← Matemaatika

Funktsioonide liitmise (kompositsiooni) kalkulaator

Sisesta f(x), g(x) ja x0, et liita funktsioonid, võrrelda järjekorda ning näha iga arvutussammu.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Järjekorra vahetamine muudab vastust, mitte ainult kirjaviisi

Kompositsioon ei ole kommutatiivne ja vahe ei ole peen. Võta f(x) = x² ja g(x) = 2x + 3 kohal x = 2 — üks selle tööriista eelseadetest. Kui minna kõigepealt läbi g, saame f(g(2)) = f(7) = 49. Kui kõigepealt läbi f, saame g(f(2)) = g(4) = 11. Samad kaks funktsiooni, sama sisend, ja vastused erinevad 38 võrra. Just seepärast tasub siinset vahetusnuppu tõesti vajutada, mitte oletada: f∘g ja g∘f on tõeliselt erinevad funktsioonid ning tavapärane reegel a × b = b × a siia ei kandu.

Kaks masinat järjest

Funktsioonide komponeerimine tähendab lihtsalt nende järjest rakendamist: f(g(x)) annab x-i esmalt funktsioonile g ja suunab saadud vastuse seejärel funktsiooni f. Seda võib kujutleda koosteliinina, kus iga tööjaam muudab detaili enne selle edasisaatmist. Arvuta alati kõige sisemistest sulgudest väljapoole: g(x0) tuleb enne funktsiooni f rakendamist.

Korduvas kompositsioonis peituv fraktal

Kui komponeerida üht lihtsat funktsiooni ikka ja jälle iseendaga, jätad algebra selja taha ja jõuad kaoseteooriasse. Iteratsioon z ↦ z² + c — sama masin, mis saab tagasi oma väljundi — on täpselt see reegel, mis joonistab Mandelbroti hulga: punkt kuulub hulka ainult siis, kui see lõputu enesekompositsioon jääb tõkestatuks. Nii on tagasihoidlik f(g(x)) nupp vaid sammu kaugusel lõpmata peente fraktalite loomisest.

Levinud eksiarvamus

Kokkulangevus ühes x-väärtuses ei tõesta, et kaks liitfunktsiooni on võrdsed. Selleks, et näidata f(g(x)) = g(f(x)) funktsioonidena, peavad need kattuma kogu ühises määramispiirkonnas.

Ülesanded täielikult lahendatud

  1. Funktsioonide f(x) = x² ja g(x) = 2x + 3 kompositsioonid 5 sammu

    f(x) = x², g(x) = 2x + 3, kohal x₀ = 2. Moodustage liitfunktsioonid mõlemas järjekorras ning seejärel lahendage keerulisem küsimus, mille paneel lahtiseks jätab: kas see erinevus on juhuslik kokkusattumus x₀ = 2 valikust või erinevad need kaks liitfunktsiooni iga x korral?

    Ava see ülesanne tööriistas

    1. Moodustage liitfunktsioon sümbolkujul enne arvuliste väärtuste leidmist. Avaldises f∘g rakendatakse sisemist funktsiooni esimesena, seega võetakse ruutu kogu avaldis 2x + 3 — mitte x ega 3 eraldi.

      (f∘g)(x)=f(2x+3)=(2x+3)2=4x2+12x+9(f\circ g)(x)=f(2x+3)=(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9

    2. Vastupidises järjekorras toimub ruutuvõtmine esimesena, seega korrutatakse kahega ja nihutatakse just avaldist x². Mõlemad tulemused on ruutfunktsioonid, kuid ainult ühel neist on lineaarliige ning see liige ongi kogu erinevuse põhjuseks.

      (g∘f)(x)=g(x2)=2x2+3(g\circ f)(x)=g(x^{2})=2x^{2}+3

    3. Asendage mõlemasse x₀ = 2. Jälgida tuleb just vaheväärtusi: ühes järjekorras läheb välimisse funktsiooni 7 ja teises 4, seega esitatakse välimisele funktsioonile igal korral erinev küsimus. Paneel kuvab need kõik — 7 ja 4 sisenemisel, 49 ja 11 väljumisel.

