Impulsi ja kokkupõrgete labor

Simuleeri 1D vankrite põrkeid, et uurida impulsi jäävust, kineetilise energia muutusi ja põrkekoefitsienti.

Liikumishulk säilib igal põrkel	$m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2$
Põrketegur: e = 1 elastne, e = 0 liituvad	$v_2-v_1=e\,(u_1-u_2),\qquad 0\le e\le1$
Jõuimpulss: liikumishulga muutus	$J=\bar F\,\Delta t=m(v-u)=\Delta p$

Näidisarvutus — Impulsi ja kokkupõrgete labor

Algimpulss (Pi)	3 kg·m/s
Käru 1 pärast (v₁)	−1,8 m/s
Käru 2 pärast (v₂)	2,2 m/s
Eemaldumiskiirus	4 m/s
Lõppimpulss (Pf)	3 kg·m/s
Algenergia (Ki)	10,5 J
Lõppenergia (Kf)	10,5 J
Kineetilise energia kadu	0 J (0%)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Impulsi ja kokkupõrgete labor

Keha liikumishulk on tema massi ja kiiruse korrutis, p = mv, ning ühes mõõtmes määrab suuna märk. Kokkupõrkel tõukavad kaks käru vaid teineteist, mistõttu on nende koguliikumishulk pärast põrget täpselt sama mis enne, ükskõik kuidas põrge nende kineetilist energiat ka ei muudaks.

Mida iga sümbol tähendab

p: liikumishulk, mv, ühikuga kg·m/s. Liikumine paremale on positiivne, seega vasakule liikuva käru liikumishulk on negatiivne.
u: kiirus enne põrget: vasakpoolsel kärul 1 u₁ ja parempoolsel kärul 2 u₂. Kärud kohtuvad vaid siis, kui u₁ > u₂.
v: kiirus pärast põrget.
e: põrketegur: kärude eemaldumiskiiruse ja lähenemiskiiruse suhe. 1 säilitab kogu suhtelise liikumise kineetilise energia; 0 paneb kärud liituma.
J: jõuimpulss ehk ühe käru liikumishulga muutus ühikutes N·s. Ajavahemiku Δt vältava kokkupuute kestel võrdub see keskmise jõu ja Δt korrutisega.

Kust valem tuleb

Jõuimpulss on liikumishulga muutus. Newtoni teine seadus üle kogu kokkupõrke aja: jõu ja mõjumisaja korrutis ongi lisanduv liikumishulk.
$J=\int F\,dt=\bar F\,\Delta t=m(v-u)=\Delta p$
Newtoni kolmanda seaduse tõttu on mõlema käru jõuimpulsid võrdsed ja vastassuunalised. Kumbki käru tõukab teist sama tugevalt ja sama kaua. Mida käru 2 juurde saab, selle käru 1 kaotab.
$\begin{gathered}m_2(v_2-u_2)=-m_1(v_1-u_1)\\ \Rightarrow\ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2\end{gathered}$
See on üks võrrand kahe tundmatuga, teise annab põrketegur. See kõrvutab kärude eemaldumis- ja lähenemiskiirust ning on ainus koht, kus tuleb mängu põrke iseloom.
$v_2-v_1=e\,(u_1-u_2)$
Lahendame võrrandipaari. Just neid seoseid tulemuste tabel samm-sammult arvutabki.
$\begin{gathered}v_1=\frac{(m_1-em_2)u_1+m_2(1+e)u_2}{m_1+m_2}\\ v_2=\frac{(m_2-em_1)u_2+m_1(1+e)u_1}{m_1+m_2}\end{gathered}$
Kineetilise energia kadu sõltub üksnes suhtelisest kiirusest. See on null, kui e = 1, ja suurim siis, kui e = 0 ning kärud liituvad. Samad massid kaotavad sama suhtelise kiiruse juures alati sama palju energiat, sõltumata sellest, kuhu paar tervikuna parajasti teel on.
$\Delta K=\tfrac12\,\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,(1-e^{2})\,(u_1-u_2)^{2}$

Eeldab: Kärud liiguvad piki ühte sirget ning puutuvad kokkupõrkel kokku vaid omavahel, mistõttu hõõrdumine ja rada lisaimpulssi ei anna. Põrketegur on paari peale üksainus arv, ehkki päris materjalide puhul kahaneb see löögi tugevnedes. Animatsiooni seinad jäävad kahe käru süsteemist välja: seinapõrge pöörab ühe käru ümber, mis muudab koguliikumishulka, ent jätab kineetilise energia puutumata.

