Inferencia para una proporción

Escribe el número de éxitos x, el tamaño de la muestra n y la proporción propuesta p₀; luego elige la hipótesis alternativa, el nivel de confianza y α. La gráfica superior representa la distribución muestral de p̂ si p₀ fuera cierta, con el valor p sombreado; debajo, en la misma escala, tienes el intervalo de confianza.

Desviación estándar de p̂	$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
Intervalo de confianza	$\hat p\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$
Estadístico de contraste	$z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$

Ejemplo resuelto — Inferencia para una proporción

Proporción muestral p̂	0,17
Estadístico de contraste z	2,33
Valor p	0,0196
Valor p binomial exacto	0,0412
Valor crítico z* para 95%	1,96
Error estándar de p̂	0,0376
Margen de error	0,0736
Intervalo de confianza del 95%	(0,0964; 0,2436)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Inferencia para una proporción

La inferencia para una proporción utiliza la proporción muestral p̂ = x/n para estimar la proporción de la población p mediante un intervalo de confianza, o para evaluar un valor propuesto p₀ mediante una prueba de significación.

De dónde viene la fórmula

La distribución muestral de p̂. Al tomar repetidas muestras aleatorias, p̂ tiene media p y desviación estándar √(p(1 − p)/n), y su distribución es prácticamente normal siempre que tanto np como n(1 − p) alcancen al menos 10.
$\mu_{\hat p}=p,\qquad\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
Comprueba las condiciones. Aleatoriedad: una muestra aleatoria o asignación al azar en un experimento. Condición del 10%: al extraer sin reemplazo, n representa a lo sumo la décima parte de la población. Conteos grandes: para un intervalo, al menos 10 éxitos y 10 fracasos; para una prueba, n p₀ y n(1 − p₀) deben ser como mínimo 10.
$\begin{aligned}&n\le0.1\,N\\&n\hat p\ge10,\quad n(1-\hat p)\ge10\\&np_0\ge10,\quad n(1-p_0)\ge10\end{aligned}$
El intervalo. p̂ ± z* multiplicado por el error estándar, calculado con p̂ porque p es desconocida. El valor z* proviene del nivel de confianza: 1,645 para el 90%, 1,96 para el 95% y 2,576 para el 99%. Interprétalo en contexto: tenemos una confianza del 95% de que el intervalo contenga la proporción poblacional, donde ese 95% indica la frecuencia con la que el método acierta al repetir el muestreo.
$\hat p\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\qquad z^*=1.645,\ 1.96,\ 2.576$
La prueba. Plantea H₀: p = p₀ y la hipótesis alternativa. Asume que H₀ es cierta, de modo que la desviación estándar de p̂ se calcula a partir de p₀. El estadístico z mide a cuántas desviaciones estándar queda p̂ de p₀, y el valor p es la probabilidad, suponiendo cierta H₀, de obtener una p̂ al menos tan extrema en el sentido que fija Hₐ.
$H_0:\ p=p_0\ \Rightarrow\ \sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}},\qquad z=\frac{\hat p-p_0}{\sigma_{\hat p}}$
Concluye en su contexto. Si el valor p es menor que α, rechaza H₀: existen pruebas convincentes a favor de Hₐ. En caso contrario, no rechaces H₀: los datos no aportan pruebas suficientes, lo que no equivale a demostrar que H₀ sea cierta. Rechazar una H₀ verdadera constituye un error de tipo I, y la prueba se construye para que esa probabilidad sea α; como el recuento solo es aproximadamente normal, esa probabilidad solo se acerca a α: con n = 100 y p₀ = 0,1, una prueba al 5% rechaza una H₀ verdadera el 6,4% de las veces. No rechazar una H₀ falsa constituye un error de tipo II.

Supone: El modelo normal no es más que una aproximación al recuento binomial. Cuando no se cumple la condición de conteos grandes, esta página muestra el valor p binomial exacto junto al normal; su versión bilateral duplica la cola más pequeña.

Problemas resueltos al detalle

La distribución muestral de p̂ 2 pasos
Imagina que el 10% del alumnado de un colegio va a pie a clase. Describe la distribución muestral de p̂ para muestras aleatorias de 100 estudiantes.

Abre este problema en la herramienta
1. El centro y la dispersión se calculan a partir de p y n:
  
  $\mu_{\hat p}=p=0.1,\qquad\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{0.1\,(0.9)}{100}}=0.03$
2. Su forma es aproximadamente normal, porque ambos recuentos esperados alcanzan 10:
  
  $np=100\,(0.1)=10\ge10,\qquad n(1-p)=100\,(0.9)=90\ge10$
Respuesta

Aproximadamente normal, con media 0,1 y desviación estándar 0,03.

