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Inferencia para dos proporciones

Escribe los éxitos y el tamaño muestral de cada grupo; después elige la hipótesis alternativa, el nivel de confianza y α. El gráfico superior muestra la distribución muestral de p̂₁ − p̂₂ si p₁ = p₂, con el valor p sombreado; debajo, en la misma escala, verás el intervalo de confianza para p₁ − p₂.

Desviación típica de p̂₁ − p̂₂ σp^1−p^2=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}
Intervalo de confianza (p^1−p^2)±z∗p^1(1−p^1)n1+p^2(1−p^2)n2(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}
Estadístico de prueba combinado z=p^1−p^2p^c(1−p^c)(1n1+1n2),p^c=x1+x2n1+n2z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}},\quad\hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}
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Lección

La teoría — Inferencia para dos proporciones

La inferencia para dos proporciones compara p₁ y p₂, las tasas de éxito de dos poblaciones o dos tratamientos, a partir de la diferencia p̂₁ − p̂₂: un intervalo de confianza estima p₁ − p₂ y una prueba de significación evalúa H₀: p₁ = p₂.

De dónde viene la fórmula

  1. La distribución muestral de p̂₁ − p̂₂. Al extraer muestras independientes de forma repetida, la media de p̂₁ − p̂₂ es p₁ − p₂. Como las muestras son independientes, sus varianzas se suman: por eso las desviaciones típicas se combinan dentro de una raíz cuadrada y jamás mediante una suma directa. La forma se aproxima a una normal cuando n₁p₁, n₁(1 − p₁), n₂p₂ y n₂(1 − p₂) valen al menos 10 cada uno.
    μp^1−p^2=p1−p2,σp^1−p^22=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2\mu_{\hat p_1-\hat p_2}=p_1-p_2,\qquad\sigma^2_{\hat p_1-\hat p_2}=\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}
  2. Comprueba las condiciones. Aleatoriedad: dos muestras aleatorias independientes, o dos grupos formados mediante asignación aleatoria en un experimento. 10 %: al muestrear sin reemplazo, cada muestra debe ser a lo sumo una décima parte de su población; con asignación aleatoria no hay una población de la que extraer muestras y la condición no aplica. Conteos grandes: para un intervalo, al menos 10 éxitos y 10 fracasos en cada grupo; para una prueba, los cuatro conteos esperados calculados con la proporción combinada.
    n1≤0.1 N1,n2≤0.1 N2xi≥10,ni−xi≥10nip^c≥10,ni(1−p^c)≥10\begin{aligned}&n_1\le0.1\,N_1,\quad n_2\le0.1\,N_2\\&x_i\ge10,\quad n_i-x_i\ge10\\&n_i\hat p_c\ge10,\quad n_i(1-\hat p_c)\ge10\end{aligned}
  3. El intervalo. (p̂₁ − p̂₂) ± z* por el error estándar, usando la proporción p̂ propia de cada grupo, ya que el intervalo no asume nada sobre p₁ y p₂. Si contiene el 0, la ausencia de diferencia es un valor plausible; si queda por completo por encima o por debajo de 0, aporta evidencia convincente de una diferencia en esa dirección.
    (p^1−p^2)±z∗ SE,z∗=1.645, 1.96, 2.576(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\,SE,\qquad z^*=1.645,\ 1.96,\ 2.576
  4. La prueba. Plantea H₀: p₁ = p₂ y la hipótesis alternativa. Si H₀ es cierta, ambas muestras estiman una misma proporción; por tanto, la prueba las combina en p̂c y calcula la desviación típica de p̂₁ − p̂₂ usando solo p̂c. El estadístico z mide la diferencia observada en unidades de esa desviación típica, y el valor p es la probabilidad, de ser cierta H₀, de obtener una diferencia al menos tan acusada en la dirección de Hₐ.
    H0: p1=p2 ⇒ p^c=x1+x2n1+n2,σ0=p^c(1−p^c)(1n1+1n2)H_0:\ p_1=p_2\ \Rightarrow\ \hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad\sigma_0=\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}
  5. Concluye y delimita el alcance del diseño. Compara el valor p con α y redacta la conclusión en contexto, igual que con una sola proporción. Considera después el alcance: la asignación aleatoria te permite concluir que el tratamiento causó la diferencia; el muestreo aleatorio te permite generalizar a las poblaciones estudiadas. Dos muestras aleatorias en un estudio observacional pueden probar que dos poblaciones difieren, pero no pueden explicar por qué.
Supone
El modelo normal aproxima dos distribuciones binomiales. Si no se cumple la condición de conteos grandes, la herramienta muestra el valor p exacto de Fisher: toma como fijo el total de éxitos y calcula con qué frecuencia una partición al azar de los n₁ + n₂ sujetos asignaría al menos x₁ de ellos al grupo 1. Su versión bilateral duplica la cola menor.

