Sekans, kosekans, kotangens ja Pythagorase samasused

Anna ühe trigonomeetrilise funktsiooni väärtus ja veerand: leht leiab nurga, samasuse abil teise funktsiooni väärtuse ning punkti P järgi ülejäänud neli. Või lohista nurka ja vaata, kuidas sec θ, csc θ ja cot θ joonisel lõikudena muutuvad.

Sekans, kosekans, kotangens	$\begin{gathered}\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\\ \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\end{gathered}$
Trigonomeetria põhiseos	$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
Jagatud suurusega cos²θ	$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$
Jagatud suurusega sin²θ	$1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$

Näidisarvutus — Sekans, kosekans, kotangens ja Pythagorase samasused

Nurk	143,1301°
Samasusest, II veerandi märgiga	−0,8
Siinus	0,6
Koosinus	−0,8
Tangens	−0,75
Sekans	−1,25
Kosekans	1,6667
Kotangens	−1,3333

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Sekans, kosekans, kotangens ja Pythagorase samasused

Sekans, kosekans ja kotangens on sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ ja cot θ = cos θ/sin θ; igaüks neist on määratud seal, kus tema nimetaja ei ole null. Pythagorase samasused sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ ja 1 + cot²θ = csc²θ kehtivad iga nurga korral, kus mõlemad pooled on määratud.

Kust valem tuleb

Alusta ringjoonest. Punkt P = (cos θ, sin θ) on iga nurga korral punktist O kaugusel 1, seega cos²θ + sin²θ = 1 igas veerandis. Ruudud märke ei näe, ja seepärast annab sama võrrandi ka kolmnurk kaatetitega |cos θ| ja |sin θ|.
$x_P^{2}+y_P^{2}=1\ \Rightarrow\ \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$
Jaga suurusega cos²θ või sin²θ. Kumbki jagamine on lubatud täpselt seal, kus uued funktsioonid on määratud.
$\begin{aligned}\div\cos^{2}\theta:&\quad 1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta\\ \div\sin^{2}\theta:&\quad\cot^{2}\theta+1=\csc^{2}\theta\end{aligned}$
Võta ruutjuur ja vali siis märk. Samasus annab tundmatu ruudu ja määrab seega absoluutväärtuse; märgi määrab veerand.
$\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta},\qquad\sec\theta=\pm\sqrt{1+\tan^{2}\theta}$

Eeldab: Iga samasus kehtib ainult seal, kus selle funktsioonid on määratud: teine ei kehti 90° paaritute kordsete korral, kolmas 180° kordsete korral.

Ülesanded täielikult lahendatud

Antud on nürinurga siinus 2 sammu
sin θ = 3/5 ja θ on nürinurk. Leia ülejäänud viie funktsiooni täpsed väärtused.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Nürinurk asub II veerandis, kus koosinus on negatiivne. Seosest sin²θ + cos²θ = 1:
  
  $\cos\theta=-\sqrt{1-\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}}=-\sqrt{\tfrac{16}{25}}=-\tfrac{4}{5}$
2. Ülejäänud neli on jagatised ja pöördväärtused:
  
  $\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{3/5}{-4/5}=-\tfrac{3}{4}, & \sec\theta&=\frac{1}{\cos\theta}=-\tfrac{5}{4}\\ \csc\theta&=\frac{1}{\sin\theta}=\tfrac{5}{3}, & \cot\theta&=\frac{1}{\tan\theta}=-\tfrac{4}{3}\end{aligned}$
Vastus

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3.

$\cos\theta=-\tfrac45,\ \tan\theta=-\tfrac34,\ \sec\theta=-\tfrac54,\ \csc\theta=\tfrac53,\ \cot\theta=-\tfrac43$
Tangensist sekansini 2 sammu
tan θ = −12/5 ja 270° < θ < 360°. Leia sec θ, cos θ ja sin θ.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. IV veerandis on koosinus positiivne, seega ka sekans. Seosest 1 + tan²θ = sec²θ:
  
  $\sec\theta=+\sqrt{1+\left(-\tfrac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{169}{25}}=\tfrac{13}{5}$
2. Siis on cos θ pöördväärtus ja sin θ = tan θ · cos θ:
  
  $\cos\theta=\tfrac{5}{13},\qquad\sin\theta=-\tfrac{12}{5}\cdot\tfrac{5}{13}=-\tfrac{12}{13}$
Vastus

sec θ = 13/5 = 2,6, cos θ = 5/13 ≈ 0,3846, sin θ = −12/13 ≈ −0,9231.

$\sec\theta=\tfrac{13}{5},\quad\cos\theta=\tfrac{5}{13}\approx0{.}3846,\quad\sin\theta=-\tfrac{12}{13}\approx-0{.}9231$
Kotangensist kosekansini 2 sammu
cot θ = 3/4 ja 180° < θ < 270°. Leia csc θ, sin θ ja cos θ.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. III veerandis on siinus negatiivne, seega ka kosekans. Seosest 1 + cot²θ = csc²θ:
  
  $\csc\theta=-\sqrt{1+\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}}=-\sqrt{\tfrac{25}{16}}=-\tfrac{5}{4}$
2. Siis on sin θ pöördväärtus ja cos θ = cot θ · sin θ:
  
  $\sin\theta=-\tfrac{4}{5},\qquad\cos\theta=\tfrac{3}{4}\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)=-\tfrac{3}{5}$
Vastus

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5.

