Ühikringjoone uurija

sin, cos & tan — visualiseeritud ühikringil

Algväärtused — Ühikringjoone uurija

Nurk	45

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Tangens on nime saanud päris sirgelt

Joonista püstine sirge x = 1. See puudutab ringjoont täpselt ühes punktis — just see teebki temast puutuja. Pikenda nüüd nurga θ raadiust selle sirgeni: see jõuab kohale täpselt kõrgusel tan θ. 60° juures läbib raadius punkti (0,5000, 0,8660) ja ulatub punktini (1, 1,7321) — seesama 1,7321, mille see tööriist tan 60° kohta näitab. Sellelt lõigult on funktsioon oma nime saanud, ja see selgitab ka hüpet lõpmatusse: kui θ läheneb 90°-le, muutub raadius sirgega paralleelseks ega kohtu sellega enam kunagi. Just seepärast näitab väljund arvu asemel +∞.

Kus koordinaadid ongi vastus

Ühikringjoon on lihtsalt raadiusega 1 ringjoon alguspunkti ümber. Vali suvaline nurk θ ja punkt, kus see ringjoont lõikab, omab täpselt koordinaate (cos θ, sin θ) — kuna raadius on 1, pole mingit skaleerimist vaja. Pythagorase identiteet cos²θ + sin²θ = 1 on siis vaid maskeeritud kauguse valem: iga punkt asub keskpunktist täpselt ühe ühiku kaugusel.

Sõna siinus tähendab põue

Nimi siinus on tõlkevea kivistis. India matemaatikud nimetasid poolkõõlu ardha-jyā; araabia õpetlased translitereerisid selle kujul jiba, mis kirjutati vokaalideta jb. Hilisemad lugejad pidasid seda sõnaks jaib — põu, volt või laht —, nii et ladina tõlkijad valisid sinus, „rõiva volt". Iga sin θ kutsub esile sajandite vanuse ümberkirjutamisvea.

ÜHIKRINGJOON — MILLINE NURGAPERE JA MIS MÄÄRAB MÄRGID?

Millise ühikringjoone juhtumiga on tegemist?

Üks raadiusega 1 ringjoon kannab kogu trigonomeetriat: nurgale θ vastava punkti koordinaadid on (cos θ, sin θ) — see on definitsioon, mitte järeldus. Peaaegu iga küsitav nurk kuulub ühte kolmest perest: 45° diagonaal, võrdkülgsest kolmnurgast lõigatud paar 30° ja 60° ning neli telgedel asuvat nurka. Kõik, mis jääb esimesest veerandist välja, on üks neist koos märgiga.

45° — võrdhaarne juhtum, kus siinus ja koosinus on võrdsed sinθ = cosθ = √2/2

30° ja 60° — sama kolmnurga kaks lugemisviisi sinθ = cos(90° − θ)

Teljel — üks koordinaat on null ja tangens katkeb cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Üle esimese veerandi — suurused korduvad, muutuvad ainult märgid ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

45° — võrdhaarne juhtum, kus siinus ja koosinus on võrdsed

Mida te teate: Pool täisnurka. Punkt asub diagonaalil y = x, seega peavad mõlemad koordinaadid olema samad ja tan θ = 1.

Väärtused: sinθ = cosθ = √2/2

Näidisarvutus: θ = 45° → sin θ = cos θ = √2/2 ≈ 0,7071, tan θ = 1

Ava see juhtum: 45°

45° — võrdhaarne juhtum, kus siinus ja koosinus on võrdsed. 45° punkt asub täpselt diagonaalil, seega on mõlemad koordinaadid √2/2. Pool täisnurka. Punkt asub diagonaalil y = x, seega peavad mõlemad koordinaadid olema samad ja tan θ = 1. — 45° punkt asub täpselt diagonaalil, seega on mõlemad koordinaadid √2/2.

30° ja 60° — sama kolmnurga kaks lugemisviisi

Mida te teate: Pool võrdkülgsest kolmnurgast annab küljed 1, 1/2 ja √3/2. Kumb pikkus on siinus ja kumb koosinus, sõltub ainult sellest, kummal teraval nurgal te seisate.

Väärtused: sinθ = cos(90° − θ)

Näidisarvutus: θ = 30° → sin θ = 1/2 = 0,5, cos θ = √3/2 ≈ 0,8660, tan θ = 1/√3 ≈ 0,5774. Nurgal 60° vahetavad esimesed kaks kohad.

Ava see juhtum: 30°

30° ja 60° — sama kolmnurga kaks lugemisviisi. 30° punkt on madalal ja kaugel paremal; 60° juures vahetavad needsamad kaks pikkust rollid. Pool võrdkülgsest kolmnurgast annab küljed 1, 1/2 ja √3/2. Kumb pikkus on siinus ja kumb koosinus, sõltub ainult sellest, kummal teraval nurgal te seisate. — 30° punkt on madalal ja kaugel paremal; 60° juures vahetavad needsamad kaks pikkust rollid.

Teljel — üks koordinaat on null ja tangens katkeb

Mida te teate: Nurgad 0°, 90°, 180° ja 270° asetavad punkti teljele, nii et üks kahest koordinaadist on täpselt null.