Problemas resueltos al detalle

  1. La distribución muestral de p̂₁ − p̂₂ 3 pasos

    En una gran ciudad, el 30 % de las personas adultas y el 20 % de los adolescentes afirman leer el periódico. Se eligen muestras aleatorias independientes de 100 adultos y 150 adolescentes. Describe la distribución muestral de p̂₁ − p̂₂ y calcula la probabilidad de que la proporción muestral de los adultos resulte menor que la de los adolescentes.

    Abre este problema en la herramienta

    1. El centro y la dispersión se deducen a partir de ambas proporciones y de los dos tamaños muestrales:

      μp^1−p^2=0.3−0.2=0.1σp^1−p^2=0.3 (0.7)100+0.2 (0.8)150≈0.0563\begin{aligned}\mu_{\hat p_1-\hat p_2}&=0.3-0.2=0.1\\\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{100}+\frac{0.2\,(0.8)}{150}}\\&\approx0.0563\end{aligned}

    2. Su forma es aproximadamente normal, ya que los cuatro conteos esperados alcanzan al menos 10:

      100 (0.3)=30,100 (0.7)=70150 (0.2)=30,150 (0.8)=120\begin{aligned}&100\,(0.3)=30,\quad100\,(0.7)=70\\&150\,(0.2)=30,\quad150\,(0.8)=120\end{aligned}

    3. La proporción de los adultos es menor cuando p̂₁ − p̂₂ toma un valor por debajo de 0:

      P(p^1−p^2<0)=P ⁣(Z<0−0.10.0563)=P(Z<−1.78)≈0.038\begin{aligned}P(\hat p_1-\hat p_2<0)&=P\!\left(Z<\frac{0-0.1}{0.0563}\right)\\&=P(Z<-1.78)\approx0.038\end{aligned}

    Respuesta

    Aproximadamente normal, con media 0,1 y desviación típica 0,0563. La probabilidad de que la proporción muestral de los adultos sea la menor es de aproximadamente 0,038.

    p^1−p^2 ∼˙ N(0.1, 0.0563)P(p^1<p^2)≈0.038\begin{aligned}&\hat p_1-\hat p_2\ \dot\sim\ N(0.1,\ 0.0563)\\&P(\hat p_1<\hat p_2)\approx0.038\end{aligned}
  2. Construcción de un intervalo de confianza 3 pasos

    En una muestra aleatoria de 300 adultos de una ciudad, 168 apoyan prohibir los automóviles en el centro urbano; en una muestra aleatoria de 350 adultos de una segunda ciudad, lo hacen 140. Construye e interpreta un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia entre las proporciones de ambas ciudades.

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    1. Condiciones: dos muestras aleatorias independientes; una ciudad tiene muchísimos más de los 3.000 y 3.500 adultos necesarios para que cada muestra no supere la décima parte de su población; 168, 132, 140 y 210 son todos iguales o superiores a 10. Las dos proporciones:

      p^1=168300=0.56,p^2=140350=0.4\hat p_1=\frac{168}{300}=0.56,\qquad\hat p_2=\frac{140}{350}=0.4

    2. El error estándar, calculado con la proporción propia de cada ciudad:

      SE=0.56 (0.44)300+0.4 (0.6)350≈0.0388\begin{aligned}SE&=\sqrt{\frac{0.56\,(0.44)}{300}+\frac{0.4\,(0.6)}{350}}\\&\approx0.0388\end{aligned}

    3. Multiplica por z* = 1,96, luego suma y resta:

      0.16±1.96 (0.0388)=0.16±0.0760.16\pm1.96\,(0.0388)=0.16\pm0.076

    Respuesta

    (0,084; 0,236). Tenemos una confianza del 95 % de que la proporción de adultos partidarios de la prohibición es entre 8,4 y 23,6 puntos porcentuales mayor en la primera ciudad que en la segunda.

    (0.084, 0.236)(0.084,\ 0.236)
  3. Evaluar una afirmación mediante un intervalo 2 pasos

    En sendas muestras aleatorias de clientes, devolvieron un artículo 45 de 150 en la tienda A y 52 de 200 en la tienda B. La gerencia afirma que las tasas de devolución de ambas tiendas son distintas. Evalúa esta afirmación con un intervalo de confianza al 95 %.