Mõlemad kärud saavad sama suure impulsi

Olgu massid millised tahes, saavad kaks käru alati võrdse suurusega, ent vastassuunalise impulsi. Kumbki lükkab teist täpselt sama jõuga, kui teda ennast lükatakse (see on Newtoni kolmas seadus), ja kokkupuute vältus on sama. Impulsi jäävus polegi midagi enamat kui nende kahe vastassuunalise impulsi teineteist taandav summa. Vajuta Kerge põrkub raskelt tagasi: 8 kg kärule mõjuv impulss on 5,3333 N·s ning 1 kg käru impulss muutub täpselt sama palju vastassuunas, väärtuselt 3 väärtuseni −2,3333 kg·m/s. Kerge käru kiirus muutub kaheksa korda rohkem, sest tema mass on vaid kaheksandik teise omast. Esiklaasiga põrkuv kärbes tõukab klaasi täpselt sama tugevalt, kui klaas tõukab kärbest — tagajärjed erinevad üksnes selle poolest, kui suurt massi kumbki jõud liigutama peab.

Üks arv, mis määrab põrke

Põrketegur e on selle tööriista keskne seadenupp. See on eemaldumiskiiruse ja lähenemiskiiruse jagatis: e = 1 tähistab ideaalset põrget, milleni ükski päris pall ei küüni (põrkepall saavutab umbes 0,9), samas kui e = 0 tähendab, et kärud kleepuvad kokku nagu märg savi. Seda saab mõõta koduski. Lase pallil kukkuda ja jaga põrkekõrgus kukkumiskõrgusega — tulemus on e². Korvpallil, mis põrkab tagasi umbes 64% kukkumiskõrgusest, on e ≈ 0.8.

Voyager 2 mängis Jupiteriga piljardit

Kosmoseaparaadi gravitatsiooniabi manööver järgib täpselt neid reegleid, ilma et miski üldse kokku puutuks. Planeedi taustsüsteemis on möödalend täiuslikult elastne (e = 1): sond lahkub sama kiirusega, millega saabus, ainult suund muutub. Päikese taustsüsteemis võib ta aga saada peaaegu kahekordse planeedi orbitaalkiiruse. Nõnda kogus Voyager 2 Jupiteri juures umbes 10 km/s — laenatuna planeedi orbitaalliikumisest, mis vastutasuks aeglustus täiesti tühise koguse võrra.

PÕRKED — IMPULSS SÄILIB ALATI, ENERGIA SAGELI MITTE

Millist põrget sa modelleerid?

Kõik siinsed põrked säilitavad impulsi: m₁u₁ + m₂u₂ on enne ja pärast alati sama. Juhtumid erinevad selle poolest, kui palju kineetilist energiat alles jääb, ja selle otsustab üksainus arv — taastetegur e ehk eemaldumiskiirus jagatud lähenemiskiirusega. Vali kõigepealt e; masside suhe ütleb siis, kes kuhu edasi liigub.

Täiesti elastne (e = 1) — kineetiline energia jääb täielikult alles e = 1, K′ = K

Täiesti mitteelastne (e = 0) — nad jäävad kokku ja kaotavad kõige rohkem e = 0, v₁ = v₂

Osaliselt elastne (0 < e < 1) — päris maailma kesktee e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Raske tabab kerget — väike lastakse teele m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Kerge tabab rasket — see põrkab otse tagasi m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Täiesti elastne (e = 1) — kineetiline energia jääb täielikult alles

Mida sa tead: Miski ei deformeeru jäävalt ega soojene: kärud eemalduvad täpselt sama kiiresti, kui nad lähenesid. Nii impulss kui ka kineetiline energia säilivad.

Taastetegur: e = 1, K′ = K

Näidisarvutus: 2 kg kiirusega +3 m/s kohtub 2 kg-ga kiirusel −3 m/s, e = 1 → nad lahkuvad kiirustega −3 ja +3 m/s. Kiirused lihtsalt vahetuvad ja kõik 18 J on alles.

