Representación de datos

Escribe números o elige una muestra de datos. El diagrama de puntos, el histograma y el diagrama de caja comparten escala: cada valor coincide exactamente en los tres. Justo debajo tienes el diagrama de tallo y hojas y la tabla de frecuencias. Si trabajas con categorías, cambia al diagrama de barras.

Frecuencia relativa	$\frac{f}{n}$
Rango intercuartílico	$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$
Valor atípico	$\begin{aligned}&x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Ejemplo resuelto — Representación de datos

Número de datos	25
Mínimo	47
Primer cuartil Q₁	53
Mediana M	74
Tercer cuartil Q₃	83,5
Máximo	88
Rango intercuartílico	30,5
Barrera inferior	7,25

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Representación de datos

La distribución de una variable describe qué valores toma y con qué frecuencia lo hace. Una variable categórica clasifica a cada individuo en un grupo; una cuantitativa toma valores numéricos con los que tiene sentido operar.

De dónde viene la fórmula

Determina el tipo de variable. Las categorías se cuentan y se representan en un diagrama de barras; los datos cuantitativos se sitúan sobre una recta numérica. Un número que actúa como mera etiqueta, como el código postal o el dorsal de una camiseta, es cualitativo.
Cuenta. La frecuencia f de una categoría o intervalo es la cantidad de individuos que contiene, y su frecuencia relativa es f dividida entre el total de observaciones n. La suma de las frecuencias relativas da 1, y su suma acumulada produce las frecuencias relativas acumuladas.
$\frac{f_1}{n}+\frac{f_2}{n}+\dots+\frac{f_k}{n}=1$
Conserva cada dato: diagrama de puntos y de tallo y hojas. El diagrama de puntos apila un punto por cada valor sobre una recta numérica. El diagrama de tallo y hojas divide cada número en un tallo (todas las cifras salvo la última) y una hoja (la última cifra), de modo que 47 se escribe 4 | 7; la unidad de hoja u indica cuánto vale cada hoja, y si u = 0,1, ese mismo 4 | 7 representa 4,7.
$x=(10s+\ell)\,u$
Agrupa en intervalos: el histograma. Elige una amplitud w y un punto de partida a. Cada intervalo se extiende desde su límite izquierdo hasta su límite derecho, sin incluir este último [a, b), y la altura de la barra refleja su frecuencia. Como los intervalos cubren la recta sin dejar huecos, las barras se tocan.
$[a+jw,\ a+(j+1)w),\qquad j=0,1,2,\dots$
Sintetiza en cinco números: el diagrama de caja. Ordena los datos de menor a mayor. La mediana M es el valor central, o la media de los dos centrales si n es par. Q₁ y Q₃ son las medianas de las mitades inferior y superior, excluyendo M de ambas si n es impar. La caja abarca desde Q₁ hasta Q₃; cualquier valor que se aleje de la caja más de 1,5 IQR se dibuja aislado como valor atípico, y cada bigote se extiende hasta el valor no atípico más extremo.
$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1,\qquad x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$

Supone: Las calculadoras no siempre coinciden al calcular los cuartiles. Esta página sigue el método de mitades de la TI-84 y del programa AP Statistics; las hojas de cálculo suelen interpolar entre valores, lo que puede arrojar un Q₁ y un Q₃ distintos para los mismos datos.

Problemas resueltos al detalle

¿Categórica o cuantitativa? 2 pasos
Un centro educativo registra para cada estudiante: (a) el número de hermanos, (b) la estatura en centímetros, (c) la asignatura preferida, (d) el código postal y (e) el tiempo en recorrer 100 m. ¿Cuáles son categóricas y cuáles cuantitativas? De las cuantitativas, ¿cuáles son discretas?
1. Pregúntate si calcular una media tendría algún sentido. La estatura media o la media de hermanos lo tienen. Una asignatura preferida media no significa nada, y la media de varios códigos postales tampoco, por mucho que se escriban con cifras.
2. Entre las variables cuantitativas, un recuento solo admite valores enteros, mientras que una medida física puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.
Respuesta

Categóricas: (c) y (d). Cuantitativas: (a), (b) y (e); entre ellas, (a) es discreta, mientras que (b) y (e) son continuas.
Tabla de frecuencias y diagrama de barras 3 pasos
Veinte alumnos responden a «¿cómo sueles ir al colegio?»: coche, autobús, a pie, coche, bici, autobús, coche, a pie, coche, autobús, coche, bici, a pie, coche, autobús, coche, a pie, coche, autobús, coche. Elabora una tabla con frecuencias absolutas y relativas, indica la moda y señala qué gráfico corresponde dibujar.