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    1. La diferencia y su error estándar:

      p^1−p^2=0.3−0.26=0.04SE=0.3 (0.7)150+0.26 (0.74)200≈0.0486\begin{aligned}\hat p_1-\hat p_2&=0.3-0.26=0.04\\SE&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{150}+\frac{0.26\,(0.74)}{200}}\\&\approx0.0486\end{aligned}

    2. El intervalo y la posición del 0:

      0.04±1.96 (0.0486)=0.04±0.095=(−0.055, 0.135)\begin{aligned}0.04\pm1.96\,(0.0486)&=0.04\pm0.095\\&=(-0.055,\ 0.135)\end{aligned}

    Respuesta

    El intervalo (−0,055; 0,135) contiene el 0, por lo que una diferencia nula resulta verosímil: los datos no aportan evidencia convincente de que las tasas de devolución difieran.

    0∈(−0.055, 0.135)0\in(-0.055,\ 0.135)
  4. Prueba bilateral en un experimento 3 pasos

    Se dividió al azar a 200 personas voluntarias en dos grupos de 100. A uno de los grupos se le envió un recordatorio por mensaje; 62 de ellas se vacunaron contra la gripe, frente a 45 del otro grupo. Contrasta al nivel del 5 % si el aviso marca alguna diferencia, e indica qué permite concluir el diseño y a qué tipo de error se expone.

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    1. Hipótesis: H₀: p₁ = p₂, Hₐ: p₁ ≠ p₂. Condiciones: asignación aleatoria; los conteos esperados de 53,5 y 46,5 en cada grupo son de al menos 10. Si H₀ es cierta, ambos grupos comparten una sola proporción:

      p^c=62+45100+100=0.535100 (0.535)=53.5100 (0.465)=46.5\begin{aligned}&\hat p_c=\frac{62+45}{100+100}=0.535\\&100\,(0.535)=53.5\\&100\,(0.465)=46.5\end{aligned}

    2. El estadístico de prueba, con la desviación típica obtenida a partir de la proporción combinada:

      z=0.62−0.450.535 (0.465)(1100+1100)=0.170.0705≈2.41\begin{aligned}z&=\frac{0.62-0.45}{\sqrt{0.535\,(0.465)\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{100}\right)}}\\&=\frac{0.17}{0.0705}\approx2.41\end{aligned}

    3. El valor p bilateral:

      P=2 P(Z≥2.41)≈0.016P=2\,P(Z\ge2.41)\approx0.016

    Respuesta

    p = 0,016 < 0,05; por tanto, se rechaza H₀: existe evidencia convincente de que el recordatorio modifica la proporción de personas que se vacunan contra la gripe. Como los grupos se formaron por asignación aleatoria, el recordatorio causó la diferencia; al tratarse de voluntarios, la conclusión solo es extensible a personas con un perfil semejante. Si en realidad el aviso no influye, esta conclusión constituye un error de tipo I.

    P≈0.016<0.05P\approx0.016<0.05
  5. Prueba unilateral con datos observacionales 3 pasos

    En un distrito escolar hay 2.600 estudiantes que tocan un instrumento musical y 7.400 que no. Se eligen muestras aleatorias de 200 músicos y 180 no músicos. Están en el cuadro de honor 26 del primer grupo y 18 del segundo. ¿Existe evidencia convincente, con α = 0,05, de que una mayor proporción de estudiantes que tocan un instrumento está en el cuadro de honor?

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    1. Hipótesis: H₀: p₁ = p₂, Hₐ: p₁ > p₂. Condiciones: dos muestras aleatorias independientes; 200 es menos de la décima parte de 2.600 y 180 menos de la décima parte de 7.400; conteos esperados: 23,2, 176,8, 20,8 y 159,2. La proporción combinada:

      p^c=26+18200+180≈0.1158\hat p_c=\frac{26+18}{200+180}\approx0.1158

    2. El estadístico de prueba:

      z=0.13−0.10.1158 (0.8842)(1200+1180)=0.030.0329≈0.91\begin{aligned}z&=\frac{0.13-0.1}{\sqrt{0.1158\,(0.8842)\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{180}\right)}}\\&=\frac{0.03}{0.0329}\approx0.91\end{aligned}

    3. El valor p unilateral:

      P=P(Z≥0.91)≈0.181P=P(Z\ge0.91)\approx0.181

    Respuesta

    p = 0,181 ≥ 0,05; por tanto, no se rechaza H₀: no hay evidencia convincente de que los estudiantes que tocan un instrumento figuren más a menudo en el cuadro de honor. Ni siquiera un valor p muy pequeño habría demostrado que tocar un instrumento mejora las calificaciones: se trata de dos muestras observadas, no de grupos asignados al azar.