Ava see juhtum: Piljardipallide põrge

Täiesti elastne (e = 1) — kineetiline energia jääb täielikult alles. Võrdsed massid, e = 1: kärud vahetavad kiirused ja hoiavad iga džauli alles. Miski ei deformeeru jäävalt ega soojene: kärud eemalduvad täpselt sama kiiresti, kui nad lähenesid. Nii impulss kui ka kineetiline energia säilivad. — Võrdsed massid, e = 1: kärud vahetavad kiirused ja hoiavad iga džauli alles.

Täiesti mitteelastne (e = 0) — nad jäävad kokku ja kaotavad kõige rohkem

Mida sa tead: Kärud lahkuvad ühe ühise kiirusega, seega eemaldumiskiirus on null. Impulss on endiselt paigas, aga kineetilise energia kadu on nii suur, kui üldse olla saab.

Taastetegur: e = 0, v₁ = v₂

Näidisarvutus: 2 kg kiirusega 3 m/s tabab paigalseisvat 3 kg, e = 0 → mõlemad liiguvad edasi kiirusega 1,2 m/s ja algsest 9 J-st on kadunud 5,4 J: 60 %.

Ava see juhtum: Mitteelastne kleepuv põrge

Täiesti mitteelastne (e = 0) — nad jäävad kokku ja kaotavad kõige rohkem. e = 0 korral liiguvad kärud koos edasi ja puuduv energia on läinud purustustesse. Kärud lahkuvad ühe ühise kiirusega, seega eemaldumiskiirus on null. Impulss on endiselt paigas, aga kineetilise energia kadu on nii suur, kui üldse olla saab. — e = 0 korral liiguvad kärud koos edasi ja puuduv energia on läinud purustustesse.

Osaliselt elastne (0 < e < 1) — päris maailma kesktee

Mida sa tead: Kärud küll eemalduvad, kuid aeglasemalt, kui nad lähenesid. e on nende kahe suhe: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂).

Taastetegur: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Näidisarvutus: 3 kg kiirusega +4 m/s kohtub 2 kg-ga kiirusel −2 m/s, e = 0,5 → v₁ = +0,4 ja v₂ = +3,4 m/s. Lähenemine 6 m/s tuleb tagasi 3 m/s-na ja 28 J-st kaob 16,2 J.

Ava see juhtum: Bumper-auto reaalne põrge

Osaliselt elastne (0 < e < 1) — päris maailma kesktee. 0 < e < 1 korral lahkuvad nad aeglasemalt, kui kohtusid, ja vahe läheb soojuseks. Kärud küll eemalduvad, kuid aeglasemalt, kui nad lähenesid. e on nende kahe suhe: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂). — 0 < e < 1 korral lahkuvad nad aeglasemalt, kui kohtusid, ja vahe läheb soojuseks.

Raske tabab kerget — väike lastakse teele

Mida sa tead: Elastne põrge, kus m₁ on m₂-st palju suurem. Raske käru vaevu märkab lööki; kerge lahkub kiiremini, kui miski kohale jõudis.

Taastetegur: m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Näidisarvutus: 8 kg kiirusega 3 m/s tabab elastselt paigalseisvat 1 kg → raske käru aeglustub vaid 2,33 m/s-ni, kerge lahkub kiirusega 5,33 m/s, lähedal ülempiirile 2u₁.

Ava see juhtum: Raske tabab kerget

Raske tabab kerget — väike lastakse teele. m₁ ≫ m₂ korral veereb raske käru peaaegu muutumatult edasi ja kerge paiskub ette. Elastne põrge, kus m₁ on m₂-st palju suurem. Raske käru vaevu märkab lööki; kerge lahkub kiiremini, kui miski kohale jõudis. — m₁ ≫ m₂ korral veereb raske käru peaaegu muutumatult edasi ja kerge paiskub ette.

Kerge tabab rasket — see põrkab otse tagasi

Mida sa tead: Elastne põrge, kus m₁ on m₂-st palju väiksem. Saabuv käru pöörab ümber; raske vaevu liigub.

Taastetegur: m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Näidisarvutus: 1 kg kiirusega 3 m/s tabab elastselt paigalseisvat 8 kg → kerge käru põrkab tagasi kiirusega −2,33 m/s ja raske roomab edasi 0,67 m/s.