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1. Haz el recuento de cada respuesta; la suma de frecuencias debe ser igual a n:
  
  $f_{\mathrm{car}}=9,\quad f_{\mathrm{bus}}=5,\quad f_{\mathrm{walk}}=4,\quad f_{\mathrm{bike}}=2,\qquad 9+5+4+2=20$
2. Divide cada recuento entre n = 20:
  
  $\frac{9}{20}=0.45,\qquad\frac{5}{20}=0.25,\qquad\frac{4}{20}=0.20,\qquad\frac{2}{20}=0.10$
3. El medio de transporte es una variable cualitativa, por lo que el gráfico adecuado es un diagrama de barras: una barra por categoría, con separación entre ellas y ordenadas del modo que resulte más claro.
Respuesta

Coche 9 (45 %), autobús 5 (25 %), a pie 4 (20 %), bici 2 (10 %). La moda es coche. Corresponde un diagrama de barras.

$\mathrm{mode}=\mathrm{car},\qquad\frac{f}{n}=45\%$
Interpretar un diagrama de puntos 2 pasos
El diagrama de puntos de los primeros 25 tiempos de espera del Old Faithful muestra estos valores en minutos: 47, 47, 51, 51, 52, 52, 54, 54, 55, 62, 62, 69, 74, 74, 78, 78, 79, 79, 83, 84, 84, 85, 85, 85, 88. ¿Qué porcentaje de esperas superó los 80 minutos y dónde se concentran los datos?

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1. Cuenta los puntos a la derecha de 80: 83, 84, 84, 85, 85, 85 y 88.
  
  $\frac{7}{25}=0.28$
2. Observa la distribución: los puntos se agrupan entre 47 y 55 y entre 74 y 88, con solo 62, 62 y 69 en el tramo intermedio.
Respuesta

7 de las 25 esperas, es decir, un 28 %, superaron los 80 minutos. Se aprecian dos agrupaciones claras, de 47 a 55 y de 74 a 88, con tres esperas en medio.

$\frac{7}{25}=28\%$
Diagrama de tallo y hojas y lectura de cuartiles 3 pasos
Construye un diagrama de tallo y hojas con esas mismas 25 esperas y utilízalo para hallar la mediana y los cuartiles.

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1. Los tallos son las cifras de las decenas (del 4 al 8) y las hojas son las unidades, ordenadas de menor a mayor:
  
  $\begin{array}{r|l}4&7\,7\\5&1\,1\,2\,2\,4\,4\,5\\6&2\,2\,9\\7&4\,4\,8\,8\,9\,9\\8&3\,4\,4\,5\,5\,5\,8\end{array}$
2. Al ser n = 25, la mediana es la hoja número 13 empezando por arriba:
  
  $M=x_{(13)}=74$
3. Excluye la mediana. La mitad inferior reúne los primeros 12 valores, de modo que Q₁ es la media del 6.º y el 7.º; la mitad superior contiene los últimos 12, por lo que Q₃ es la media del 19.º y el 20.º:
  
  $Q_1=\frac{x_{(6)}+x_{(7)}}{2}=\frac{52+54}{2}=53,\qquad Q_3=\frac{x_{(19)}+x_{(20)}}{2}=\frac{83+84}{2}=83.5$
Respuesta

M = 74 minutos, Q₁ = 53 y Q₃ = 83,5.

$M=74,\qquad Q_1=53,\qquad Q_3=83.5$
El histograma y el intervalo que contiene la mediana 3 pasos
Agrupa esas 25 esperas en intervalos de 10 minutos a partir de 40. Indica la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada de cada clase, y señala en cuál se encuentra la mediana.

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1. Cuenta los datos de los intervalos [40, 50), [50, 60), etcétera; un valor situado justo en el límite, como 50, pertenece al intervalo de la derecha:
  
  $f=2,\ 7,\ 3,\ 6,\ 7,\qquad 2+7+3+6+7=25$
2. Divide entre 25 y calcula el total acumulado:
  
  $\frac{f}{25}=0.08,\ 0.28,\ 0.12,\ 0.24,\ 0.28;\qquad\sum\frac{f}{25}=0.08,\ 0.36,\ 0.48,\ 0.72,\ 1$
3. La mediana es el dato 13.º. El recuento acumulado llega a 12 al terminar [60, 70) y sube a 18 al final de [70, 80), de modo que el 13.º valor cae en [70, 80).
  
