Ilmutamata diferentseerimine

Mõnda kõverat ei saa y suhtes avaldada, ometi on sel peaaegu igas punktis tõus olemas. Vali kõver ja x: leht otsib välja selle x kohal asuvad punktid, joonestab valitud punktis puutuja ning arvutab suhte −F_x/F_y. Seejärel liigu sammhaaval läbi tuletise võtmise ning võrdle igat rida arvudega.

Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine	$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\qquad F_y\neq0$

Näidisarvutus — Ilmutamata diferentseerimine

Valitud punkt	(1; 2,3615)
∂F/∂x selles punktis	−11,1688
∂F/∂y selles punktis	10,7296
Tõus selles punktis	1,0409
Sama haru naaberpunkte läbiv kõõl	1,0409
Kõvera teised punktid selle x-i kohal	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ilmutamata diferentseerimine

Isegi kui võrrandist F(x, y) = 0 ei saa y-it ilmutada, on joonel igas siledas punktis ikkagi tõus: dy/dx = −F_x/F_y. See valem seob korraga nii x-i kui ka y-it ning kaotab kehtivuse seal, kus F_y = 0.

Mida iga sümbol tähendab

F_x: ∂F/∂x, funktsiooni F osatuletis x järgi, hoides y-i püsivana
F_y: ∂F/∂y, funktsiooni F osatuletis y järgi, hoides x-i püsivana; seal, kus see on 0, puudub tõusuvalemil väärtus

Kust valem tuleb

Diferentseeri piki joont. Vaatle y-it x-i funktsioonina ning diferentseeri võrrandit F(x, y(x)) = 0. Iga x-i sisaldav liige diferentseerub tavapäraselt. Iga y-i sisaldav liige saab aga ahelreegli tõttu juurde teguri y′. Saadud liidetavad on F_x ja F_y·y′ ning nende summa on 0.
$\frac{d}{dx}F\bigl(x,y(x)\bigr)=F_x+F_y\,y'=0$
Avalda y′. Kõikjal, kus F_y ei ole null, jaga sellega läbi. Tõus avaldub korraga nii x-i kui ka y kaudu, mistõttu ei piisa ainult x-ist, vaid tarvis on tervet punkti: ühele x-le võib vastata mitu punkti ja mitu eri tõusu.
$y'=-\frac{F_x}{F_y}\qquad(F_y\neq0)$
Kui F_y = 0. Valemil pole millegagi jagada. Kui F_x ei ole seal null, on puutuja vertikaalne. Kui aga ka F_x on null, annab valem kuju 0/0 ega ütle midagi — nagu Descartes'i lehe ristumiskohas.

Eeldab: Funktsioonil F on vaadeldava punkti ümbruses pidevad osatuletised. Kolmel kaasasoleval kõveral leitakse x kohal asuvad punktid kinnisel kujul. Ise sisestatud kõvera korral otsitakse neid numbriliselt, jälgides funktsiooni F märgimuutu piki y-telge vahemikus −8 kuni 8, mistõttu võib sellest vahemikust välja jääv punkt või koht, kus F puudutab väärtust 0 seda läbimata, märkamata jääda.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ringjoone puutuja 3 sammu
Leia võrrandist x² + y² = 25 tuletis dy/dx ning puutuja punktis (3, 4).

Ava see ülesanne tööriistas
1. Diferentseeri mõlemat poolt, vaadeldes y-it x-i funktsioonina. Ahelreegli tõttu lisandub y² tuletise kõrvale y′:
  
  $2x+2y\,y'=0$
2. Koonda y′ ja avalda see:
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
3. Punktis (3, 4), seejärel seda punkti läbiv leitud tõusuga sirge:
  
  $(3,4):\ y'=-\frac34;\qquad y-4=-\frac34(x-3)\ \Rightarrow\ y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Vastus

y′ = −x/y ning puutuja punktis (3, 4) on y = −3x/4 + 25/4. Leht kuvab seal F_x = 6 ja F_y = 8 ning tõus ongi −6/8. Puutuja on risti raadiusega, mille tõus on 4/3.

$y'=-\frac{x}{y},\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Korrutis kõvera võrrandis 3 sammu
Leia võrrandist x²y + y² = 2 tuletis dy/dx ning selle väärtus punktis (1, 1).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri mõlemat poolt. x²y on korrutis ja annab seetõttu kaks liiget, ning iga y toob kaasa y′:
  
  $2xy+x^{2}y'+2y\,y'=0$
2. Koonda y′-ga liikmed ja avalda:
  
  $\left(x^{2}+2y\right)y'=-2xy\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
3. Punktis (1, 1):
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{2}{3}$
Vastus

y′ = −2xy/(x² + 2y) ning punktis (1, 1) saame −2/3. Lehel: Enda oma, x^2*y + y^2 = 2, x = 1. Kuvatakse F_x = 2 ja F_y = 3.

