetro

Pulsa Disco unidad. Con la r, la integral es π ≈ 3,1416; sin ella, los mismos límites dan 2π ≈ 6,2832, el perímetro, que es una longitud. ∫∫ dr dθ mide el rectángulo en que se convierte el disco en el plano rθ, de 1 por 2π, y en ese plano todas las celdas tienen la misma área Δr Δθ, mientras que en el disco las celdas cercanas al centro son astillas y las del borde son anchas. Una celda entre los radios r₁ y r₂ es la diferencia de dos sectores, ½(r₂² − r₁²)Δθ, que se factoriza como ½(r₁ + r₂) · (r₂ − r₁) · Δθ: el radio medio por Δr por Δθ, exactamente. Marca una celda en el borde y luego otra en el centro, y compara las dos filas de celda de los resultados. Como no se ha aproximado nada, la suma sobre la malla da π para este disco incluso con n = 1, una sola celda.

La r que es tan fácil olvidar es la que permite calcular ∫e^(−x²) dx

e^(−x²) no tiene primitiva elemental, ninguna construida con potencias, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas: Liouville lo demostró en la década de 1830, y la página de integrales no elementales aplica su criterio. Aun así, su integral sobre toda la recta vale exactamente √π. Llama I a esa integral. Entonces I² es ∫e^(−x²) dx por ∫e^(−y²) dy, que es la integral de e^(−(x²+y²)) sobre todo el plano, y en coordenadas polares el integrando e^(−r²) llega con una r al lado. Y r e^(−r²) sí tiene primitiva: −½e^(−r²). Así que la integral interior vale ½, la integral en θ la multiplica por 2π, e I² = π. Pulsa Gauss en un disco: la fila de la integral interior muestra ese corchete. La biografía de Kelvin que escribió Silvanus Thompson (1910) cuenta que Kelvin escribió una vez este resultado en la pizarra y dijo a sus alumnos: «Un matemático es aquel para quien esto es tan evidente como para vosotros que dos por dos son cuatro. Liouville era un matemático».

Todo el plano es un límite de cuadrados, y los discos siguen dando la respuesta correcta

I² se definió sobre cuadrados, |x|, |y| ≤ b, y se calculó sobre discos. Pulsa Gauss en un cuadrado. El cuadrado contiene el disco de radio b y está dentro del disco de radio b√2, y e^(−(x²+y²)) es positiva, así que su integral sobre el cuadrado está entre π(1 − e^(−b²)) y π(1 − e^(−2b²)). Las dos cotas tienden a π, así que el valor del cuadrado también. Con b = 2, los tres números son 3,0841, 3,1123 y 3,1405. Pulsa Gauss, b = 1: 1,9859, 2,231 y 2,7164, y las esquinas que quedan fuera del disco interior aportan el 11% del valor del cuadrado. Por eso el argumento da la integral sobre toda la recta y, sobre un intervalo finito, solo la acota: ∫e^(−x²) dx de −1 a 1 vale 1,4936, y los discos la sitúan entre √1,9859 ≈ 1,4092 y √2,7164 ≈ 1,6482.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (2)

The double integral over a polar region as the iterated integral of f(r, θ) r dr dθ (equation 5.8 and Theorem 5.8), the polar subrectangle's area r*ΔrΔθ with r* the middle radius, and the improper integral of e^(−10(x²+y²)) over the plane in polar coordinates (Example 5.35): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.3, “Double Integrals in Polar Coordinates”.
Insight block 2: Kelvin wrote ∫e^(−x²) dx = √π on the blackboard and told his class “A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.” (vol. 2, chapter XXV, p. 1139, footnote 1): S. P. Thompson, The Life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs, vol. 2, Macmillan, London (1910).

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.