$\hat p\ \dot\sim\ N(0.1,\ 0.03)$
La condición del 10% 2 pasos
La muestra de 100 estudiantes se extrae sin reemplazo de un colegio de solo 400 alumnos. Comprueba las condiciones para la inferencia sobre la proporción de quienes van a pie.

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1. Los conteos grandes se cumplen, tal como en el primer problema. La condición del 10%, no:
  
  $n=100>0.1\times400=40$
2. Al muestrear sin reemplazo en una población pequeña, p̂ varía menos de lo que afirma la fórmula. El factor de población finita mide en cuánto:
  
  $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{300}{399}}\approx0.867,\qquad0.03\times0.867\approx0.026$
Respuesta

No se cumple la condición del 10% (100 > 40). El valor de 0,03 que da la fórmula sobrestima la dispersión de p̂; corregido para esta población pequeña, queda en torno a 0,026.

$100>40,\qquad\sigma_{\hat p}\approx0.026<0.03$
Construcción de un intervalo de confianza 2 pasos
En una muestra aleatoria de 1.000 de los 300.000 votantes de una ciudad, 520 apoyan a una candidata. Construye e interpreta un intervalo de confianza del 95% para la proporción de votantes de toda la ciudad que la respaldan.

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1. Condiciones: muestra aleatoria; 1.000 es menos de la décima parte de 300.000; 520 éxitos y 480 fracasos. La proporción muestral y su error estándar son:
  
  $\hat p=\frac{520}{1000}=0.52,\qquad SE=\sqrt{\frac{0.52\,(0.48)}{1000}}\approx0.0158$
2. Multiplica por z* = 1,96 y suma y resta:
  
  $0.52\pm1.96\,(0.0158)=0.52\pm0.031$
Respuesta

(0,489, 0,551). Confiamos al 95% en que entre el 48,9% y el 55,1% de los votantes de la ciudad apoyan a la candidata.

$(0.489,\ 0.551)$
Juzgar una afirmación mediante un intervalo 2 pasos
En una muestra aleatoria de 100 estudiantes, 10 van a pie a clase. Un periódico afirma que el 17% del alumnado va a pie. Utiliza un intervalo de confianza del 95% para juzgar esa afirmación.

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1. El intervalo, a partir de 10 éxitos y 90 fracasos:
  
  $\hat p=\frac{10}{100}=0.1,\qquad0.1\pm1.96\sqrt{\frac{0.1\,(0.9)}{100}}=0.1\pm0.059=(0.041,\ 0.159)$
2. Compara el valor afirmado con el intervalo:
  
  $0.17>0.159$
Respuesta

El intervalo (0,041, 0,159) no contiene 0,17, de modo que el 17% no es un valor plausible para la proporción de alumnos que va a pie.

$0.17\notin(0.041,\ 0.159)$
Una prueba de significación bilateral 2 pasos
Un colegio de 1.200 estudiantes asegura que el 10% va a pie a clase; en una muestra aleatoria de 100, lo hacen 17. Contrasta la afirmación al nivel del 5%.

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1. Hipótesis: H₀: p = 0,1, Hₐ: p ≠ 0,1. Condiciones: muestra aleatoria; 100 es menos de la décima parte de 1.200; n p₀ = 10 y n(1 − p₀) = 90. El estadístico z, con la desviación estándar calculada con p₀:
  
  $z=\frac{0.17-0.1}{\sqrt{0.1\,(0.9)/100}}=\frac{0.07}{0.03}\approx2.33$
2. El valor p bilateral:
  
  $P=2\,P(Z\ge2.33)\approx0.020$
Respuesta

p = 0,020 < 0,05; rechaza H₀: existen pruebas convincentes de que la proporción de alumnos que va a pie no es del 10%.

$P\approx0.020<0.05$
Una prueba unilateral donde no se rechaza H₀ 2 pasos
Si 520 de 1.000 votantes elegidos al azar apoyan a la candidata, ¿hay pruebas convincentes de que una mayoría de los votantes de la ciudad la respalda? Utiliza α = 0,05.

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1. Hipótesis: H₀: p = 0,5, Hₐ: p > 0,5. Conteos grandes: 500 y 500. El estadístico de contraste:
  
  $z=\frac{0.52-0.5}{\sqrt{0.5\,(0.5)/1000}}=\frac{0.02}{0.0158}\approx1.265$
2. El valor p unilateral:
  
  $P=P(Z\ge1.265)\approx0.103$
Respuesta

p = 0,103 ≥ 0,05; no rechaces H₀: no hay pruebas convincentes de que exista una mayoría. Tampoco supone una prueba en contra.

