Calculadora de caída libre

tiempo de caída, velocidad de impacto y energía en la caída libre bajo gravedad

Caída desde el reposo	$t=\sqrt{\frac{2h}{g}},\qquad v=\sqrt{2gh}$
Lanzamiento con v₀, hacia arriba positivo	$y=h+v_0t-\tfrac12gt^{2},\qquad v_y=v_0-gt$
Energía por kilogramo, cualquier tiro	$\tfrac12v^{2}=\tfrac12v_0^{2}+gh$

Ejemplo resuelto — Calculadora de caída libre

Tiempo de caída	4,5152 s
Velocidad de impacto	44,29 m/s
Energía cinética por kg	981 J/kg

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Calculadora de caída libre

La caída libre es el movimiento debido exclusivamente a la gravedad, dejando el aire fuera de la ecuación. Una única aceleración constante g actúa durante toda la caída; en el vacío, cualquier cifra que muestra el panel se deduce de esa sola hipótesis. La opción con aire reincorpora la única fuerza que este modelo omite.

Qué significa cada símbolo

h: la altura de caída, medida hacia abajo en línea recta. Es la única distancia en el problema: qué distancia recorre el objeto lateralmente y qué forma tiene no aparecen.
g: la aceleración de la gravedad, en metros por segundo al cuadrado. Ajústala a 1.62 para la Luna y la misma caída de 100 m se alarga de 4.5152 s a 11.1111 s, llegando a 18 m/s en lugar de 44.29 m/s.
v₀: la velocidad de lanzamiento, positiva hacia arriba. Una piedra que se deja caer tiene v₀ = 0; si se lanza hacia abajo, su v₀ es negativa.
v: la rapidez de impacto en el instante en que toca el suelo, no un promedio. Salvo en su último instante, el objeto viaja más despacio que esto durante toda la caída.
t: el tiempo de caída. Crece como la raíz cuadrada de la altura, que es la parte que sorprende a la gente — diez veces la altura de caída solo otorga 3.1623 veces el tiempo.

De dónde viene la fórmula

Mide la altura desde el suelo, tomando hacia arriba como sentido positivo. Al ser la gravedad la única fuerza, la aceleración vale −g durante todo el vuelo y la altura responde a la ecuación del movimiento uniformemente acelerado.
$a_y=-g\ \Rightarrow\ v_y=v_0-gt,\quad y=h+v_0t-\tfrac12gt^{2}$
Al soltarse desde el reposo, v₀ = 0, y el suelo se sitúa en y = 0. Despeja el tiempo: verás que crece con la raíz cuadrada de la altura. Por eso caer desde el doble de altura no requiere el doble de tiempo.
$0=h-\tfrac12gt^{2}\ \Rightarrow\ t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
La rapidez en ese instante es gt. Al sustituir el tiempo, la altura y la gravedad intervienen de forma simétrica, mientras que la masa no aparece en ningún momento.
$v=gt=g\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gh}$
Elévala al cuadrado y divide entre dos: la energía cinética por kilogramo es exactamente gh. Es la energía potencial que ha cedido la caída al simplificar la masa en ambos lados: por eso 100 m a 9,81 m/s² arroja 981 J/kg.
$\tfrac12mv^{2}=mgh\ \Rightarrow\ \frac{E_k}{m}=\tfrac12v^{2}=gh$
Si hay lanzamiento, el balance de energía sigue cumpliéndose, sumando la energía de la velocidad inicial. La dirección del tiro no interviene porque v₀ está al cuadrado: lanzada hacia arriba o hacia abajo a igual rapidez, la piedra llega al suelo con la misma rapidez. El tiempo, en cambio, sí depende de la dirección y se obtiene de v = v₀ − gt, donde la velocidad final apunta hacia abajo.
$\tfrac12v^{2}=\tfrac12v_0^{2}+gh\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2gh},\qquad -v=v_0-gt\ \Rightarrow\ t=\frac{v_0+v}{g}$

Cómo leer lo que ves

Cambia la altura y observa cómo las dos filas superiores avanzan a la vez, pero a distinto ritmo. A 1000 m la caída dura 14.2784 s frente a 4.5152 s, y toca tierra a 140.07 m/s frente a 44.29 m/s; ambos valores quedan multiplicados por 3.1623. Diez veces más altura se traduce en √10 veces el tiempo y la rapidez, mientras que la energía por kilogramo se multiplica por diez al completo. Divide en cambio la altura entre cuatro: la rapidez se reduce exactamente a la mitad. Como v varía con √h, 25 m da 22.15 m/s.