Ava see juhtum: Kerge põrkub raskelt tagasi

Kerge tabab rasket — see põrkab otse tagasi. m₁ ≪ m₂ korral põrkab kerge käru peaaegu saabumiskiirusega tagasi ja raske vaevu liigatab. Elastne põrge, kus m₁ on m₂-st palju väiksem. Saabuv käru pöörab ümber; raske vaevu liigub. — m₁ ≪ m₂ korral põrkab kerge käru peaaegu saabumiskiirusega tagasi ja raske vaevu liigatab.

Allikad (1)

Insight block 3 — the gravity assist as an elastic collision with a planet: G. A. Flandro, "Solar electric low-thrust missions to Jupiter with swingby continuation to the outer planets." Journal of Spacecraft and Rockets 5(9), 1029–1033, 1968 — the swingby trajectories that became the Voyager Grand Tour.

Ülesanded täielikult lahendatud

2 kg käru elastne põrkumine 3 kg käruga 5 sammu
2 kg käru kiirusel 3 m/s põrkub elastselt 3 kg käruga, mille kiirus on −1 m/s. Arvuta mõlema lõppkiirus kahe säilivusseaduse abil ning tee kindlaks, mida seesama kokkupõrge energias maksab, kui kärud hoopis kokku kleepuvad.
1. Kõigepealt impulss, sest see kehtib sõltumata sellest, mis põrke ajal toimub. Märgid edastavad suundi, nii et teise käru −1 lahutatakse.
  
  $p:\quad m_1u_1+m_2u_2=2(3)+3(-1)=3\ \mathrm{kg\,m/s}$
2. Teine kitsendus on kineetiline energia ja see on see, mis kehtib vaid siis, kui põrge on elastne. Sisse läheb 10,5 J.
  
  $K:\quad \tfrac12(2)(3)^2+\tfrac12(3)(-1)^2=9+1.5=10.5\ \mathrm{J}$
3. Kahe võrrandi lahendamisest, millest üks on ruutvõrrand, saab tegelikult hoiduda. Elastsel kokkupõrkel vahetab suhteline kiirus märki: kärud eemalduvad teineteisest täpselt sama kiiresti, kui nad lähenesid. See lineaarne seos asendab energiavõrrandit täielikult.
  
  $e=1:\quad v_2-v_1=e(u_1-u_2)=4,\qquad m_1v_1+m_2v_2=3$
4. Kaks lineaarvõrrandit annavad seejärel otse mõlemad kiirused. Kergem käru põrkub tagasi; raskemat tõugatakse edasi, kuid selle lõppkiirus on väiksem kui kergema käru saabumiskiirus.
  
  $\Longrightarrow\ v_1=-1.8\ \mathrm{m/s},\qquad v_2=2.2\ \mathrm{m/s}$
5. Kui sead nüüd põrketeguri nulli, liiguvad kärud üheskoos edasi oma kiiruste masskaalutud keskmisega 0,6 m/s, kaasas 0,9 J.
  
  $e=0:\ v=\frac{3}{5}=0.6\ \mathrm{m/s},\ K_f=\tfrac12(5)(0.6)^2=0.9\ \mathrm{J},\ \frac{K_i-K_f}{K_i}=\frac{9.6}{10.5}=91.43\%$
Vastus

Tööriist kuvab nii enne kui ka pärast 3 kg·m/s ning 10,5 J: säilivad nii impulss kui ka energia, mida elastne täpselt tähendabki. Kui sead põrketeguriks 0, seisab impulsi kohal endiselt 3, ent põrkejärgne kineetiline energia langeb väärtusele 0,9 J. 91,43% kineetilisest energiast on kadunud soojuseks, heliks ja püsivaks deformatsiooniks, ning impulss ei pane seda tähelegi.

