Ruumala ristlõigete abil

Kui lõigata keha teljega risti õhukesteks viiludeks, on selle ruumala viilude pindalade ja paksuste korrutiste summa: V = ∫A(x) dx. Kettad, seibid ja etteantud kujuga ristlõiked taanduvad kõik sellelesamale põhimõttele, erineb vaid A(x). Lehel on kujutatud tasandiline piirkond, lõige kohal x otsevaates ning ristlõike pindala piki telge, mille alune pindala annabki ruumala.

Ruumala ristlõigetest	$V=\int_{a}^{b}A(x)\,dx$
Seib	$A(x)=\pi\left(R(x)^{2}-r(x)^{2}\right)$

Näidisarvutus — Ruumala ristlõigete abil

Lõike pindala kohal x	0,7854
Ruumala, lõikepindalade integraal	3,1416

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ruumala ristlõigete abil

Kui keha ristlõike pindala kohal x on lõigul a ≤ x ≤ b võrdne funktsiooniga A(x), siis selle keha ruumala on V = ∫ₐᵇ A(x) dx. Pööramisel ümber telje tekivad kettad pindalaga A = πR² või seibid pindalaga A = π(R² − r²), kus R ja r tähistavad kaugust pöörlemisteljest.

Mida iga sümbol tähendab

A(x): teljega risti oleva lõike pindala kohal x
R, r: seibi välis- ja siseradius, mõõdetuna pöörlemisteljest

Kust valem tuleb

Viiluta ja liida viilud kokku. Õhukese viilu paksusega Δx ruumala on ligikaudu A(x)Δx. Liites need kokku ja lastes suurusel Δx läheneda nullile, saab summast integraal.
$V\approx\sum_{i}A(x_i)\,\Delta x\ \longrightarrow\ \int_{a}^{b}A(x)\,dx$
Kettad ja seibid. Tasandilise kujundi pööramisel ümber telje on iga lõige kas ketas või auguga ketas: lahuta ava pindala, mitte selle raadius.
$A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)\ne\pi(R-r)^{2}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Ketas ümber x-telje 1 sammu
Leia ruumala, kui joone y = √x alla jäävat kujundit lõigul [0, 4] pööratakse ümber x-telje.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Iga lõige on ketas raadiusega √x:
  
  $V=\int_{0}^{4}\pi\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\cdot8$
Vastus

8π ≈ 25,1327.

$V=8\pi\approx25{.}1327$
Koonuse valem ketaste kaudu 2 sammu
Tõesta, et koonuse ruumala raadiusega r ja kõrgusega h on πr²h/3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Asetame koonuse piki x-telge nii, et tipp on punktis 0: raadius kohal x on rx/h.
  
  $R(x)=\frac{r}{h}x,\qquad 0\le x\le h$
2. Integreerime ketaste pindalad:
  
  $V=\int_{0}^{h}\pi\frac{r^{2}}{h^{2}}x^{2}\,dx=\pi\frac{r^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{h^{3}}{3}=\frac{\pi r^{2}h}{3}$
Vastus

πr²h/3. Kui r = 1 ja h = 3, annab leht tulemuseks 3,1416 ehk π.

$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$
Seib 1 sammu
Joonte y = x ja y = x² vahelist kujundit lõigul [0, 1] pööratakse ümber x-telje. Leia ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Välisraadius on x ja siseradius x²:
  
  $V=\int_{0}^{1}\pi\left(x^{2}-x^{4}\right)dx=\pi\left(\tfrac13-\tfrac15\right)=\frac{2\pi}{15}$
Vastus

2π/15 ≈ 0,4189. Valemist π∫(x − x²)² dx saame 0,1047, mille eest hoiatab seibide selgitus.