$y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
y kuup 3 sammu
Leia võrrandist y³ + xy = 2 tuletis dy/dx ning selle väärtus punktis (1, 1).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri mõlemat poolt. y³ annab ahelreegli järgi 3y²y′ ning xy korrutise reegli järgi y + xy′:
  
  $3y^{2}y'+y+x\,y'=0$
2. Koonda ja avalda:
  
  $\left(3y^{2}+x\right)y'=-y\ \Rightarrow\ y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
3. Punktis (1, 1):
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{1}{4}$
Vastus

y′ = −y/(3y² + x) ning punktis (1, 1) saame −1/4. Seda kõverat ei suuda keegi ühe reaga y suhtes avaldada, ent tõusu leidmiseks polnud seda vajagi.

$y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
Kus pööratud ellips on horisontaalne 3 sammu
Leia kõvera x² + xy + y² = 3 punktid, kus puutuja on horisontaalne.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri ja avalda y′ nagu varem:
  
  $2x+y+x\,y'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$
2. Tõus on null seal, kus lugeja on null. Asenda y = −2x kõvera võrrandisse:
  
  $y'=0\iff y=-2x:\quad x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3\ \Rightarrow\ x=\pm1$
3. Need kaks punkti:
  
  $(1,-2)\quad(-1,2)$
Vastus

(1, −2) ja (−1, 2). Punktis (1, −2) kuvab leht F_x = 0 ning tõusuks 0. Punktides (2, −1) ja (−2, 1), kus nulliks osutub hoopis nimetaja, on puutuja vertikaalne.

$(1,-2),\ (-1,2)$
Funktsiooni ln x tuletis 3 sammu
Leia võrduse eʸ = x abil funktsiooni y = ln x tuletis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri võrduse eʸ = x mõlemat poolt. Vasakul on tegu liitfunktsiooniga, mis annab eʸ korda y′:
  
  $e^{y}\,y'=1$
2. Avalda y′ ning kasuta veel kord seost eʸ = x:
  
  $y'=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x}$
3. Nii ongi funktsiooni y = ln x tõus 1/x:
  
  $y=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x;\qquad x=2:\ \frac12$
Vastus

(ln x)′ = 1/x. Kohal x = 2 kuvab leht tõusuks 0,5. Kogu arutluskäik toetus vaid eˣ tuletisele; just nii tõestataksegi esmalt ln x reegel.

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
Ringjoone teine tuletis 3 sammu
Leia ringjoone x² + y² = 25 teine tuletis y″ ja selle väärtus punktis (3, 4).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Alusta esimesest tuletisest:
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
2. Võta jagatise reegliga uus tuletis, asenda y′ seosega −x/y ja arvesta, et x² + y² = 25:
  
  $y''=-\frac{y-x\,y'}{y^{2}}=-\frac{y+\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{3}}=-\frac{25}{y^{3}}$
3. Punktis (3, 4):
  
  $(3,4):\ y''=-\frac{25}{64}\approx-0{.}3906$
Vastus

y″ = −25/y³ ning punktis (3, 4) on väärtuseks −25/64 ≈ −0,3906. Teist tuletist leht ise ei arvuta; see kuvab tõusu −0,75, millest siinne arvutuskäik algab.

$y''=-\frac{25}{y^{3}}$
Descartes'i lehe tipp 3 sammu
Leia kõvera x³ + y³ = 6xy tõus selle silmuse tipus (3, 3).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri võrrandi mõlemat poolt. Paremal on korrutis:
  
  $3x^{2}+3y^{2}y'=6y+6x\,y'$
2. Kogu kokku y′-ga liikmed ja avalda y′, jagades võrrandi 3-ga läbi:
  
  $\left(3y^{2}-6x\right)y'=6y-3x^{2}\ \Rightarrow\ y'=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}$
3. Punktis (3, 3):
  
  $(3,3):\ y'=\frac{6-9}{9-6}=-1$
Vastus

y′ = −1 punktis (3, 3). Kõver on sümmeetriline sirge y = x suhtes, mistõttu lõikab puutuja seda sirget täisnurga all. Leht kuvab F_x = F_y = 9.