Väärtused: cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Näidisarvutus: θ = 90° → sin θ = 1, cos θ = 0 ja tan θ = sin θ / cos θ ei oma üldse väärtust

Ava see juhtum: 90°

Teljel — üks koordinaat on null ja tangens katkeb. 90° juures on punkt ringjoone tipus: kõrgus 1, laius 0 ja tangensit ei ole. Nurgad 0°, 90°, 180° ja 270° asetavad punkti teljele, nii et üks kahest koordinaadist on täpselt null. — 90° juures on punkt ringjoone tipus: kõrgus 1, laius 0 ja tangensit ei ole.

Üle esimese veerandi — suurused korduvad, muutuvad ainult märgid

Mida te teate: Üle 90° säilitavad koordinaadid need suurused, mis neil olid taandnurga juures horisontaaltelje suhtes. Veerand otsustab, kumb neist on negatiivne.

Väärtused: ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

Näidisarvutus: θ = 180° → sin θ = 0, cos θ = −1. Ja sin 210° = −sin 30° = −0,5, sest 210° taandnurk on 30° ja ta asub kolmandas veerandis.

Ava see juhtum: 180°

Üle esimese veerandi — suurused korduvad, muutuvad ainult märgid. Pool pööret viib punkti kohta (−1, 0); iga veerandi märgid on ringi ümber märgitud. Üle 90° säilitavad koordinaadid need suurused, mis neil olid taandnurga juures horisontaaltelje suhtes. Veerand otsustab, kumb neist on negatiivne. — Pool pööret viib punkti kohta (−1, 0); iga veerandi märgid on ringi ümber märgitud.

Ülesanne täielikult lahendatud

π alumine piir, kasutades ainult 45° juures prinditud siinust 5 sammu
Leia arvule π alumine tõke, kasutades üksnes 45° juures kuvatud siinust. See on vaikiolek, θ = 45°, võrdhaarne juhtum, kus siinus ja koosinus on võrdsed.
1. 45° poolitab esimest veerandit, seega asub punkt sirgel y = x ja need kaks koordinaati ei saa erineda. Ringjoone võrrandisse jääb seejärel vaid üks tundmatu.
  
  $x=y,\ \ x^2+y^2=1\ \Rightarrow\ 2x^2=1\ \Rightarrow\ \sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}=0.7071$
2. Samasuse rida on see sama ringjoone võrrand ümberpaigutatult ja 45° on ainus nurk esimeses veerandis, mis jagab selle kaheks võrdseks pooleks. See on ka ainus nurk, kus tangens, kahe võrdse arvu suhe, on täpselt 1.
  
  $\sin^2\theta+\cos^2\theta=0.5000+0.5000=1,\qquad \tan45^\circ=\frac{0.7071}{0.7071}=1.0000$
3. Ringjoonde sissekirjutatud korrapärane kaheksanurk koosneb kaheksast keskpunktis kohtuvast identseist kolmnurgast, millest igaühel on kaks 1-pikkust külge ja nende vahel 45° nurk. Sellise kolmnurga pindala on ½ab sin C, seega ekraanil juba olev siinus on ainus suurus, mida kaheksanurk vajab.
  
  $A_8=8\cdot\tfrac12\cdot1\cdot1\cdot\sin45^\circ=4\times0.70711=2.82843$
4. Ühikringi pindala on π, seega nende kahe pindala suhe näitab, kui suure osa ringist kaheksanurk hõlmab. Kaheksa külge jätab sellest ühe kümnendiku väljapoole.
  
  $\frac{A_8}{\pi}=\frac{2.82843}{3.14159}=0.9003$
5. Külgede arvu kahekordistamiseks on vaja poolnurga siinust ning poolnurga valem saab selle juba kuvatud koosinusest. Sama ½ab sin C lahendab seejärel kuusteistnurga.
  
  $\sin22.5^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos45^\circ}{2}}=\sqrt{0.146447}=0.38268\ \Rightarrow\ A_{16}=8\sin22.5^\circ=3.06147$
Vastus

Tööriist kuvab sin 45° = cos 45° = 0,7071, tan 45° = 1,0000 ja samasuse kujul 0,5000 + 0,5000 = 1. Need neli kümnendkohta annavad kaheksanurga väärtuseks 2,8284 ning pärast ühte nurga poolitamist 16-nurga väärtuseks 3,0615. Mõlemad on pigem alumised tõkked kui hinnangud: ringjoone sisse joonistatud hulknurk ei saa piirata suuremat pindalat kui ring ise. Jätkates kahekordistamist, väheneb puudujääk iga korraga umbes 4 korda — 9,97%, 2,55%, 0,64%, 0,16% —, nii et 96-nurne hulknurk — arv, milleni Archimedes ise jõudis — annab selle pindalameetodiga tulemuseks 3,1394, mis on täpne kahe kümnendkoha täpsusega ega enamaga. See 4-kordne tegur on põhjus, miks sellest meetodist lõpuks loobuti: iga täiendav täpne tüvenumber nõuab umbes kaks täiendavat kahekordistamist ning iga kahekordistamine tähendab uut käsitsi võetavat ruutjuurt.

$A_n=\frac{n}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}\nearrow\pi:\quad A_8=2.8284,\ A_{16}=3.0615,\ A_{32}=3.1214,\ A_{96}=3.1394$

Õpitee

Kolmnurga reeglid ja kust need tulevad

Allikad (3)

The reference definitions of sine and cosine, and their periodicity: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity.
Where sine and cosine stopped being ratios in a triangle and became functions of a number: L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Volume I. Lausanne, 1748.
The radian as an SI unit, and why an angle in it is a ratio of two lengths: Bureau International des Poids et Mesures, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.