$\csc\theta=-\tfrac54,\quad\sin\theta=-\tfrac45,\quad\cos\theta=-\tfrac35$
Täpsed väärtused 30° juures 3 sammu
Leia sec 30°, csc 30° ja cot 30° täpsed väärtused.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Pool võrdkülgsest kolmnurgast küljega 2 on kolmnurk külgedega 1, √3 ja 2, seega
  
  $\sin30^{\circ}=\tfrac{1}{2},\qquad\cos30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. Võta pöördväärtused ja vabasta nimetaja juurest:
  
  $\sec30^{\circ}=\tfrac{2}{\sqrt{3}}=\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\quad\csc30^{\circ}=2,\quad\cot30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$
3. Kontroll teise samasusega:
  
  $1+\tan^{2}30^{\circ}=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
Vastus

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1,1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1,7321.

$\sec30^{\circ}=\tfrac{2\sqrt3}{3}\approx1{.}1547,\quad\csc30^{\circ}=2,\quad\cot30^{\circ}=\sqrt3\approx1{.}7321$
Lihtsustamine kahe samasusega 2 sammu
Lihtsusta avaldis (1 − cos²θ)(1 + cot²θ).
Näita lahendust
1. Kumbki sulg on ühe samasuse üks pool; asenda see teise poolega:
  
  $(1-\cos^{2}\theta)(1+\cot^{2}\theta)=\sin^{2}\theta\cdot\csc^{2}\theta$
2. ja csc θ = 1/sin θ:
  
  $\sin^{2}\theta\cdot\frac{1}{\sin^{2}\theta}=1$
Vastus

1 iga nurga korral, mis ei ole 180° kordne; seal ei ole cot θ määratud.

$(1-\cos^{2}\theta)(1+\cot^{2}\theta)=1,\qquad\theta\neq k\cdot180^{\circ}$
Tõestus tegurdatud samasusega 3 sammu
Näita, et 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, ja kontrolli seda nurga θ = 60° korral.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Korruta lugejat ja nimetajat avaldisega sec θ + tan θ:
  
  $\frac{1}{\sec\theta-\tan\theta}=\frac{\sec\theta+\tan\theta}{\sec^{2}\theta-\tan^{2}\theta}$
2. Seose 1 + tan²θ = sec²θ tõttu on nimetaja 1:
  
  $=\frac{\sec\theta+\tan\theta}{1}=\sec\theta+\tan\theta$
3. 60° juures on sec θ = 2 ja tan θ = √3:
  
  $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
Vastus

Mõlemad pooled on võrdsed kõikjal, kus nad on määratud; 60° juures on mõlemad 2 + √3 ≈ 3,7321.

$\frac{1}{\sec60^{\circ}-\tan60^{\circ}}=2+\sqrt3\approx3{.}7321$
Väärtus, mida ükski nurk ei anna 2 sammu
Leia kõik nurgad, mille korral sec θ = 1/2.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. sec θ = 1/2 tähendaks, et
  
  $\cos\theta=\frac{1}{\sec\theta}=2$
2. kuid cos θ on raadiusega 1 ringjoone punkti koordinaat, seega |cos θ| ≤ 1 ja järelikult
  
  $|\sec\theta|=\frac{1}{|\cos\theta|}\geq1$
Vastus

Selliseid nurki ei ole: sec θ ja csc θ ei võta kunagi väärtust, mis on rangelt −1 ja 1 vahel. Näide lükkab 1/2 tagasi ja jätab θ väärtuseks 60°, kus pöördväärtus käib teistpidi: cos θ = 1/2 ja sec θ = 2.

$\left\{\theta:\ \sec\theta=\tfrac12\right\}=\varnothing$
Parameetri elimineerimine 2 sammu
Kõver on antud võrranditega x = 3 sec t, y = 2 tan t. Leia selle võrrand ristkoordinaatides.
Näita lahendust
1. Avalda mõlemad funktsioonid:
  
  $\sec t=\frac{x}{3},\qquad\tan t=\frac{y}{2}$
2. ja asenda need seosesse sec²t − tan²t = 1:
  
  $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$
Vastus

x²/9 − y²/4 = 1, hüperbool. Kuna |sec t| ≥ 1, on selle igas punktis |x| ≥ 3.

$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1,\qquad|x|\geq3$

Lisaülesanded, ainult vastustega

cos θ = −5/13 ning θ asub kolmandas veerandis. Leia ülejäänud viis funktsiooni.

Näita vastust

sin θ = −12/13, tan θ = 12/5, sec θ = −13/5, csc θ = −13/12, cot θ = 5/12.