$y'(3,3)=-1$
xy siinus 3 sammu
Leia seosest sin(xy) + y = 1 tuletis dy/dx ja selle väärtus punktis (0, 1).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseeri võrrandi mõlemat poolt. Avaldis sin(xy) on liitfunktsioon, mille sees peitub korrutis, seega saame cos(xy) korda xy tuletis:
  
  $\cos(xy)\cdot\left(y+x\,y'\right)+y'=0$
2. Võta y′ sulgude ette:
  
  $\begin{aligned}\left(x\cos(xy)+1\right)y'&=-y\cos(xy)\\y'&=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}\end{aligned}$
3. Punktis (0, 1) on koosinuse väärtus cos 0 = 1:
  
  $(0,1):\quad y'=-\dfrac{1\cdot\cos0}{0+1}=-1$
Vastus

y′ = −y cos(xy)/(x cos(xy) + 1) ning punktis (0, 1) on y′ = −1. Siinuse tuletamiseks on tarvis liitfunktsiooni ja selle sees olevale korrutisele xy korrutise reeglit, mistõttu tekib y′ enne koondamist kahte kohta.

$y'=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1},\qquad y'(0,1)=-1$
Kus viltune ellips seisab püsti 3 sammu
Leia kõvera x² + xy + y² = 3 punktid, kus puutuja on vertikaalne, ning kirjuta nende puutujate võrrandid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Diferentseerides samamoodi nagu 4. ülesandes, avaldub puutuja tõus murruna:
  
  $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$
2. Puutuja on vertikaalne seal, kus murru nimetaja on null ja lugeja mitte. Asenda x = −2y kõvera võrrandisse:
  
  $\begin{aligned}&x+2y=0\ \Rightarrow\ x=-2y\\&4y^{2}-2y^{2}+y^{2}=3\ \Rightarrow\ y=\pm1\end{aligned}$
3. Lugeja ei ole kummaski punktis null. Mõlemas punktis on seega vertikaalne puutuja ja kumbki pole määramatus 0/0:
  
  $\begin{aligned}(2,-1):&\quad2x+y=3\neq0\\(-2,1):&\quad2x+y=-3\neq0\end{aligned}$
Vastus

Puutuja on vertikaalne punktides (2, −1) ja (−2, 1) ning puutujateks on sirged x = 2 ja x = −2. Need puudutavad ellipsit selle kõige parempoolsemas ja vasakpoolsemas punktis: 4. ülesandes leidsime kohad, kus ellips on horisontaalne, siin aga need, kus ta on kõige laiem.

$(2,-1):\ x=2;\qquad(-2,1):\ x=-2$
Lehe tipp 4 sammu
Leia Descartes'i lehe kõrgeim punkt täpselt ning tee kindlaks, kas see on lehe tipp (3; 3), kus leht lõikub sirgega y = x. Vajuta nuppu Lehe tipp: kohal x = 2,52 on ülemise punkti tõus −0,0002 ehk peaaegu 0, kuid sammuga 0,01 liikuv liugur võimaldab vastust üksnes tõkestada.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Puutuja on rõhtne seal, kus y′ = 0. See nõuab, et lugeja 2y − x² oleks 0 ja nimetaja samal ajal nullist erinev:
  
  $y'=\dfrac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}=0\ \Rightarrow\ y=\tfrac{x^{2}}{2}$
2. Asenda kõvera võrrandisse y = x²/2. Kuna x = 0 tähistab koordinaatide alguspunkti, kus valem annab 0/0, võime jagada avaldisega x³:
  
  $x^{3}+\tfrac{x^{6}}{8}=6x\cdot\tfrac{x^{2}}{2}=3x^{3}\ \Rightarrow\ \tfrac{x^{6}}{8}=2x^{3}\ \Rightarrow\ x^{3}=16$
3. Niisiis on x arvu 16 kuupjuur ning nimetaja ei ole seal 0:
  
  $x=2^{4/3}=2{.}5198,\quad y=\tfrac{x^{2}}{2}=2^{5/3}=3{.}1748,\quad y^{2}-2x=2^{10/3}-2^{7/3}=2^{7/3}=5{.}0397\neq0$
4. Tipus (3; 3) on tõus −1, järelikult sellest vasakul leht alles tõuseb:
  
  $y'(3,3)=\dfrac{2\cdot3-3^{2}}{3^{2}-2\cdot3}=\dfrac{-3}{3}=-1,\qquad 3{.}1748-3=0{.}1748$
Vastus

Lehe kõrgeim punkt on (2^4/3; 2^5/3) ≈ (2,5198; 3,1748), tipust 0,1748 võrra kõrgemal. Selle punkti y-koordinaat võrdub püstise puutuja x-koordinaadiga näites Kus kõver pöördub, sest x-i ja y-i vahetamine jätab võrrandi x³ + y³ = 6xy samaks ning teisendab rõhtsad puutujad püstisteks. Leht arvutab tõusu mistahes valitud punktis, kuid võrrandi y′ = 0 lahendamine jääb algebra hooleks.