$V=\frac{2\pi}{15}\approx0{.}4189$
Seib ümber teise sirge 2 sammu
Joone y = x² alla jäävat kujundit lõigul [0, 1] pööratakse ümber sirge y = −1. Leia ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Mõõdame raadiused sirgest y = −1: välisserv on kohal x² + 1 ja ava kohal 1 (x-telg):
  
  $R=x^{2}+1,\quad r=1$
2. Avame sulud ja integreerime:
  
  $V=\int_{0}^{1}\pi\left(\left(x^{2}+1\right)^{2}-1\right)dx=\pi\int_{0}^{1}\left(x^{4}+2x^{2}\right)dx=\pi\left(\tfrac15+\tfrac23\right)$
Vastus

13π/15 ≈ 2,7227. Kui unustada raadiuseid 1 võrra nihutada, saame ketta ruumala ümber x-telje ehk π/5, mis tähistab hoopis teist keha.

$V=\frac{13\pi}{15}\approx2{.}7227$
Ruudukujulised ristlõiked 1 sammu
Keha põhjaks on joone y = √x alla jääv kujund lõigul [0, 4]. Iga x-teljega risti asetsev ristlõige on ruut. Leia ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ruudu külg kohal x on √x:
  
  $V=\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}dx=\int_{0}^{4}x\,dx=8$
Vastus

8. Ei mingit pöörlemist ega arvu π: ristlõike kuju määrab funktsiooni A(x) ja rohkem polegi vaja.

$V=8$
Poolringikujulised ristlõiked 1 sammu
Keha põhjaks on ring x² + y² ≤ 1. X-teljega risti asetsevad ristlõiked on kõõludele toetuvad poolringid. Leia ruumala.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõõlu pikkus kohal x on 2√(1 − x²), seega on poolringi raadius √(1 − x²):
  
  $A(x)=\tfrac12\pi\left(1-x^{2}\right),\qquad V=\int_{-1}^{1}\tfrac12\pi\left(1-x^{2}\right)dx=\tfrac12\pi\cdot\tfrac43$
Vastus

2π/3 ≈ 2,0944. Täpselt pool ühikkera ruumalast, kus täisringide asemel on poolringid.

$V=\frac{2\pi}{3}\approx2{.}0944$
Kera 1 sammu
Tõesta, et kera ruumala raadiusega r on 4πr³/3.
Näita lahendust
1. Pöörame poolringi y = √(r² − x²) ümber x-telje: ketta raadius kohal x on √(r² − x²).
  
  $V=\int_{-r}^{r}\pi\left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi\left(2r^{3}-\tfrac{2r^{3}}{3}\right)$
Vastus

4πr³/3. Archimedes leidis selle kahe kolmandikuna kera ümber kirjeldatud silindri ruumalast 2πr³.

$V=\frac{4\pi r^{3}}{3}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Pööra joone y = x² alla jäävat piirkonda, kus 0 ≤ x ≤ 2, ümber x-telje. Leia ruumala.

Näita vastust

32π/5 ≈ 20,1062.

$V=\frac{32\pi}{5}\approx20{.}1062$
Pööra joontega y = x³ ja y = 8 ning y-teljega piiratud piirkonda ümber y-telje. Leia ruumala.

Näita vastust

96π/5 ≈ 60,3186. Risti y-teljega lõigates: ringid raadiusega x = ∛y, kus 0 ≤ y ≤ 8.

$V=\int_{0}^{8}\pi y^{2/3}\,dy=\frac{96\pi}{5}\approx60{.}3186$
Pööra joonte y = x² ja y = 1 vahele jäävat piirkonda ümber sirge y = 1. Leia ruumala.

Näita vastust

16π/15 ≈ 3,351. Ringid raadiusega 1 − x², mõõdetuna pöörlemisteljest allapoole, kus −1 ≤ x ≤ 1.

$V=\int_{-1}^{1}\pi\left(1-x^{2}\right)^{2}dx=\frac{16\pi}{15}\approx3{.}351$
Keha põhjaks on ring x² + y² ≤ 1 ning iga x-teljega risti olev ristlõige on võrdkülgne kolmnurk. Leia selle ruumala.

Näita vastust

4√3/3 ≈ 2,3094. Küljega s võrdkülgse kolmnurga pindala on (√3/4)s² ning siin s = 2√(1 − x²).