$e=1:\ v_1=-1.8,\ v_2=2.2\ \mathrm{m/s},\ K_f=K_i;\qquad e=0:\ v=0.6\ \mathrm{m/s},\ \frac{\Delta K}{K_i}=91.43\%$
Kaks kokku kleepuvat vankrit 4 sammu
Paremale kiirusega 2,5 m/s liikuv 4,0 kg vanker kohtub vasakule kiirusega 5,0 m/s liikuva 1,0 kg vankriga ning nad haakuvad kokku. Leidke vankrite ühine kiirus ja kineetilise energia kadu.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Impulss enne põrget, kui loeme suuna paremale positiivseks (1,0 kg vankri kiirus on seega −5,0 m/s):
  
  $P_i=4(2{.}5)+1(-5)=5\ \mathrm{kg\,m/s}$
2. Vankrid liiguvad edasi ühise kiirusega, kandes kogu seda impulssi:
  
  $(m_1+m_2)v=P_i\ \Rightarrow\ v=\frac{5}{5}=1\ \mathrm{m/s}$
3. Kineetiline energia enne ja pärast põrget:
  
  $K_i=\tfrac12(4)(2{.}5)^{2}+\tfrac12(1)(5)^{2}=12{.}5+12{.}5=25\ \mathrm{J},\qquad K_f=\tfrac12(5)(1)^{2}=2{.}5\ \mathrm{J}$
4. Nende vahe ongi energiakadu; suhtelise kiiruse valem võimaldab selle leida ka lõppkiirust teadmata:
  
  $\Delta K=25-2{.}5=22{.}5\ \mathrm{J}=\tfrac12\cdot\frac{4\cdot1}{4+1}\cdot(2{.}5+5)^{2}$
Vastus

1 m/s paremale ning 25 J kineetilisest energiast kaob 22,5 J ehk 90%. Kergemal vankril oli enne põrget sama palju kineetilist energiat kui raskel, ometi liigub paar edasi raskema vankri suunas. Liikumissuuna määrab impulss, mitte energia.

$v=1\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta K=22{.}5\ \mathrm{J}\ (90\%)$
Põrge teguriga e = 0,6 4 sammu
Kiirusega 4,0 m/s liikuv 1,5 kg vanker tabab paigalseisvat 2,5 kg vankrit. Põrketegur on 0,6. Leidke mõlema vankri kiirus pärast põrget ning kineetilise energia kadu.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Impulss:
  
  $1{.}5(4)+2{.}5(0)=1{.}5v_1+2{.}5v_2=6$
2. Põrketegur: vankrid eemalduvad teineteisest kiirusega, mis moodustab 0,6 esialgsest 4,0 m/s lähenemiskiirusest.
  
  $v_2-v_1=0{.}6\,(4-0)=2{.}4$
3. Asendame seose v₂ = v₁ + 2,4 impulsi võrrandisse:
  
  $1{.}5v_1+2{.}5(v_1+2{.}4)=6\ \Rightarrow\ 4v_1=0\ \Rightarrow\ v_1=0,\quad v_2=2{.}4\ \mathrm{m/s}$
4. Kineetiline energia enne ja pärast põrget:
  
  $K_i=\tfrac12(1{.}5)(4)^{2}=12\ \mathrm{J},\quad K_f=\tfrac12(2{.}5)(2{.}4)^{2}=7{.}2\ \mathrm{J},\quad \Delta K=4{.}8\ \mathrm{J}$
Vastus

Löögi andnud vanker seiskub täielikult ning teine eemaldub kiirusega 2,4 m/s; kaotsi läheb 4,8 J ehk 40% kineetilisest energiast. Vanker 1 jääb seisma, sest siin kehtib m₁ = e m₂ ehk 1,5 = 0,6 × 2,5, mis muudab v₁ valemi esimese liikme nulliks.

$v_1=0,\quad v_2=2{.}4\ \mathrm{m/s},\quad \Delta K=4{.}8\ \mathrm{J}\ (40\%)$
Teguri e leidmine toimunu põhjal 3 sammu
Kiirusega 4,0 m/s liikuv 1,0 kg vanker tabab paigalseisvat 3,0 kg vankrit ja põrkub tagasi kiirusega 0,50 m/s. Kui kiiresti liigub edasi 3,0 kg vanker ning kui suur on põrketegur?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tagasipõrge tähendab, et vankri kiirus on nüüd negatiivne. Impulsi jäävusest saame teise vankri kiiruse:
  
  $1(4)+3(0)=1(-0{.}5)+3v_2\ \Rightarrow\ v_2=\frac{4{.}5}{3}=1{.}5\ \mathrm{m/s}$
2. Põrketegur on eemaldumiskiiruse ja lähenemiskiiruse suhe:
  
  $e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2}=\frac{1{.}5-(-0{.}5)}{4-0}=0{.}5$
3. Kontrollime energiat, mis ei tohi olla kasvanud:
  