    P≈0.181≥0.05P\approx0.181\ge0.05
  6. Cuando fallan los conteos grandes: la prueba exacta de Fisher 2 pasos

    En un estudio piloto, se asignó al azar a 20 pacientes: 10 a un fármaco nuevo y 10 a un placebo. Mejoraron 5 de los tratados con el fármaco y 1 de los asignados al placebo. ¿Resulta adecuada la prueba z? Halla el valor p exacto para Hₐ: p₁ > p₂.

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    1. No se cumple la condición de conteos grandes para la prueba:

      p^c=5+120=0.3,10 (0.3)=3<10\hat p_c=\frac{5+1}{20}=0.3,\qquad10\,(0.3)=3<10

    2. Si el fármaco no hiciera nada, los 6 pacientes que mejoraron lo habrían hecho de todos modos, y solo el azar de la asignación decidió cuántos de ellos terminaron en el grupo del fármaco. La probabilidad de que colocara a 5 o 6 de ellos allí:

      P(X1≥5)=(105)(101)+(106)(100)(206)=2520+21038760≈0.070\begin{aligned}P(X_1\ge5)&=\frac{\binom{10}{5}\binom{10}{1}+\binom{10}{6}\binom{10}{0}}{\binom{20}{6}}\\&=\frac{2520+210}{38760}\approx0.070\end{aligned}

    Respuesta

    No: los conteos esperados de cada grupo son 3 y 7. El valor p exacto es 0,070, frente al 0,025 obtenido con la curva normal, por lo que el estudio piloto no aporta evidencia convincente al nivel del 5 %.

    Pexact≈0.070,Pnormal≈0.025P_{\mathrm{exact}}\approx0.070,\quad P_{\mathrm{normal}}\approx0.025

Problemas complementarios, solo con la respuesta

  1. Con los datos de las dos ciudades (168 de 300 y 140 de 350), calcula un intervalo de confianza al 90 % para la diferencia de proporciones.

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    (0,096; 0,224)

    0.16±1.645 (0.0388)=0.16±0.064=(0.096, 0.224)\begin{aligned}0.16\pm1.645\,(0.0388)&=0.16\pm0.064\\&=(0.096,\ 0.224)\end{aligned}

  2. Repite la prueba de la vacuna contra la gripe (62 de 100 frente a 45 de 100) con α = 0,01. ¿Cuál es la decisión y a qué tipo de error nos expondríamos?

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    p = 0,016 ≥ 0,01: no se rechaza H₀. Si el recordatorio de verdad produce un efecto, este fallo es un error de tipo II.

    P≈0.016≥0.01P\approx0.016\ge0.01

  3. ¿Por qué la prueba combina ambas muestras mientras que el intervalo no lo hace?

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    La prueba se calcula asumiendo que H₀ es cierta; y bajo H₀ ambas muestras estiman una misma proporción, de modo que reunirlas proporciona la mejor estimación posible. El intervalo estima p₁ − p₂ sin suponer que sean iguales, por lo que cada grupo conserva su propia p̂.

  4. A partir de z ≈ (a − b)/√(a + b), aproxima el valor de z para los 8 casos frente a 162 del ensayo de la vacuna.

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    z ≈ −11,8

    z≈8−162170≈−11.8z\approx\frac{8-162}{\sqrt{170}}\approx-11.8

  5. Un intervalo de confianza al 95 % para p₁ − p₂ es (−0,12; −0,03). ¿Qué revela sobre ambas proporciones?

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    El 0 no está dentro, de modo que hay evidencia convincente de que p₁ es menor que p₂, entre 3 y 12 puntos porcentuales por debajo.

    0∉(−0.12, −0.03)0\notin(-0.12,\ -0.03)

  6. Dos muestras aleatorias de 400 fumadores y 400 no fumadores muestran una proporción de personas con tos mucho mayor entre los fumadores, con p < 0,0001. ¿Demuestra este estudio que fumar provoca tos?

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    Por sí solo no: es un estudio observacional, por lo que solo muestra que las dos poblaciones difieren, y una variable de confusión podría explicar la diferencia. Solo la asignación aleatoria permitiría demostrar causalidad, y obligar a fumar a un grupo de personas sería contrario a la ética.