  $2+7+3=12<13\le 2+7+3+6=18$
Respuesta

Frecuencias relativas: 8 %, 28 %, 12 %, 24 %, 28 %; acumuladas: 8 %, 36 %, 48 %, 72 %, 100 %. La mediana se encuentra en [70, 80).

$M\in[70,\ 80)$
Barreras, valores atípicos y bigotes 3 pasos
En las 66 mediciones de la luz hechas por Newcomb, Q₁ = 24, M = 27 y Q₃ = 31. Los valores más pequeños son −44, −2, 16 y 16, y los mayores son 37, 39 y 40. Calcula las barreras y los valores atípicos, e indica dónde terminan los bigotes del diagrama de caja.

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1. Calcula el rango intercuartílico y las barreras a 1,5 IQR de la caja:
  
  $\mathrm{IQR}=31-24=7,\qquad 24-1.5\times7=13.5,\qquad 31+1.5\times7=41.5$
2. Cualquier dato inferior a 13,5 o superior a 41,5 es un valor atípico. Como −44 y −2 quedan por debajo de 13,5 y ningún valor alcanza 41,5:
  
  $-44<13.5,\qquad -2<13.5,\qquad 40<41.5$
3. Cada bigote se prolonga hasta el valor no atípico más extremo: 16 por abajo y 40 por arriba. Los valores −44 y −2 se representan como puntos aislados.
Respuesta

Barreras en 13,5 y 41,5; valores atípicos: −44 y −2. La caja va de 24 a 31 con la mediana en 27, y los bigotes abarcan de 16 a 40.

$16,\ 24,\ 27,\ 31,\ 40;\qquad -44,\ -2$
Lo que un diagrama de caja no puede mostrar 2 pasos
La Clase A obtuvo 40, 48, 50, 51, 53, 57, 58, 59, 60, 62, 78, 80, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 92, 100, y la Clase B obtuvo 40, 43, 47, 50, 54, 56, 59, 62, 66, 69, 71, 74, 78, 81, 84, 86, 90, 94, 97, 100. Compara sus diagramas de caja y luego sus histogramas con intervalos de 10 puntos de amplitud.

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1. Al ser n = 20, la mediana es la media de los datos 10.º y 11.º. Cada mitad tiene 10 valores, de modo que Q₁ es la media del 5.º y el 6.º, y Q₃ la media del 15.º y el 16.º:
  
  $A:\ \frac{53+57}{2}=55,\ \frac{62+78}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85\qquad B:\ \frac{54+56}{2}=55,\ \frac{69+71}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85$
2. Ambas clases van de 40 a 100, por lo que sus diagramas de caja son idénticos. Los histogramas, desglosados intervalo a intervalo a partir de [40, 50), revelan la diferencia:
  
  $A:\ 2,\ 6,\ 2,\ 1,\ 7,\ 1,\ 1\qquad B:\ 3,\ 4,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 1$
Respuesta

El mismo diagrama de caja, 40, 55, 70, 85, 100, para dos distribuciones totalmente distintas. La Clase A forma dos agrupaciones y nadie puntuó entre 62 y 78: el diagrama de puntos y el de tallo y hojas reflejan ese hueco al detalle, el histograma muestra los dos grupos y la caja no delata nada. La Clase B se distribuye de manera uniforme.

$40,\ 55,\ 70,\ 85,\ 100$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Halla el resumen de cinco números de 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 31, 47 y determina si 47 es un valor atípico.

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12, 15, 20, 28, 47. La barrera superior está en 47,5, por lo que 47 no es un valor atípico.

$12,\ 15,\ 20,\ 28,\ 47;\qquad 28+1.5\times13=47.5>47$
De las 2.201 personas a bordo del Titanic, 885 eran de la tripulación. ¿Cuál es su frecuencia relativa y qué gráfico corresponde a la variable «clase»?

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885/2.201 ≈ 40,2 %; un diagrama de barras.

$\frac{885}{2201}\approx40.2\%$
En un diagrama de tallo y hojas con unidad de hoja 0,1, ¿qué valores representan 3 | 4 y −0 | 2?

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3,4 y −0,2

$3.4,\qquad -0.2$
Los 272 tiempos del Old Faithful, agrupados en intervalos de 5 minutos desde 40, registran 1, 20, 32 y 24 observaciones en sus cuatro primeras clases. ¿Qué proporción de esperas duró menos de 60 minutos?

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77/272 ≈ 28,3 %

$\frac{1+20+32+24}{272}=\frac{77}{272}\approx28.3\%$
¿En cuáles de estos gráficos (diagrama de puntos, diagrama de tallo y hojas, histograma y diagrama de caja) puedes recuperar cada dato individual?