      (f∘g)(2)=72=49,(g∘f)(2)=2⋅4+3=11(f\circ g)(2)=7^{2}=49,\qquad (g\circ f)(2)=2\cdot4+3=11

    4. Lahutamine muudab ühes punktis tehtava võrdluse funktsiooniks, mida saab uurida igal pool. Selle väärtus kohal 2 on 38, mis on 49 − 11, seega pole algebraliselt midagi kaotsi läinud.

      D(x)=(f∘g)(x)−(g∘f)(x)=2x2+12x+6,D(2)=38D(x)=(f\circ g)(x)-(g\circ f)(x)=2x^{2}+12x+6,\qquad D(2)=38

    5. Vahe on ruutfunktsioon positiivse x² kordajaga, mistõttu saab see nullistuda maksimumselt kaks korda — ja diskriminant 36 − 12 on positiivne, seega see tõepoolest nullistub kaks korda. Jäänud on vaid võrrandi lahendamine.

      D(x)=0  ⟺  x2+6x+3=0  ⟺  x=−3±6=−0.5505, −5.4495D(x)=0\iff x^{2}+6x+3=0\iff x=-3\pm\sqrt6=-0.5505,\ -5.4495

    Vastus

    49 vastu 11, vahega 38, kusjuures paneel kuvab koos nendega vaheväärtused 7 ja 4. Tugevam tulemus on see, kuhu paneel ei jõua: kogu reaalarvsirge ulatuses kattuvad need kaks liitfunktsiooni täpselt 2 punktis, x = −3 ± √6, mis on −0,5505 ja −5,4495. Ainult esimene neist jääb graafiku joonistatud akna −3 kuni 3 sisse. Seega ei olnud x₀ = 2 õnnelik valik — peaaegu iga x₀ oleks andnud erinevuse ning paneeli otsus "ei võrdu" on vastus, mille see annaks kõigi peale 2 sisendi. Samuti need lõikuvad, mitte ei puutu, ning seda näitab ahelreegel: vahe tuletise leidmisel saadakse 2(2x + 3)·2 − 2·2x = 4x + 12, mis kahel juurel on +9,798 ja −9,798 — absoluutväärtuselt võrdsed, vastandmärkidega, sest juurte vahel kulgeb kõrgemalt just g∘f, 12 võrra kohal x = −3, kus graafiku aken algab.

    D′(x)=2(2x+3)⋅2−2⋅2x=4x+12,D′(−3±6)=±46=±9.798D'(x)=2(2x+3)\cdot2-2\cdot2x=4x+12,\qquad D'(-3\pm\sqrt6)=\pm4\sqrt6=\pm9.798
  2. Kompositsioonide määramispiirkond funktsioonidele f(x) = √x ja g(x) = x² − 1 5 sammu

    f(x) = √x, g(x) = x² − 1, kohal x₀ = 0,5. Üks järjekord annab tulemuseks arvu ja teine ei anna üldse midagi. Leidke kummagi liitfunktsiooni määramispiirkond ning seejärel leidke kõik x väärtused, mille korral need kaks kattuvad.

    Ava see ülesanne tööriistas

    1. Jälgige liitfunktsiooni f∘g teekonda läbi keskosa ja vaadake, kus see katkeb. 0,5 on funktsiooni g jaoks täiesti lubatud sisend ning −0,75 on funktsiooni g täiesti lubatud väljund. Lubamatu on aga edasiandmine: −0,75 ei ole arv, millest saaks võtta ruutjuurt. Paneel kuvab −0,75 ning seejärel pole tal liitfunktsiooni enda jaoks ühtegi arvu kuvada.