$P\approx0.103\ge0.05$
Cuando fallan los conteos grandes y errores en juego 3 pasos
Un proveedor asegura que el 2% de sus piezas son defectuosas. En una muestra aleatoria de 100, hay 5. ¿Es adecuada la prueba z? Halla el valor p exacto para Hₐ: p > 0,02 y explica qué implicarían aquí un error de tipo I y uno de tipo II.

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1. No se cumple la condición de conteos grandes para la prueba:
  
  $np_0=100\,(0.02)=2<10$
2. Utiliza directamente la distribución binomial. Si p = 0,02, el número de defectos X sigue una binomial con n = 100:
  
  $P(X\ge5)=1-\sum_{k=0}^{4}\binom{100}{k}(0.02)^k(0.98)^{100-k}\approx0.051$
3. Un error de tipo I sería concluir que la tasa de defectos supera el 2% cuando no es así; un error de tipo II sería pasar por alto una tasa que realmente está por encima del 2%.
Respuesta

No: n p₀ = 2 < 10. El valor p exacto es 0,051, frente al 0,016 de la curva normal, así que al nivel del 5% la evidencia se queda corta.

$P_{\mathrm{exact}}\approx0.051,\qquad P_{\mathrm{normal}}\approx0.016$
Elección del tamaño de la muestra 2 pasos
¿Qué tamaño debe tener una muestra aleatoria para obtener un intervalo de confianza del 95% con un margen de error de a lo sumo 3 puntos porcentuales, sea cual sea la verdadera proporción?
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1. p̂(1 − p̂) alcanza su máximo en p̂ = 0,5, de modo que planificamos con ese valor:
  
  $n=\left(\frac{z^*}{m}\right)^{2}p^*(1-p^*)=\left(\frac{1.96}{0.03}\right)^{2}(0.5)(0.5)\approx1067.1$
2. Redondea al alza, porque 1.067 daría un margen ligeramente superior a 3 puntos:
  
  $1.96\sqrt{\frac{0.25}{1067}}\approx0.0300016>0.03$
Respuesta

n = 1.068.

$n=1068$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

En una muestra aleatoria de 60 individuos, 45 cumplen cierta condición. Halla un intervalo de confianza del 90% para la proporción poblacional.

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(0,658, 0,842)

$0.75\pm1.645\sqrt{\frac{0.75\,(0.25)}{60}}=0.75\pm0.092=(0.658,\ 0.842)$
Contrasta si la moneda de Kerrich (5.067 caras en 10.000 tiradas) estaba equilibrada, con α = 0,05.

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z = 1,34, p = 0,18: no rechaces H₀; no hay pruebas convincentes de que la moneda estuviera trucada.

$z=\frac{0.5067-0.5}{0.005}=1.34,\qquad P=2\,P(Z\ge1.34)\approx0.18$
Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de caras en los 10.000 lanzamientos de Kerrich.

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(0,497, 0,516), que contiene 0,5

$0.5067\pm1.96\,(0.0050)=(0.497,\ 0.516)$
¿Qué tamaño muestral da un intervalo del 90% con un margen de error de a lo sumo 4 puntos porcentuales, cualquiera que sea la verdadera proporción?

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n = 423

$n=\left(\frac{1.645}{0.04}\right)^{2}(0.25)\approx422.8\ \Rightarrow\ n=423$
Una moneda sale cara 40 veces en 100 lanzamientos. Contrasta H₀: p = 0,5 frente a Hₐ: p < 0,5 con α = 0,05.

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z = −2, p = 0,023: rechaza H₀; hay pruebas convincentes de que la moneda da cara menos de la mitad de las veces.

$z=\frac{0.4-0.5}{0.05}=-2,\qquad P=P(Z\le-2)\approx0.023<0.05$
En la encuesta de 520 de cada 1.000 votantes, ¿qué significa «tener un 95% de confianza»?

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Si tomáramos muchas muestras aleatorias de 1.000 votantes y calculáramos un intervalo para cada una del mismo modo, aproximadamente el 95% de esos intervalos contendría la proporción real. No es la probabilidad de que este intervalo en particular, (0,489, 0,551), la contenga: o bien la contiene, o bien no.
Se realiza una prueba con α = 0,01. Si H₀ es cierta, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que la prueba la rechace y cómo se llama esa equivocación?

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Aproximadamente 0,01 (exactamente 0,01 solo si la distribución muestral fuera estrictamente normal); rechazar una H₀ verdadera es un error de tipo I. Una vez que la prueba ha rechazado H₀, 0,01 no es la probabilidad de que este rechazo concreto sea un error.