$\begin{aligned}&\sin\theta=-\tfrac{12}{13},\ \tan\theta=\tfrac{12}{5},\ \sec\theta=-\tfrac{13}{5}\\&\csc\theta=-\tfrac{13}{12},\ \cot\theta=\tfrac{5}{12}\end{aligned}$
Lihtsusta (sec θ − cos θ)/tan θ.

Näita vastust

sin θ. Lugeja on (1 − cos²θ)/cos θ = sin²θ/cos θ ning jagamisel avaldisega sin θ/cos θ jääb alles sin θ.

$\frac{\sec\theta-\cos\theta}{\tan\theta}=\sin\theta$
Lahenda 2 sin²x + 3 cos x = 3, kui 0° ≤ x < 360°.

Näita vastust

x = 0°, 60° või 300°. Asendades sin²x = 1 − cos²x, saame 2 cos²x − 3 cos x + 1 = 0, seega cos x = 1 või ½.

$\begin{aligned}&2\cos^{2}x-3\cos x+1=0\\&x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 300^{\circ}\end{aligned}$
Kõrvalda parameeter võrranditest x = 2 cos t, y = 3 sin t.

Näita vastust

x²/4 + y²/9 = 1, tegu on ellipsiga, sest cos²t + sin²t = 1.

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Kolm samasust on üks kolmnurk kolmes suuruses

Kolmnurga OMP kaatetid on |cos θ| ja |sin θ| ning hüpotenuus 1, nii et Pythagorase teoreem annab sin²θ + cos²θ = 1. Suurenda seda 1/|cos θ| korda ja küljed on 1, |tan θ| ja |sec θ|: need on kolmnurga OAT küljed ning OAT toetub puutujale x = 1. Pythagorase teoreem kolmnurgas OAT on 1 + tan²θ = sec²θ. Suurenda hoopis 1/|sin θ| korda ja küljed on 1, |cot θ| ja |csc θ|, sirgel y = 1 asuva kolmnurga OBS küljed, ning sealt tuleb 1 + cot²θ = csc²θ. Algebras tähendab see suurendamine esimese samasuse jagamist suurusega cos²θ või sin²θ. Meeles tasub seega pidada üht samasust, teised kaks on üks rida arvutust. Jooniselt paistab ka, kus iga samasus kehtimast lakkab: 90° juures on sirge OP paralleelne sirgega x = 1 ja kolmnurgal OAT pole kolmandat tippu. Mõisted tangens ja sekans võttis kasutusele Thomas Fincke oma 1583. aasta teoses Geometriae rotundi; ladina keeles tähendavad need puudutavat ja lõikavat, ning AT asub sirgel, mis ringjoont puudutab, OT aga sirgel, mis seda lõikab.

√(1 − sin²θ) ei ole cos θ

Vajuta sin θ = 3/5, II veerand. Samasusest tuleb cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, ja arvul 0,64 on kaks ruutjuurt. Juuremärk tähistab positiivset, seega √(1 − sin²θ) on |cos θ| ning kirjutis cos θ = √(1 − sin²θ) on vale iga nurga korral II ja III veerandis. Siin on cos θ = −0,8. Samasus määrab absoluutväärtuse, märgi aga ainult veerand, ja seepärast peab ülesanne ütlema, kus θ asub, nagu ütleb „θ on nürinurk“. Jäta väärtuseks 0,6 ja klõpsa I: θ liigub 36,8699° peale ja cos θ muutub +0,8-ks. Klõpsa III ja leht keeldub, sest seal on siinus negatiivne.

90° lähedal on sec θ ja tan θ tohutud ja peaaegu võrdsed

Vajuta θ = 89°: tan θ = 57,29 ja sec θ = 57,2987, vahe ainult 0,0087. Nii lähedal 90°-le ei saa nad teineteisest eemalduda, ja selle eest hoolitseb teine samasus. Kui kirjutada see kujul sec²θ − tan²θ = 1 ja teguriteks lahutada, saame (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1, nii et vahe on täpselt 1 jagatud summaga: 1/114,5887 ≈ 0,0087. Lohista θ 90°-le lähemale: summa kasvab tõkestamatult, vahe kahaneb 0 poole, ja 90° juures ei ole kumbki funktsioon määratud. Sama tegurdatud kuju on ühe tuntud tõestuse tuum: 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, sest kui korrutada murru lugejat ja nimetajat avaldisega sec θ + tan θ, jääb nimetajaks 1.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Sekans, kosekans, kotangens ja Pythagorase samasused

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

Kolm samasust on üks kolmnurk kolmes suuruses 🖖

√(1 − sin²θ) ei ole cos θ 🖖

90° lähedal on sec θ ja tan θ tohutud ja peaaegu võrdsed 🖖

Kolm samasust on üks kolmnurk kolmes suuruses

√(1 − sin²θ) ei ole cos θ

90° lähedal on sec θ ja tan θ tohutud ja peaaegu võrdsed