Kogunemine ja liikumine

Kiirust integreerides leiame asukoha nihke. Kiiruse absoluutväärtust integreerides saame aga teada, kui pika tee keha päriselt läbis. Niipea kui liikumissuund pöördub, lähevad need kaks lahku. Joonisel on edasi- ja tagasiliikumine eri värvi, näha on asukohakõver ning märgitud hetked, mil kiirus ühtib oma keskväärtusega.

Teepikkus ja nihe	$\int_{a}^{b}v\,dt=s(b)-s(a),\qquad d=\int_{a}^{b}\left\|v\right\|dt$
Keskväärtus	$\bar f=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\,dt$

Näidisarvutus — Kogunemine ja liikumine

Nihe	1,3333
Teepikkus, jaotatud pööretel	4
Keskmine kiirus	0,3333
Keskmine liikumiskiirus	1
Hetked, mil v ühtib keskmisega	0,8453, 3,1547

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kogunemine ja liikumine

Kui kiirus lõigul [a, b] on v(t), siis nihe on ∫ₐᵇ v dt ja läbitud teepikkus ∫ₐᵇ |v| dt. Funktsiooni f keskväärtus lõigul [a, b] on (1/(b − a))∫ₐᵇ f dt: ristküliku kõrgus lõigul [a, b], mille pindala on võrdne funktsiooni f aluse pindalaga.

Mida iga sümbol tähendab

v̄: keskmine kiirus: nihe jagatud kulunud ajaga

Kust valem tuleb

Teepikkus: jaota pöördepunktides. Kohas, kus v muudab märki, pöörab keha ringi ning funktsioonil |v| on kummalgi pool eri eeskiri. Integreeri järjestikuste pöördepunktide vahel ning liida tulemuste absoluutväärtused.
$\int_{a}^{b}\left|v\right|dt=\sum_{i}\left|\int_{t_i}^{t_{i+1}}v\,dt\right|,\qquad v(t_i)=0$
Keskväärtus saavutatakse. Pidev funktsioon f lõigul [a, b] omandab iga väärtuse oma miinimumi m ja maksimumi M vahel. Kuna keskväärtus jääb nende vahele, omandab f kuskil punktis c oma keskväärtuse.
$m\le\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\,dt\le M\ \Rightarrow\ f(c)=\bar f$

Ülesanded täielikult lahendatud

Keskväärtus ja selle saavutamise koht 2 sammu
Leia funktsiooni f(t) = t² keskväärtus lõigul [0, 3] ning ajahetk, mil f selle omandab.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Jaga integraal lõigu pikkusega:
  
  $\bar f=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}t^{2}\,dt=\frac{1}{3}\cdot9=3$
2. Lahenda võrrand f(c) = 3 antud lõigul:
  
  $c^{2}=3\ \Rightarrow\ c=\sqrt3$
Vastus

Keskväärtus on 3, mis saavutatakse kohal c = √3 ≈ 1,7321. Mitte keskpunktis 1,5, kus t² on kõigest 2,25.

$\bar f=3,\quad c=\sqrt3\approx1{.}7321$
Nihe ja teepikkus 2 sammu
Osake liigub kiirusega v(t) = t² − 4t + 3 vahemikus 0 ≤ t ≤ 4. Leia tema nihe ja läbitud teepikkus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Nihe on tavaline integraal:
  
  $\int_{0}^{4}\left(t^{2}-4t+3\right)dt=\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-2t^{2}+3t\Bigr]_{0}^{4}=\tfrac{4}{3}$
2. Liikumissuund pöördub seal, kus v = 0, ehk hetkedel t = 1 ja t = 3, seega jaota teepikkus nendest punktidest:
  
  $\tfrac43+\left|-\tfrac43\right|+\tfrac43=4$
Vastus

Nihe on 4/3, läbitud teepikkus 4. Igaüks kolmest lõigust annab teepikkuseks 4/3; keskmine kulgeb tagasisuunas.

$\Delta s=\tfrac43,\qquad d=4$
Asukoht kiiruse ja algpunkti järgi 2 sammu
v(t) = 3t² − 6t ja s(0) = 2. Leia s(t) ning asukoht hetkel t = 3.
Näita lahendust
1. Asukoht on algpunkt liidetuna kiiruse integraaliga:
  
  $s(t)=2+\int_{0}^{t}\left(3\tau^{2}-6\tau\right)d\tau=t^{3}-3t^{2}+2$
2. Hetkel t = 3:
  
  $s(3)=27-27+2=2$
Vastus

s(t) = t³ − 3t² + 2 ja s(3) = 2. Tagasi alguspunktis: keha liikus tagasisuunas hetkeni t = 2, kus s = −2, ning seejärel taas edasi.

$s(t)=t^{3}-3t^{2}+2,\qquad s(3)=2$
Siinuse keskväärtus 1 sammu
Leia funktsiooni sin t keskväärtus lõigul [0, π].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kaarealune integraal jagatuna selle laiusega:
  
  $\bar f=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt=\frac{1}{\pi}\Bigl[-\cos t\Bigr]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi}$
Vastus

2/π ≈ 0,6366. Graafik märgib mõlemad hetked, mil see saavutatakse: 0,6901 ning π − 0,6901 = 2,4515.

$\bar f=\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366$
Kogunemine muutumiskiirusest 1 sammu
Vesi voolab paaki kiirusega r(t) = 20 − 4t liitrit minutis, kui 0 ≤ t ≤ 5. Kui palju vett paaki koguneb?
Näita lahendust
1. Veekogus on voolukiiruse integraal:
  
  $\int_{0}^{5}(20-4t)\,dt=\Bigl[20t-2t^{2}\Bigr]_{0}^{5}=100-50$
Vastus

50 liitrit. Kiirus langeb nulli hetkel t = 5, seega võrdub kogus kolmnurga pindalaga, mille alus on 5 ja kõrgus 20 – lihtne kontroll ilma integraalarvutuseta.