$P(\mathrm{reject}\ H_0\mid H_0)\approx\alpha=0.01$

17 de 100 rechaza el 10% y el intervalo lo mantiene

Pulsa 17 de 100, afirma 10%. La prueba da z = 2,33 y p = 0,0196, de modo que rechaza p = 0,1 al nivel del 5%; aun así, el intervalo del 95%, de 0,096 a 0,244, contiene 0,1. Pulsa ahora 10 de 100, afirma 17%, las dos mismas proporciones con los papeles invertidos: el intervalo, de 0,041 a 0,159, deja fuera el 0,17, mientras que la prueba lo conserva con p = 0,062. Ninguno de los dos cálculos está mal. Además, el valor p binomial exacto da la razón a la prueba en ambos casos, así que el problema no es que falle la curva normal. La prueba mide la distancia entre p̂ y p₀ con una desviación estándar calculada a partir de p₀, porque asume H₀; el intervalo utiliza un error estándar obtenido a partir de p̂, porque no presupone nada acerca de p. Con 0,1 esa regla mide 0,03 y con 0,17 mide 0,0376: una separación de 0,07 queda justo entre 1,96 veces la una y 1,96 veces la otra. Cuando una pregunta pida contrastar una hipótesis, haz la prueba; cuando pregunte si un valor es plausible, utiliza el intervalo.

Dos defectos esperados y cinco observados: 1,6% según la curva, 5,1% según el recuento

Pulsa 5 defectos en 100. El proveedor afirma que son el 2%, así que se esperan 2 piezas defectuosas y aparecieron 5. La prueba z arroja z = 2,14 y un valor p unilateral de 0,016, holgadamente por debajo de 0,05. Pero n p₀ = 2, muy lejos del 10 que exige la condición de conteos grandes. Las barras tras la curva revelan qué ocurre: el recuento de defectos no puede bajar de 0, de modo que su distribución es asimétrica, con una cola derecha alargada que la campana no tiene. La probabilidad exacta de obtener 5 o más piezas defectuosas con un proveedor del 2% es de 0,051, el triple de lo que da la normal y justo por encima de 0,05. La condición de conteos grandes marca la frontera donde la curva deja de describir las barras.

La moneda de Kerrich dio 67 caras de más, y es de lo más normal

Durante su internamiento en Dinamarca en 1941, el matemático John Kerrich lanzó una moneda 10.000 veces y contó 5.067 caras. Pulsa La moneda de Kerrich: con z = 1,34 y p = 0,18, una moneda equilibrada se desvía tanto como esto, hacia un lado o hacia el otro, en una de cada cinco o seis tandas. Esas 67 caras de más no son una deuda que la moneda tenga que saldar. En una moneda equilibrada, la diferencia entre el número de caras y la mitad de las tiradas tiene una desviación estándar de √n/2, de manera que no deja de crecer: 5 tras 100 lanzamientos, 50 tras 10.000 y 500 tras un millón. Lo que encoge es esa misma diferencia considerada como proporción del total, que pasa del 5% al 0,5% y luego al 0,05%. La ley de los grandes números describe la proporción, no el recuento acumulado; nada empuja a la moneda a volver al empate, y por eso una racha de cruces no hace que toque cara.

Ruta de aprendizaje

Estadística: de los datos a las proporciones

Referencias (2)

Insight block 3 and the Kerrich preset: John Kerrich, interned in Denmark in 1941, tossed a coin 10,000 times and it landed heads 5,067 times; his weighted wooden disc, tossed 1,000 times, did show a bias: Gelman, A. & Nolan, D. (2002). You can load a die, but you can't bias a coin. The American Statistician, 56(4), 308–311.
Why the large-counts condition is a rule of thumb rather than a guarantee: the coverage of the standard interval, p̂ ± z* SE, is erratic far more persistently than is usually appreciated, and the textbook prescriptions for when it is safe cannot be trusted; the Wilson, Jeffreys and Agresti–Coull intervals are recommended instead: Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001). Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science, 16(2), 101–133.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Inferencia para una proporción

De dónde viene la fórmula

Problemas complementarios, solo con la respuesta

17 de 100 rechaza el 10% y el intervalo lo mantiene 🖖

Dos defectos esperados y cinco observados: 1,6% según la curva, 5,1% según el recuento 🖖

La moneda de Kerrich dio 67 caras de más, y es de lo más normal 🖖

17 de 100 rechaza el 10% y el intervalo lo mantiene

Dos defectos esperados y cinco observados: 1,6% según la curva, 5,1% según el recuento

La moneda de Kerrich dio 67 caras de más, y es de lo más normal