  $K_i=\tfrac12(1)(4)^{2}=8\ \mathrm{J},\quad K_f=\tfrac12(1)(0{.}5)^{2}+\tfrac12(3)(1{.}5)^{2}=3{.}5\ \mathrm{J}$
Vastus

1,5 m/s ning e = 0,5. Kui seada nende masside juures e väärtuseks 0,5, annab tabel uuesti ülesande lähtepunktiks olnud −0,5 m/s ning energiakaoks 4,5 J. Mõõtmine, mis annaks e väärtuseks üle 1, tähendaks kineetilise energia kasvu. Kuna siin pole vabanevat vedru ega laengut, on mõõtmine kindlasti vigane.

$v_2=1{.}5\ \mathrm{m/s},\qquad e=0{.}5$
Jõuimpulss ja keskmine jõud 4 sammu
2,0 kg käru liigub kiirusega 3,0 m/s, tabab paigalseisvat 3,0 kg käru ja need haakuvad kokku nagu katses Mitteelastne kleepuv põrge. Kokkupõrge kestab 50 ms. Leia kummalegi kärule mõjuv jõuimpulss ning nendevaheline keskmine jõud. Mis muutub, kui pehme põrkeraud pikendab kontakti aega 200 ms-ni?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ühine kiirus impulsi jäävusest:
  
  $v=\frac{2(3)+3(0)}{2+3}=1{.}2\ \mathrm{m/s}$
2. Jõuimpulss on kummagi käru impulsi muutus:
  
  $J_2=3\,(1{.}2-0)=3{.}6\ \mathrm{N\,s},\qquad J_1=2\,(1{.}2-3)=-3{.}6\ \mathrm{N\,s}$
3. Keskmine jõud on jõuimpulss jagatud kontakti ajaga:
  
  $\bar F=\frac{J}{\Delta t}=\frac{3{.}6}{0{.}050}=72\ \mathrm{N}$
4. Põrkeraud muudab aega, mitte kiirusi, mistõttu ei muutu ka jõuimpulss:
  
  $\Delta t=0{.}200\ \mathrm{s}:\quad \bar F=\frac{3{.}6}{0{.}200}=18\ \mathrm{N}$
Vastus

Kummalegi kärule 3,6 N·s vastassuundades; 50 ms vältel 72 N ja 200 ms vältel 18 N. Kontakti neljakordne pikendamine kahandab jõudu neli korda, jättes kiirused ning kaotatud 5,4 J täpselt samaks. Just sellel põhimõttel töötavad auto deformatsioonitsoon ja turvapadi: need ei saa muuta reisija impulsi muutust, küll aga jaotavad selle pikemale ajale.

$J=\pm3{.}6\ \mathrm{N\,s},\qquad \bar F=72\ \mathrm{N}\ (50\ \mathrm{ms}),\quad 18\ \mathrm{N}\ (200\ \mathrm{ms})$
Paigalseisust tõukumine 3 sammu
2,0 kg ja 3,0 kg käru seisavad paigal, nende vahel on kokkusurutud vedru. Vabastamisel liigub 3,0 kg käru paremale kiirusega 2,0 m/s. Leia 2,0 kg käru kiirus ning vedrus talletunud energia.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Koguimpulss on alguses null, seega peab see olema null ka pärast tõuget:
  
  $0=2v_1+3(2)\ \Rightarrow\ v_1=-3\ \mathrm{m/s}$
2. Kogu kineetiline energia pärineb vedrust:
  
  $E=\tfrac12(2)(3)^{2}+\tfrac12(3)(2)^{2}=9+6=15\ \mathrm{J}$
3. Kujutleme seda liikumist tagurpidi filmina: kärud lähenevad samadel kiirustel, haakuvad ja peatuvad. Mitteelastne kokkupõrge kiirustel u₁ = 3 m/s ja u₂ = −2 m/s ongi seesama tagurpidi pööratud film.
  
  $(m_1+m_2)v=2(3)+3(-2)=0\ \Rightarrow\ v=0,\qquad \Delta K=15\ \mathrm{J}$
Vastus

3 m/s vasakule ja 15 J. Impulsid on suuruselt võrdsed ja vastassuunalised, kuid kergem käru liigub nobedamalt ning saab 15 J-st endale 9 J. Tagasilöök on sisuliselt tagurpidi pööratud täiesti mitteelastne põrge, mistõttu jõuabki ülesanne kokkupõrkeni, kus kaovad kõik 15 J.