      g(0.5)=0.52−1=−0.75⟹f(g(0.5))=−0.75∉Rg(0.5)=0.5^{2}-1=-0.75\quad\Longrightarrow\quad f(g(0.5))=\sqrt{-0.75}\notin\mathbb{R}

    2. Teine järjekord elab sama edasiandmise üle, sest √0,5 = 0,707107 on funktsiooni g jaoks lubatud sisend. Mõlemad need arvud on paneelil olemas ning kummalegi liitfunktsioonile pole antud teistsugust x₀ väärtust.

      f(0.5)=0.5=0.707107⟹g(f(0.5))=0.7071072−1=−0.5f(0.5)=\sqrt{0.5}=0.707107\quad\Longrightarrow\quad g(f(0.5))=0.707107^{2}-1=-0.5

    3. Kirjutage mõlemad määramispiirkonnad korrektselt üles, liikudes seestpoolt väljapoole. f∘g nõuab, et g väljund oleks mittenegatiivne, mis on tingimus ruudule x²; g∘f nõuab vaid seda, et x endast saaks ruutjuurt võtta.

      f∘g: x2−1≥0  ⟺  ∣x∣≥1;g∘f: x≥0f\circ g:\ x^{2}-1\ge0\iff|x|\ge1;\qquad g\circ f:\ x\ge0

    4. Oma määramispiirkonnas iga liitfunktsioon lihtsustub, kusjuures üks neist lihtsustub üllatavalt: ruutjuure ruutu võtmine tühistab selle, seega on g∘f sirgjoon. 2 kõverjoonelise funktsiooni liitmisel (kompositsioonil) on saadud tulemus, milles pole üldse kõverust.

      (f∘g)(x)=x2−1,(g∘f)(x)=(x)2−1=x−1(f\circ g)(x)=\sqrt{x^{2}-1},\qquad (g\circ f)(x)=\left(\sqrt{x}\right)^{2}-1=x-1

    5. Seal, kus mõlemad on määratud, küsige, millal need on võrdsed. Ruut x² taandub mõlemal pool välja ja järelejäänu on lineaarne, mistõttu on neil maksimaalselt 1 lahend.

      x2−1=x−1  ⟺  x2−1=x2−2x+1  ⟺  x=1\sqrt{x^{2}-1}=x-1\iff x^{2}-1=x^{2}-2x+1\iff x=1

    Vastus

    Avaldisel f(g(0,5)) puudub väärtus, samal ajal kui g(f(0,5)) = −0,5, kusjuures otsustavate vaheväärtustena on paneelil −0,75 ja 0,707107. Järjekord muutis siin määramispiirkonda enne, kui see muutis ühtegi väärtust, ning see on erinevus, mida ükski x₀ valik ei saa parandada: f∘g on olemas vaid seal, kus |x| ≥ 1, ning g∘f vaid seal, kus x ≥ 0, seega on neil ühine vaid [1, ∞). Graafiku joonistatud akna −3 kuni 3 korral kõver f∘g lihtsalt puudub terve ühiku ulatuses mõlemal pool 0, samal ajal kui sirge g∘f kulgeb otse läbi. Seal, kus need kattuvad, kohtuvad need täpselt ühe korra, kohal x = 1, kus mõlemad võrduvad arvuga 0, ning seejärel lahknevad kohe: kohal x = 3 on nende väärtused √8 = 2,828 ja 2. Väidet "funktsioonide kompositsioon ei ole kommutatiivne" õpetatakse tavaliselt väitena väärtuste kohta. Siin on see väide selle kohta, milliseid küsimusi üldse esitada saab.

    dom⁡(f∘g)∩dom⁡(g∘f)=[1,∞),32−1=2.828≠2\operatorname{dom}(f\circ g)\cap\operatorname{dom}(g\circ f)=[1,\infty),\qquad \sqrt{3^{2}-1}=2.828\ne2

Õpitee

Funktsioonid: üksteise järel ja tagasi

Allikad (1)

· Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.