Supone: Ausencia total de aire y una gravedad constante durante la caída. La segunda condición es menos restrictiva: g disminuye con la altitud, por lo que una caída real de 1000 m no mantiene un valor estrictamente fijo como el que usamos aquí.
Falla cuando: La resistencia del aire echa por tierra este modelo de inmediato, y de manera rotunda, no con una leve desviación. Un paracaidista deja de acelerar cerca de 55 m/s, así que el cálculo en el vacío sobrestima la caída de 1000 m en más del doble, marcando 140.07 m/s. Nada en v = √(2gh) puede imponer un límite superior. Activa el aire y esa misma caída termina a 54.96 m/s, tras 22.0658 s.

Problemas resueltos al detalle

Dejar caer una piedra desde 100 m con g = 9,81 m/s² 5 pasos
Deja caer una piedra desde 100 m con g = 9,81 m/s². Calcula el tiempo de caída, la velocidad de impacto y la energía por kilogramo, y después averigua dónde se ubican los puntos medios de la caída, ya que ni la mitad de la altura ni la mitad de la energía coinciden con la mitad del tiempo.
1. El desplazamiento es cuadrático respecto al tiempo, por lo que igualar la altura a cero y resolver constituye la totalidad del primer paso.
  
  $y(t)=h-\tfrac{1}{2}gt^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{200}{9.81}}=4.5152\ \mathrm{s}$
2. La rapidez es la derivada evaluada en ese instante. Vale la pena hacer la conversión: 159 km/h, por encima del límite de la mayoría de autopistas, desde unas treinta plantas de altura.
  
  $v=gt=9.81\times4.5152=44.29\ \mathrm{m/s}=159.5\ \mathrm{km/h}$
3. Sustituir v² = 2gh en la energía cinética por kilogramo hace desaparecer la velocidad, y deja únicamente la altura de caída y la gravedad. Es la energía potencial devuelta de forma directa, de ahí que el número sea un 981 redondo.
  
  $v^{2}=2gh\quad\Longrightarrow\quad \frac{E_k}{m}=\tfrac{1}{2}v^{2}=gh=9.81\times100=981\ \mathrm{J/kg}$
4. Pasemos al perfil de la caída. Escribir la altura como una fracción del total convierte la dependencia del tiempo en un simple cuadrado, y los cuadrados son desfavorables: la mitad del tiempo transcurrido solo rinde una cuarta parte de la distancia.
  
  $\frac{y}{h}=1-\left(\frac{t}{t_{\text{imp}}}\right)^{2}:\quad t=\tfrac{1}{2}t_{\text{imp}}\Rightarrow\text{only }25\%\text{ fallen};\quad y=\tfrac{1}{2}h\Rightarrow t=0.707\,t_{\text{imp}}$
5. El aire cambia el destino, no solo el ritmo. Con una velocidad límite de 55 m/s, la forma cerrada da 38,0 m/s: un 14% menos de velocidad, pero un 26% menos de energía, porque la energía varía con el cuadrado, y esta es la única línea en la que reaparecería la masa.
  
  $v_t=55\ \mathrm{m/s}:\quad v_{\text{imp}}=v_t\sqrt{1-e^{-2gh/v_t^{2}}}=55\sqrt{1-e^{-0.6486}}=38.0\ \mathrm{m/s},\quad \frac{E_k}{m}=721.8$
Respuesta

4,5152 s, 44,29 m/s y exactamente 981 J/kg. Esa última cifra es simplemente gh: la masa se cancela por partida doble, por lo que un guijarro y un piano llegan con la misma energía por kilogramo. Y la caída se concentra enormemente hacia el final: a la mitad del tiempo la piedra ha cubierto una cuarta parte del descenso, y solo alcanza la mitad de la altura al 71 % del tiempo. La mitad del recorrido tiene lugar en ese último 29 %, por lo que una caída a la que parece posible sobrevivir desde lo alto, no lo es.

$t=4.5152\ \mathrm{s},\quad v=44.29\ \mathrm{m/s},\quad E_k/m=gh=981\ \mathrm{J/kg}$
¿Qué profundidad tiene el pozo? 3 pasos
Una piedra que se deja caer en un pozo impacta en el agua 2,5 s después. Si ignoras el tiempo que tarda el sonido en subir, ¿a qué profundidad está el agua y con qué rapidez impacta la piedra?

