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Planificador de Tamaño de Muestra y Margen de Error

planifica el tamaño de muestra y la precisión de una encuesta

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Una encuesta nacional no necesita más gente que una local

Cuánta gente necesitas apenas depende de cuánta gente hay. Con 95 % de confianza y ±5 %, esta herramienta pide 385 encuestados tanto si la población es de un millón como si es totalmente ilimitada: las dos dan la misma respuesta. Solo cuando la población baja a algo como 5.000 empieza a morder la corrección por población finita, y aun entonces apenas recorta 385 hasta 357. La intuición que esto derriba es la de que una muestra deba ser un porcentaje del total, lo que haría desesperada cualquier encuesta a un país entero; lo que de verdad le importa a la fórmula es cuánta variación aleatoria estás dispuesto a tolerar, y una población de millones no aporta ninguna propia.

Por qué la precisión cuesta al cuadrado

Este planificador responde a una pregunta: ¿a cuántas personas hay que encuestar para acotar un porcentaje a un margen de error elegido? Como el margen disminuye con la raíz cuadrada del tamaño de muestra, duplicar la precisión cuesta cuatro veces más encuestados: pasar de ±3% a ±1.5% cuadruplica n aproximadamente. Si no conoces la proporción esperada, usa p = 0.5: eso maximiza p(1−p) y da el tamaño de muestra más grande y seguro.

Cuando 2.4 millones de respuestas fallaron

La fórmula del margen de error solo mide el error de muestreo aleatorio: supone que cada encuestado fue elegido al azar. En 1936, el Literary Digest encuestó a unos 2.4 millones de personas y predijo con seguridad que Landon vencería a Roosevelt; George Gallup acertó con apenas 50,000. Su lista sobrerrepresentaba a dueños de coche y teléfono durante la Depresión, así que una muestra enorme pero sesgada perdió ante una pequeña y representativa. Ningún tamaño de muestra corrige un marco de muestreo sesgado.

Problema resuelto al detalle

  1. El tamaño de la muestra para una encuesta con precisión de ±5 % al 95 % de confianza 5 pasos

    Quieres una encuesta con una precisión de ±5% al 95% de confianza. Deduce el tamaño de la muestra; luego halla cuánto cuesta reducir el error a la mitad y por qué el tamaño de la población nunca aparece.

    1. El margen de error es la semi-amplitud del intervalo de confianza para una proporción. Se reduce con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, de donde procede todo lo sorprendente.

      ME=z∗p(1−p)n\text{ME}=z^{*}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

    2. Despeja n. El 1.96 es el valor normal estándar que corta el 2.5% en cada cola —es una propiedad del nivel de confianza, no de tus datos.

      n=(z∗)2p(1−p)ME2,z∗=1.96 at 95%n=\frac{(z^{*})^2p(1-p)}{\text{ME}^2},\qquad z^{*}=1.96\ \text{at }95\%

    3. Sustituye. El planificador de arriba muestra esta n, y la respuesta de 385 es la razón por la que tantas encuestas citan alrededor de mil encuestados.

      n=1.962×0.250.052=0.96040.0025=384.2 → 385n=\frac{1.96^2\times0.25}{0.05^2}=\frac{0.9604}{0.0025}=384.2\ \rightarrow\ 385

    4. Observa que se usó p = 0.5 sin conocer la proporción real. Esto es deliberado: p(1−p) alcanza su máximo ahí, por lo que es el peor caso y el tamaño de la muestra es seguro sea cual sea la respuesta final.

      p(1−p)≤0.25 always, maximised at p=0.5p(1-p)\le0.25\ \text{always, maximised at }p=0.5

    5. Ahora reduce el error objetivo a la mitad. El cuadrado en el denominador es el que causa el impacto.

      ME=2.5%: n=0.96040.000625=1537\text{ME}=2.5\%:\ n=\frac{0.9604}{0.000625}=1537

    Respuesta

    385 personas para ±5%, y 1537 para ±2.5%. Cuatro veces el coste para duplicar la precisión —la ley de la raíz cuadrada funcionando al revés, y la razón por la que las encuestas se estancan en unos pocos miles en lugar de presionar hasta ±1%, lo que requeriría 9604. La otra sorpresa es lo que falta: la población nunca interviene. Una muestra de 385 es tan precisa para una ciudad de 100 000 habitantes como para un país de 100 millones, porque la estimación depende de a cuántos preguntaste, no de a cuántos no.

    n=(z∗)2p(1−p)ME2=385ME halved⇒n quadrupledn=\frac{(z^{*})^2p(1-p)}{\text{ME}^2}=385\qquad \text{ME}\ \text{halved}\Rightarrow n\ \text{quadrupled}

Ruta de aprendizaje

¿Cuándo es real una diferencia?

Referencias (1)

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.