$\left(2^{4/3},\,2^{5/3}\right)\approx\left(2{.}5198,\ 3{.}1748\right)$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia võrrandist xy = 6 tuletis dy/dx ja selle väärtus punktis (2, 3).

Näita vastust

y′ = −y/x, seega −3/2 punktis (2, 3)

$y'=-\dfrac{y}{x},\qquad y'(2,3)=-\tfrac32$
Leia võrrandist x² − y² = 16 tuletis dy/dx.

Näita vastust

y′ = x/y

$y'=\dfrac{x}{y}$
Leia kõvera x³ + y³ = 9 tõus punktis (1, 2).

Näita vastust

y′ = −x²/y², seega −1/4

$y'=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}},\qquad y'(1,2)=-\tfrac14$
Leia ringjoone x² + y² = 25 normaal punktis (4, −3).

Näita vastust

Puutuja tõus on 4/3, seega normaali tõus on −3/4 ja normaali võrrand y = −3x/4. See sirge läbib keskpunkti, nagu iga ringjoone normaal.

$y=-\tfrac34x$
Leia seose tan y = x abil funktsiooni y = arctan x tuletis.

Näita vastust

sec²y · y′ = 1 ning sec²y = 1 + tan²y = 1 + x², seega y′ = 1/(1 + x²)

$\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}$
Leia võrrandist xy = 1 tuletis y″ ja selle väärtus punktis (1, 1).

Näita vastust

y′ = −y/x ja y″ = 2y/x², seega 2 punktis (1, 1)

$y''=\dfrac{2y}{x^{2}},\qquad y''(1,1)=2$

Kolm punkti kohal x = 1 ja kolm tõusu

Vajuta Kolm tõusu kohal x = 1. Kohal x = 1 on lehel kolm punkti ning kõver läbib igaüht eri tõusuga. Üksnes x-st sõltuv valem annaks iga x kohta üheainsa arvu ega sobiks selle kõvera tõusuks. Ilmutamata tuletis y′ = (2y − x²)/(y² − 2x) vajab aga ka punkti y-koordinaati ning kõvera all asuv tabel arvutab selle välja kõigis kolmes punktis. Descartes, kes kirjeldas joont esmakordselt 1638. aastal, arvas lehe korduvat igas veerandis nagu lille kroonlehed. Kõveral on aga vaid üksainus leht ja kaks haru.

Valem kaotab kehtivuse täpselt seal, kus kõver saab või kaotab punkti

Vajuta Kus see voltub. Siin on nimetaja F_y null ja puutuja vertikaalne. Sellest x-st vasakul asub kolm punkti, siin saavad kaks ülemist kokku ning paremale jääb alles vaid üks. Kõigil kolmel kõveral muutub x kohal asuvate punktide arv just seal, kus F_y = 0, ega mitte kuskil mujal. Liugurilt vaadatuna näitab see ilmutamata funktsiooni teoreemi: kus F_y ≠ 0, seal on kõver punkti ümbruses ühe funktsiooni graafik. Kui F_y = 0, ei luba teoreem midagi, ning neil kolmel kõveral jooksevadki just seal kaks sellist funktsiooni kokku.

Koordinaatide alguspunktis annab valem 0/0 ning kõveral on kaks puutujat

Vajuta Iselõikumiskoht. Koordinaatide alguspunktis on nii F_x kui ka F_y nullid, mistõttu annab valem tulemuseks 0/0. See tähendab enamat kui lihtsalt vertikaalset puutujat. Kõver läbib seda punkti kaks korda: kord kulgeb see laugelt piki lehe alaserva, kord tõuseb järsult üle selle. Lähene alguspunktile väärtustega x = 0,1, 0,01 ja 0,001 ning tabel näitab, kuidas üks tõus kahaneb 0 poole ja kaks kasvavad tõkestamatult. Üksainus tõus ei saakski siin õige olla, seega joonistab lõuend välja mõlemad puutujad.

Õpitee

Diferentseerimine: kuidas muutumiskiirused seostuvad

Allikad (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.