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1. Tomamos el sentido hacia arriba como positivo, el agua en y = 0 y la piedra soltada desde el reposo a una altura desconocida h. En este caso, el dato conocido es el tiempo:
  
  $y=h-\tfrac12gt^{2}=0,\qquad t=2{.}5\ \mathrm{s}$
2. Despeja la altura:
  
  $h=\tfrac12gt^{2}=\tfrac12(9{.}81)(2{.}5)^{2}=30{.}656\ \mathrm{m}$
3. La rapidez se obtiene directamente del tiempo, y el balance de energía da el mismo valor sin necesidad de conocerlo:
  
  $v=gt=9{.}81\times2{.}5=24{.}525\ \mathrm{m/s},\qquad v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2(9{.}81)(30{.}656)}=24{.}525\ \mathrm{m/s}\ \checkmark$
Respuesta

30,66 m de profundidad, e impacto a 24,53 m/s. El sonido necesita unos 0,09 s para subir a 343 m/s; por tanto, un cronómetro que marque 2,5 s desde que se suelta hasta el chapoteo indica que el pozo es en realidad algo menos profundo.

$h=30{.}66\ \mathrm{m},\qquad v=24{.}53\ \mathrm{m/s}$
Tiro vertical desde un acantilado 4 pasos
Se lanza una piedra en vertical hacia arriba a 25 m/s desde el borde de un acantilado de 50 m de altura; al descender, rebasa el borde y sigue cayendo hasta el suelo. ¿Qué altura alcanza sobre el suelo, en qué momento impacta y a qué rapidez?

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1. Con el sentido positivo hacia arriba y el suelo en y = 0, tenemos h = 50 m y v₀ = +25 m/s. En el punto más alto, la velocidad se anula:
  
  $0=v_0-g\,t_{\mathrm{top}}\ \Rightarrow\ t_{\mathrm{top}}=\frac{25}{9{.}81}=2{.}5484\ \mathrm{s},\qquad h_{\max}=h+\frac{v_0^{2}}{2g}=50+\frac{25^{2}}{2(9{.}81)}=81{.}855\ \mathrm{m}$
2. La rapidez de impacto se deduce de la energía, sin necesidad del tiempo:
  
  $v=\sqrt{v_0^{2}+2gh}=\sqrt{25^{2}+2(9{.}81)(50)}=\sqrt{1606}=40{.}075\ \mathrm{m/s}$
3. Como la velocidad al aterrizar apunta hacia abajo, vale −40,075 m/s, y v = v₀ − gt nos da el tiempo:
  
  $-40{.}075=25-9{.}81\,t\ \Rightarrow\ t=\frac{25+40{.}075}{9{.}81}=6{.}6335\ \mathrm{s}$
4. Lánzala en cambio hacia abajo a esa misma rapidez: v₀ = −25 m/s. El balance energético no varía, ya que v₀ está al cuadrado. El tiempo, en cambio, sí:
  
  $v_0=-25:\quad v=\sqrt{(-25)^{2}+2(9{.}81)(50)}=40{.}075\ \mathrm{m/s},\qquad t=\frac{-25+40{.}075}{9{.}81}=1{.}5367\ \mathrm{s}$
Respuesta

81,86 m sobre el suelo a los 2,5484 s; toca tierra a los 6,6335 s a 40,07 m/s. Lanzado hacia abajo a 25 m/s, tarda apenas 1,5367 s en caer, a los mismos 40,07 m/s. El sentido del lanzamiento cambió el tiempo y la altura máxima, pero no la rapidez de impacto. Pulsa Tiro vertical desde 50 m y reprodúcelo.

$h_{\max}=81{.}86\ \mathrm{m}\ (t=2{.}5484\ \mathrm{s}),\qquad t=6{.}6335\ \mathrm{s},\qquad v=40{.}07\ \mathrm{m/s}$
Cómo hallar g en la Luna 2 pasos
Un astronauta en la Luna suelta un martillo desde 1,6 m de altura y este llega al suelo 1,41 s después. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la Luna y a qué rapidez impacta el martillo?