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En el de puntos y, con la precisión de su unidad de hoja, en el de tallo y hojas.
Un diagrama de caja tiene Q₁ = 30 y Q₃ = 50. ¿Es 82 un valor atípico? ¿Y el 0?

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82 sí lo es (la barrera superior es 80); el 0 no lo es, pues la barrera inferior está en 0 y el 0 no queda por debajo.

$50+1.5\times20=80<82,\qquad 30-1.5\times20=0$

El Old Faithful tiene dos jorobas a 5 minutos y una a 20

Pulsa Los 272, cada 5 minutos: los tiempos de espera se acumulan en torno a los 50 minutos y a los 80, dos jorobas separadas por un valle. Imagina qué ocurrirá con intervalos cuatro veces más anchos y pulsa Los 272, cada 20 minutos. Las barras marcan 77, 103 y 92: una sola joroba que no desaparece por mucho que desplaces el inicio del primer intervalo. El géiser no ha cambiado en absoluto de una imagen a otra. Si reduces la amplitud a 2 minutos, al histograma le brotan ocho picos, mero ruido estadístico en su mayor parte. La silueta de un histograma depende en parte de quien lo dibuja; antes de asegurar que una distribución es bimodal, examínala con distintas amplitudes. En el diagrama de puntos superior no hay ninguna amplitud que decidir: muestra las dos concentraciones diga lo que diga el control deslizante.

La Clase A y la Clase B dibujan la misma caja

Pulsa Clase A, luego Clase B, y no pierdas de vista el diagrama de caja: ni se inmuta. Ambas clases comparten el resumen de cinco números 40, 55, 70, 85, 100, y una caja sin valores atípicos se dibuja a partir de esos cinco números y nada más. El diagrama de puntos, en cambio, las distingue al instante. En la Clase A nadie obtuvo entre 62 y 78 puntos, de modo que el grupo se divide en dos; en la Clase B, las notas se reparten de manera uniforme de 40 a 100. Cualquier conjunto con esos mismos cinco números producirá una caja idéntica. Por eso un diagrama de caja puede esconder un hueco enorme, una segunda joroba o incluso cuántos datos hay en total. Es una herramienta magnífica para comparar varios grupos frente a frente, pero engañosa si pretendes averiguar la forma de una sola distribución.

Un diagrama de barras no tiene forma

Pulsa Titanic por clases: 325 personas en primera clase, 285 en segunda, 706 en tercera y 885 en la tripulación. Marca «Ordenar barras por frecuencia» y las barras caerán de izquierda a derecha como en un histograma con asimetría positiva; desmárcala y verás cómo bajan para luego subir. El orden lo decides tú: la tripulación no es más ni menos que la primera clase, así que hablar de simetría o asimetría carece aquí de sentido. Las barras de un histograma no se pueden desordenar, pues cada una ocupa un lugar fijo en la recta numérica; por eso mismo se tocan, mientras que las de un diagrama de barras se dibujan separadas. Describe las variables categóricas mediante sus frecuencias y porcentajes (la tripulación supone el 40,2 % de las 2.201 personas a bordo) y reserva el concepto de forma para los números.

Ruta de aprendizaje

Estadística: de los datos a las proporciones

Referencias (6)

The stem-and-leaf display, the box-and-whisker plot, and the fences 1.5 times the spread between the hinges beyond the box, which the outlier rule on this page follows: Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07616-0.
Why quartiles differ between calculators and packages: nine sample-quantile definitions in use, compared. This page uses the medians of the two halves: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
The rule behind the page's starting bin width, about 1 + log₂ n classes: Sturges, H. A. (1926). The choice of a class interval. Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65–66.
Old Faithful's 272 waiting times between eruptions, the data set behind the first three presets and insight block 1; R's documentation gives the source as Härdle (1991): R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Simon Newcomb's 66 measurements of the passage time of light (1882), as listed in Table 5; the Newcomb preset and solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.
The Titanic preset: 325 first-class, 285 second-class and 706 third-class passengers and 885 crew, 2,201 people, from the British Board of Trade inquiry: Dawson, R. J. MacG. (1995). The “unusual episode” data revisited. Journal of Statistics Education, 3(3).

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Representación de datos

De dónde viene la fórmula

Problemas complementarios, solo con la respuesta

El Old Faithful tiene dos jorobas a 5 minutos y una a 20 🖖

La Clase A y la Clase B dibujan la misma caja 🖖

Un diagrama de barras no tiene forma 🖖

El Old Faithful tiene dos jorobas a 5 minutos y una a 20

La Clase A y la Clase B dibujan la misma caja

Un diagrama de barras no tiene forma