$v_1=-3\ \mathrm{m/s},\qquad E=15\ \mathrm{J}$
Pall vastu seina 4 sammu
0,40 kg pall tabab seina kiirusega 12 m/s ning põrkub samal sihil tagasi kiirusega 8,0 m/s. Kokkupõrge kestab 20 ms, kusjuures jõud kasvab ühtlaselt tipuni ja kahaneb ühtlaselt tagasi nulli. Leia jõuimpulss, keskmine jõud, maksimaalne jõud ning põrkekoefitsient.
Näita lahendust
1. Valime tagasipõrke suuna positiivseks, seega saabub pall kiirusega −12 m/s. Jõuimpulss võrdub impulsi muutusega:
  
  $J=m(v-u)=0{.}40\,\bigl(8-(-12)\bigr)=8\ \mathrm{N\,s}$
2. Keskmine jõud kontakti vältel:
  
  $\bar F=\frac{J}{\Delta t}=\frac{8}{0{.}020}=400\ \mathrm{N}$
3. Jõuimpulss on ühtlasi jõu ja aja graafiku alune pindala, antud juhul kolmnurk:
  
  $J=\tfrac12F_{\max}\,\Delta t\ \Rightarrow\ F_{\max}=\frac{2(8)}{0{.}020}=800\ \mathrm{N}$
4. Sein paigast ei liigu, seega on eemaldumiskiiruseks palli enda kiirus:
  
  $e=\frac{8}{12}=0{.}6667$
Vastus

8 N·s, keskmiselt 400 N, tipus 800 N ja e = 0,6667. Tagasipõrge suurendab jõuimpulssi: seina vastas täielikult peatuv pall vajaks 4,8 N·s, see siin nõuab aga 8.

$J=8\ \mathrm{N\,s},\quad \bar F=400\ \mathrm{N},\quad F_{\max}=800\ \mathrm{N},\quad e=0{.}6667$

Lisaülesanded, ainult vastustega

1 500 kg auto kiirusega 20 m/s sõidab tagant otsa samas suunas kiirusega 10 m/s liikuvale 1 000 kg autole ning mõlemad haakuvad kokku. Mis kiirusega need edasi liiguvad ja kui palju kineetilist energiat kaotsi läheb?

Näita vastust

16 m/s; 30 000 J.

$v=\frac{1500(20)+1000(10)}{2500}=16\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta K=350\,000-320\,000=30\,000\ \mathrm{J}$
0,20 kg pall kiirusega 5,0 m/s tabab otse ja elastselt paigalseisvat 0,30 kg palli. Leia mõlema palli kiirus pärast põrget.

Näita vastust

−1,0 m/s (põrkub tagasi) ja 4,0 m/s.

$v_1=\frac{0{.}20-0{.}30}{0{.}50}(5{.}0)=-1{.}0\ \mathrm{m/s},\qquad v_2=\frac{2(0{.}20)}{0{.}50}(5{.}0)=4{.}0\ \mathrm{m/s}$
0,058 kg tennisepall saabub kiirusega 30 m/s ja lendab pärast 5,0 ms kontakti vastassuunas minema kiirusega 25 m/s. Leia jõuimpulss ja keskmine jõud.

Näita vastust

3,19 N·s ja 638 N.

$J=0{.}058\,(25+30)=3{.}19\ \mathrm{N\,s},\qquad \bar F=\frac{3{.}19}{0{.}0050}=638\ \mathrm{N}$
1,80 m kõrguselt kõvale põrandale kukutatud pall põrkub 1,25 m kõrgusele tagasi. Kui suur on põrkekoefitsient?

Näita vastust

0,8333, seosest e = √(1,25/1,80).

$e=\sqrt{\frac{1{.}25}{1{.}80}}=0{.}8333$
4,0 kg püss tulistab 0,010 kg kuuli kiirusega 400 m/s. Kui suur on püssi tagasilöögi kiirus?

Näita vastust

1,0 m/s, kuuli liikumisele vastassuunas.

$v=-\frac{0{.}010(400)}{4{.}0}=-1{.}0\ \mathrm{m/s}$

Õpitee

Energia jõudude asemel

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.