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1. Al soltarse desde el reposo, la ecuación de la altura solo tiene una incógnita, g:
  
  $h=\tfrac12gt^{2}\ \Rightarrow\ g=\frac{2h}{t^{2}}=\frac{2(1{.}6)}{1{.}41^{2}}=1{.}6096\ \mathrm{m/s^{2}}$
2. Obtenemos la rapidez de impacto a partir del tiempo y la comprobamos mediante energía:
  
  $v=gt=1{.}6096\times1{.}41=2{.}2695\ \mathrm{m/s},\qquad \sqrt{2gh}=\sqrt{2(1{.}6096)(1{.}6)}=2{.}2695\ \mathrm{m/s}\ \checkmark$
Respuesta

g = 1,61 m/s², y el martillo impacta a 2,27 m/s. En la Tierra, esa misma caída tardaría 0,5711 s y llegaría a 5,6 m/s. Una pluma que se soltara junto al martillo en la Luna llegaría exactamente a la vez: ninguna de las dos expresiones depende de la masa.

$g=1{.}61\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad v=2{.}27\ \mathrm{m/s}$
La segunda mitad en el último segundo 4 pasos
Una piedra que se deja caer desde el reposo recorre la segunda mitad de su altura en el último 1,0 s de caída. ¿Cuánto dura la caída completa y desde qué altura se soltó?

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1. Llamemos T al tiempo total de caída. En el instante T − 1 la piedra ha recorrido la mitad de la altura, y la altura total es ½gT²:
  
  $\tfrac12g(T-1)^{2}=\tfrac12\cdot\tfrac12gT^{2}$
2. Al cancelarse g, el tiempo obtenido es válido en cualquier planeta. Extrae la raíz cuadrada:
  
  $(T-1)^{2}=\frac{T^{2}}{2}\ \Rightarrow\ T-1=\pm\frac{T}{\sqrt2}$
3. El signo menos arroja T = 0,5858 s, un valor menor que el 1 s del enunciado, de modo que descartamos esa raíz:
  
  $T=\frac{1}{1-1/\sqrt2}=3{.}4142\ \mathrm{s}\qquad\left(T=\frac{1}{1+1/\sqrt2}=0{.}5858\ \mathrm{s}<1\ \mathrm{s}\ \times\right)$
4. Calculamos ahora la altura:
  
  $h=\tfrac12gT^{2}=\tfrac12(9{.}81)(3{.}4142)^{2}=57{.}177\ \mathrm{m}$
Respuesta

3,4142 s, desde 57,18 m. Como el tiempo no depende de g, la misma situación en la Luna también supondría una caída de 3,4142 s, pero desde apenas 9,44 m.

$T=3{.}4142\ \mathrm{s},\qquad h=57{.}18\ \mathrm{m}$
¿Adónde va la energía? 3 pasos
Una paracaidista cae 1000 m desde el reposo en un aire cuya velocidad límite es de 55 m/s. ¿Con qué rapidez desciende al término de esos 1000 m y qué parte de la energía por kilogramo aportada por la gravedad se ha transferido al aire?

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1. Sin aire, toda la energía se convertiría en rapidez: gh por kilogramo.
  
  $gh=9{.}81\times1000=9810\ \mathrm{J/kg},\qquad \sqrt{2gh}=140{.}07\ \mathrm{m/s}$
2. Con un rozamiento proporcional a v², la rapidez tras una caída h desde el reposo tiene una expresión cerrada:
  
  $v=v_t\sqrt{1-e^{-2gh/v_t^{2}}}=55\sqrt{1-e^{-6{.}4860}}=54{.}958\ \mathrm{m/s}$
3. Su energía cinética por kilogramo y la fracción restante, que el rozamiento absorbió en forma de trabajo negativo:
  
  $\tfrac12v^{2}=\tfrac12(54{.}958)^{2}=1510{.}19\ \mathrm{J/kg},\qquad \frac{W_{\mathrm{air}}}{m}=9810-1510{.}19=8299{.}81\ \mathrm{J/kg}$
Respuesta

54,96 m/s, y el 85 % de la energía (8.299,81 de 9.810 J/kg) ha pasado al aire. Tras recorrer unos 604 m ya se encontraba a menos del 1 % de la velocidad límite, y casi toda la energía de cada metro sucesivo se fue al aire en vez de aumentar su rapidez. Pulsa Paracaidista en aire, 1000 m para ver cómo se aplana la curva de rapidez.

$v=54{.}96\ \mathrm{m/s},\qquad \frac{W_{\mathrm{air}}}{gh}=\frac{8299{.}81}{9810}=85\%$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Se deja caer una pelota desde una ventana a 20 m del suelo. ¿Cuánto tiempo dura la caída y con qué rapidez llega al suelo?

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2,0193 s y 19,81 m/s.