$V=\int_{-1}^{1}\sqrt3\left(1-x^{2}\right)dx=\frac{4\sqrt3}{3}\approx2{.}3094$
Poolkerakujulises kausis raadiusega 10 cm on vett 4 cm sügavuselt. Leia vee ruumala.

Näita vastust

416π/3 ≈ 436 cm³. Kõrgusel y põhjast on vee ristlõikeks ring, kus r² = 100 − (10 − y)², kui 0 ≤ y ≤ 4.

$\begin{aligned}V&=\int_{0}^{4}\pi\left(20y-y^{2}\right)dy\\&=\frac{416\pi}{3}\approx436\ \mathrm{cm^{3}}\end{aligned}$

Koonus moodustab täpselt kolmandiku oma silindrist ja lõiked näitavad, miks

Klõpsa nupule Koonus ja kolmandik. Lõige kohal x on ketas raadiusega x/3, seega kasvab selle pindala ruudus: tipu juures on see pisike, põhjal aga π. Ruumala on kõvera A(x) alune pindala vahemikus 0 kuni 3. Kuna ∫x² dx = x³/3, moodustab ruutfunktsiooni alune pindala alati kolmandiku seda ümbritsevast ristkülikust. Too ristkülik on omakorda π korda 3 ehk silinder. Koonuse ruumala on seega π ehk kolmandik silindrist, ja see kehtib iga koonuse puhul, olgu selle kõrgus või raadius milline tahes. Kolmandiku seaduspära pani kirja Demokritos ning Archimedes omistas selle tõestuse Eudoxosele; lõikemeetod annab sama tulemuse üheainsa integraaliga.

Seib on kahe pindala vahe, mitte vahe pindala

Klõpsa nupule Pindalad, mitte raadiused. Iga lõige on ketas raadiusega x, millest on välja lõigatud ketas raadiusega x². Lõike pindala on π(x² − x⁴) ja keha ruumala 2π/15 ≈ 0,4189. Ahvatlev oleks võtta ruutu hoopis raadiuste vahe, π(x − x²)², ja leht arvutab ka selle integraali: tulemus on 0,1047, siin täpselt veerand õigest. Need kaks avaldist erinevad igal lõikel liikme 2πr(R − r) võrra, mis pole iial negatiivne. Seetõttu jääb lihtsustatud arvutus alati liiga väikeseks. Ava on ketas raadiusega r ja just selle pindala tuleb maha lahutada.

Ruumala sõltub üksnes lõigete pindalast, mitte nende paigutusest

Klõpsa nupule Ruutlõiked ja seejärel Poolringlõiked. Kumbagi keha pole saadud pöörlemisel: ühel toetuvad piirkonnale ruudud, teisel kettale poolringid. Leht arvutab mõlema ruumala täpselt samamoodi, integreerides funktsiooni A(x), sest lõigete muud omadused ei loe. Kui lükata mündivirn viltu, ei muutu selle ruumala kuhugi: iga viil säilitab oma pindala. Bonaventura Cavalieri sõnastas selle seaduspära 1635. aastal; Zu Chongzhi poeg Zu Geng oli Hiinas sama põhimõtet kasutanud juba 500. aasta paiku.

Õpitee

Integraali rakendused

Allikad (4)

The method as the page computes it: the slicing method, V = ∫ₐᵇ A(x) dx, derived from Riemann sums, the disk method (equation 6.3) and the washer method (equation 6.5, π[(f(x))² − (g(x))²]): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: the cone as one third of the cylinder, first stated by Democritus, the proof attributed to Eudoxus by Archimedes in On the Sphere and Cylinder: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Eudoxus of Cnidus”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).
Insight block 3: Cavalieri's principle in his Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Bonaventura Francesco Cavalieri”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated July 2014).
Insight block 3: Zu Geng's principle, “a generalisation of what is often called Cavalieri's principle”; Zu Geng born about 450, died about 520: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.