$50\ \mathrm{L}$
Edasi-tagasi teekond 2 sammu
v(t) = sin t lõigul [0, 2π]. Leia keskmine kiirus ja keskmine liikumiskiirus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Nihe kogu perioodi vältel on 0:
  
  $\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0$
2. Teepikkus jaotatakse punktis π:
  
  $\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt-\int_{\pi}^{2\pi}\sin t\,dt\right)=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}$
Vastus

Keskmine kiirus 0, keskmine liikumiskiirus 2/π ≈ 0,6366. Edasi-tagasi teekonnal on keskmine kiirus alati 0, ükskõik kui kiiresti liiguti.

$\bar v=0,\qquad\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia 1/x keskväärtus lõigul [1, e] ja punkt, kus see saavutatakse.

Näita vastust

1/(e − 1) ≈ 0,582, saavutatakse kohal x = e − 1 ≈ 1,7183.

$\bar f=\frac{1}{e-1}\approx0{.}582,\qquad c=e-1\approx1{.}7183$
Osake alustab liikumist paigalseisust kiirendusega a(t) = 6t − 6. Leia v(t) ning nihe ja läbitud teepikkus, kui 0 ≤ t ≤ 3.

Näita vastust

v(t) = 3t² − 6t. Nihe on 0 ja läbitud teepikkus 8: hetkeni t = 2 liigub see 4 tagasi ning seejärel 4 edasi.

$v(t)=3t^{2}-6t,\qquad\Delta s=0,\qquad d=8$
Paak lekib kiirusega 10e^−0,2t liitrit minutis. Kui palju lekib esimese 10 minutiga?

Näita vastust

50(1 − e⁻²) ≈ 43,2 liitrit. Lekigu paak kuitahes kaua, koguhulk jääb alla 50 liitri.

$\int_{0}^{10}10e^{-0.2t}\,dt=50\left(1-e^{-2}\right)\approx43{.}2\ \mathrm{L}$
Temperatuur t tundi pärast kella 6 hommikul on T(t) = 20 + 5 sin(πt/12) °C. Leia esimese 12 tunni keskmine temperatuur.

Näita vastust

20 + 10/π ≈ 23,2 °C.

$\bar T=20+\frac{10}{\pi}\approx23{.}2\ ^{\circ}\mathrm{C}$
Leia selline b > 0, mille korral x² keskväärtus lõigul [0, b] on 12.

Näita vastust

b = 6, sest b²/3 = 12.

$\frac{b^{2}}{3}=12\ \Rightarrow\ b=6$

Nihe näitab, kuhu jõuti, teepikkus aga seda, kui palju liiguti

Vali Kolm korda kaugemale. Kiirus t² − 4t + 3 on positiivne kuni hetkeni t = 1, vahemikus 1 kuni 3 negatiivne ning seejärel taas positiivne. Lõigul [0, 4] integreerides taandab tagasisuunaline liikumine osa edasiliikumisest maha: keha lõppasukoht jääb algusest 1,3333 kaugusele. Ometi läbis see teepikkuse 4 – tervelt kolm korda enam, sest igaüks kolmest lõigust katab pikkuse 4/3 ning üksnes kiiruse absoluutväärtus arvestab neid kõiki teepikkusena. Kiiruse integraal annab vastuseks asukoha; teepikkuse leidmiseks tuleb liikumine pöördepunktides jaotada ning lõigud positiivsete arvudena kokku liita.

Keskväärtus saavutatakse alati kuskil, ent harva keskpunktis

Vali t²: mitte keskpunktis. Funktsiooni t² keskväärtus lõigul [0, 3] on 9/3 = 3 ning katkendjoon lõikab kõverat ühes punktis: t = √3 ≈ 1,7321. Lõigu keskpunkt on 1,5, kus t² väärtus on kõigest 2,25. Pideva funktsiooni korral saavutatakse keskväärtus vaheväärtusteoreemi tõttu alati kuskil vahemikus, sest keskmine jääb vähima ja suurima väärtuse vahele. Kus täpselt, sõltub graafiku kujust: lõpu poole kiiremini kasvav funktsioon nagu t² jõuab oma keskmiseni hilja.

Täisvõnke keskmine kiirus on null, kuid keskmine liikumiskiirus mitte

Vajuta Täisvõnge. Terve võnke vältel liigub sin t edasi ja naaseb alguspunkti: nihe on 0, seega ka keskmine kiirus 0, ehkki alguse ja lõpu vahel peatub see vaid pöördepunktis. Keskmine teekiirus (teepikkus jagatud ajaga) on 4/(2π) = 2/π ≈ 0,6366. Vajuta nüüd Poolvõnge: sin t keskväärtus lõigul [0, π] on samuti 2/π. See pole juhus. Võnke teisel poolel läbitakse sama ajaga sama teepikkus mis esimesel, mistõttu kogu võnke keskmine teekiirus võrdub poole võnke keskmise kiirusega.

Õpitee

Integraali rakendused

Allikad (2)

Displacement against distance as the page computes them: the Net Change Theorem (Theorem 5.6, F(b) = F(a) + ∫ₐᵇ F′(x) dx) and Examples 5.24 and 5.25, net displacement from ∫v and total distance from ∫|v| split where v changes sign: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.4, “Integration Formulas and the Net Change Theorem”.
The average value reached somewhere: the Mean Value Theorem for Integrals (Theorem 5.3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.