$t=\sqrt{\frac{2(20)}{9{.}81}}=2{.}0193\ \mathrm{s},\qquad v=\sqrt{2(9{.}81)(20)}=19{.}81\ \mathrm{m/s}$
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo a 15 m/s. ¿Qué altura alcanza y cuánto tarda en volver a caer?

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11,47 m, y regresa tras 3,0581 s.

$h_{\max}=\frac{15^{2}}{2(9{.}81)}=11{.}47\ \mathrm{m},\qquad t=\frac{2(15)}{9{.}81}=3{.}0581\ \mathrm{s}$
Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo a 10 m/s desde un puente a 40 m sobre el agua. ¿Con qué rapidez choca contra el agua y en qué instante?

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29,75 m/s, al cabo de 2,0128 s.

$v=\sqrt{10^{2}+2(9{.}81)(40)}=29{.}75\ \mathrm{m/s},\qquad t=\frac{-10+29{.}746}{9{.}81}=2{.}0128\ \mathrm{s}$
¿Cuánto tarda una caída de 10 m en Marte, donde g = 3,72 m/s², y con qué rapidez impacta?

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2,3187 s y 8,63 m/s.

$t=\sqrt{\frac{2(10)}{3{.}72}}=2{.}3187\ \mathrm{s},\qquad v=\sqrt{2(3{.}72)(10)}=8{.}63\ \mathrm{m/s}$
Una piedra soltada desde el reposo recorre 25 m en el último segundo antes de tocar el suelo. ¿Desde qué altura se dejó caer?

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45,58 m: la caída dura 3,0484 s.

$\tfrac12gT^{2}-\tfrac12g(T-1)^{2}=25\ \Rightarrow\ T=\frac{25}{9{.}81}+\tfrac12=3{.}0484\ \mathrm{s},\qquad h=\tfrac12gT^{2}=45{.}58\ \mathrm{m}$

Galileo no podía cronometrar una bola al caer, así que ralentizó la gravedad

Una caída de unos pocos metros termina en menos de un segundo, y el mejor reloj disponible en 1600 era un recipiente de agua pesado en una balanza. Así que Galileo diluyó la gravedad en lugar de luchar contra ella: al hacer rodar una bola por un plano inclinado de poca pendiente, la misma aceleración constante actúa a una fracción de su intensidad, alargando el movimiento hasta poder medirlo a mano. Lo que descubrió fue que las distancias recorridas en intervalos iguales sucesivos aumentaban como 1, 3, 5, 7 — los números impares, cuyas sumas acumuladas son 1, 4, 9, 16, los cuadrados. Eso es h ∝ t² demostrado sin un cronómetro. El cuadro de gravedad de arriba hace lo mismo por software: ajustarlo a 1.62 no altera la física, solo el ritmo al que esta transcurre.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Pulsa Torre de 100 m (Tierra): 4.5152 s, 44.29 m/s, 981 J/kg. Ahora pon la gravedad en los 1.62 de la Luna y deja la altura como está — la velocidad de impacto se desploma a 18 m/s. ¿Desde qué altura habría que soltarlo en la Luna para que llegue igual de fuerte, y qué fila te avisa de que ya has llegado?

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Unos 605.5 m, seis veces la altura para un sexto de la gravedad. Fíjate en la tercera fila. La energía cinética por kilogramo es g·h y nada más, así que igualar 981 J/kg equivale a igualar la velocidad. Con 605.5 y 1.62 verás 980.91 J/kg y 44.29 m/s, frente a los 981 de la Tierra y los mismos 44.29. Ahora la caída dura 27.341 s en lugar de 4.5152 s. Tarda seis veces más en alcanzar la misma velocidad, porque una gravedad débil necesita distancia para hacer lo que una fuerte logra rápidamente.
Un paracaidista real deja de acelerar en torno a 55 m/s. ¿A partir de qué altura de caída empieza esta página a dar una velocidad que ninguna persona en caída alcanza?

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Entre 154 m y 155 m: 154 da 54.97 m/s y 155 da 55.15 m/s. Ese umbral está más bajo de lo que casi nadie supone, y todo lo que hay por encima responde sobre el vacío, no sobre el aire. Después la diferencia crece deprisa: a 1000 m la página indica 140.07 m/s, dos veces y media una velocidad que un cuerpo cayendo en el aire no puede superar.

Ruta de aprendizaje

Energía en lugar de fuerzas

Referencias (3)

Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.