  7. Para 40 de 100 frente a 27 de 100, el estadístico chi-cuadrado de la tabla de 2 × 2 es 3,793. Deduce el estadístico z de la prueba para dos proporciones sin usar su fórmula.

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    z = √3,793 ≈ 1,95, con signo positivo porque p̂₁ = 0,4 es la proporción mayor

    z=3.793≈1.95z=\sqrt{3.793}\approx1.95

Con grupos iguales, solo el intervalo puede ser el más audaz

Pulsa 18 de 100 frente a 40 de 400. La prueba rechaza p₁ = p₂ con p = 0,0255, pero el intervalo al 95 % para p₁ − p₂, de −0,0008 a 0,1608, contiene el 0. Ahora pulsa 40 de 100 frente a 27 de 100: el intervalo, de 0,0004 a 0,2596, deja fuera el 0, y la prueba mantiene H₀ con p = 0,0515. La prueba exacta de Fisher coincide con la prueba z en ambos casos (0,0464 y 0,0718), de modo que la curva normal no es lo que falla aquí. Ambos procedimientos miden la misma diferencia con errores estándar distintos. La prueba asume H₀, así que combina las dos muestras en una sola proporción, 0,116 en el primer caso; el intervalo no presupone nada y permite que cada grupo conserve la suya. En el primer caso, el 0,18 del grupo pequeño soporta casi toda la varianza sin combinar, y al combinarlo se sustituye por una proporción rebajada por los 400. Cuando los dos grupos tienen el mismo tamaño, la varianza combinada supera a la no combinada en exactamente (p̂₁ − p̂₂)²/(2n), por lo que la regla de medir de la prueba nunca es la más corta: el intervalo puede dejar fuera el 0 mientras la prueba conserva H₀, y para que ocurra lo contrario hace falta que los grupos tengan tamaños distintos.

z² coincide con el estadístico chi-cuadrado de la misma tabla

Escribe los conteos de 18 de 100 frente a 40 de 400 como una tabla de 2 × 2 de éxitos y fracasos: 18 y 82, 40 y 360. Su estadístico chi-cuadrado, la suma de (O − E)²/E sin corrección por continuidad, es 4,993, exactamente igual que z² (con z = 2,2345 antes de redondear). Esto ocurre con cualquier tabla, y se debe únicamente a que la prueba combina los datos: una prueba de chi-cuadrado calcula sus conteos esperados a partir de la tasa global de éxito, que es p̂c. En cambio, el valor z con el error estándar del intervalo, 0,08/0,0412 = 1,94, da al cuadrado 3,76 y no coincide con nada. Los valores p también son idénticos, 0,0255 en ambos casos, porque una variable chi-cuadrado con un grado de libertad es el cuadrado de una normal tipificada. Elevar al cuadrado elimina el signo, motivo por el cual la prueba de chi-cuadrado en una tabla de 2 × 2 solo responde a la hipótesis bilateral. Si introduces estos cuatro conteos en la herramienta de chi-cuadrado como una tabla de 2 filas y 2 columnas, verás aparecer ese mismo 4,993.

La evidencia del ensayo de la vacuna fueron 170 casos, no 43.448 personas

Pulsa Ensayo de la vacuna, 2020. En el ensayo de la vacuna de Pfizer-BioNTech, 21.720 personas recibieron la vacuna y 21.728 un placebo; los investigadores observaron 8 casos de covid-19 en el primer grupo frente a 162 en el segundo (Polack y colaboradores, 2020). La diferencia de proporciones no llega a un punto porcentual, y z = −11,83. Con dos grupos prácticamente del mismo tamaño, el estadístico de prueba puede reescribirse de forma exacta como z = (a − b)/√((a + b)(1 − p̂c)), donde a y b son los dos conteos de casos; cuando el desenlace es poco frecuente, ese último factor está muy cerca de 1: z ≈ (8 − 162)/√170 = −11,8. El número de personas ha desaparecido por completo de la fórmula. Si hubiese habido diez veces más voluntarios con esos mismos 8 y 162 casos, la z resultante sería casi idéntica; esos mismos voluntarios con 85 casos en cada grupo darían z = 0. (El estudio calculó los casos entre los participantes sin indicios de infección previa, un total algo menor que estas cifras, y por ese mismo motivo z apenas varía). Los ensayos sobre sucesos infrecuentes exigen decenas de miles de personas sencillamente porque esa es la cantidad necesaria para observar suficientes casos.

Ruta de aprendizaje

Estadística: de los datos a las proporciones

Referencias (2)

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.