Jaotuste kirjeldamine

Sisesta üks andmestik (või võrdlemiseks kaks) või vali näide altpoolt. Iga andmestik joonistub ühisel skaalal punktdiagrammina otse oma karpdiagrammi kohale; keskmine on märgitud karbi alla. Kvartiililüliti muudab seda, kuidas leitakse Q₁ ja Q₃ ning nendest sõltuvad tõkked.

Keskmine	$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i$
Standardhälve	$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$
Erindite tõkked	$\begin{aligned}&Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Näidisarvutus — Jaotuste kirjeldamine

Väärtuste arv	97
Keskmine	54,4948
Standardhälve s	5,8401
Mediaan M	54
Esimene kvartiil Q₁	50
Kolmas kvartiil Q₃	59
Kvartiilhaare	9
Haare	28

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Jaotuste kirjeldamine

Jaotust kirjeldada tähendab esitada andmete sisulises kontekstis selle kuju, keskmus, hajuvus ning erindid. Kahe jaotuse võrdlemisel näidatakse arvude abil, kuidas need omadused teineteisest erinevad.

Kust valem tuleb

Kuju. Vaata punktdiagrammi või histogrammi: kas jaotusel on üks või mitu tippu, kas see on ligikaudu sümmeetriline või pikema sabaga paremale (paremale kaldus) või vasakule, ning kas esineb tühikuid või kobaraid. Asümmeetriakordaja g₁ mõõdab saba pikkust: positiivne väärtus viitab pikale parempoolsele sabale.
$g_1=\frac{\frac1n\sum(x_i-\bar x)^3}{\left(\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2\right)^{3/2}}$
Keskmus. Keskmine on andmestiku tasakaalupunkt. Mediaan jagab järjestatud andmed kaheks: vähemalt pool väärtustest on temast väiksemad või võrdsed ning vähemalt pool suuremad või võrdsed. Üksainus äärmuslik väärtus võib keskmist tugevasti nihutada, kuid jätab mediaani peaaegu puutumata – seepärast nimetatakse mediaani resistentseks.
$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i,\qquad M=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$
Hajuvus. Standardhälve s mõõdab väärtuste tüüpilist kaugust keskmisest; jagatakse arvuga n − 1, sest hälvete summa keskväärtusest x̄ on alati null. Kvartiilhaare IQR näitab andmestiku keskmise poole ulatust ning talub mediaani sarnaselt äärmuslikke väärtusi. Haare arvestab seevastu vaid kahte kõige äärmuslikumat väärtust.
$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}},\qquad\sum(x_i-\bar x)=0$
Erindid. Väärtus, mis jääb rohkem kui 1,5 IQR võrra allapoole Q₁ või ülespoole Q₃, on erind. Täpselt tõkkele langev väärtus erind ei ole.
$x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$
Vali kuju järgi sobiv näitajate paar. Ligikaudu sümmeetrilise ja erinditeta jaotuse kirjeldamiseks sobib keskmine koos standardhälbega s. Kui jaotus on viltu või sisaldab erindeid, esita mediaan ja kvartiilhaare IQR. Kahe rühma võrdlemisel kasuta mõlema puhul sama näitajate paari ja sama skaalat ning märgi ära, kumb on suurem ja kui palju.

Eeldab: Kvartiilide väärtus sõltub arvutusreeglist. Lüliti pakub kolme võimalust: TI-84 poolitamist ning Hyndmani ja Fani 7. ja 6. tüüpi, mis on vaikimisi kasutusel vastavalt R-is ning Minitabis ja SPSS-is. Eri meetodid võivad anda lahknevaid tulemusi mis tahes suurusega andmestiku korral.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ühe jaotuse kirjeldamine 3 sammu
Kirjelda Old Faithfuli 175 ooteaja jaotust pärast vähemalt 3-minutist purset: n = 175, keskmine 79,99, s = 5,99, miinimum 64, Q₁ = 76, mediaan 80, Q₃ = 84, maksimum 96, asümmeetriakordaja −0,04.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kuju: punktdiagrammil on üksainus tipp ja sabad on ligikaudu ühepikkused; asümmeetriakordaja on nullilähedane.
  
  $g_1\approx-0.04$
2. Keskmus ja hajuvus: jaotus on ligikaudu sümmeetriline, seega iseloomustavad seda hästi keskmine ja standardhälve. Kontrolli tõkete abil erindite olemasolu:
  
  $76-1.5\times8=64,\qquad 84+1.5\times8=96$
3. Arvud 64 ja 96 asuvad täpselt tõketel ning tõkkele langev väärtus ei ole erind.
Vastus

Ühe tipuga ja ligikaudu sümmeetriline, keskmes umbes 80 minutit (keskmine 79,99, mediaan 80), standardhälbega ligikaudu 6 minutit ning ooteaegadega vahemikus 64 kuni 96 minutit; erindeid ei ole.

$\bar x\approx80,\quad M=80,\quad s\approx6,\quad 64\le x\le96$
Keskmine ja standardhälve käsitsi arvutades 3 sammu
Üheksa õpilast kulutasid kodutööle 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31 ja 49 minutit. Leia keskmine ja standardhälve.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Liida väärtused ja jaga arvuga n:
  
  $\bar x=\frac{10+15+19+20+23+29+29+31+49}{9}=\frac{225}{9}=25$
2. Võta iga hälve keskmisest ruutu ja liida ruudud kokku:
  
  $225+100+36+25+4+16+16+36+576=1034$
3. Jaga tulemus arvuga n − 1 = 8 ja võta ruutjuur:
  
  $s=\sqrt{\frac{1034}{8}}=\sqrt{129.25}\approx11.37$
Vastus

x̄ = 25 minutit, s ≈ 11,37 minutit.

$\bar x=25,\qquad s\approx11.37$
Millised näitajad on erindite suhtes resistentsed 2 sammu
Newcombi 66 mõõtmise keskmine on 26,21, standardhälve 10,75, mediaan 27 ja kvartiilhaare 7. Ilma kahe erindita (−44 ja −2) on ülejäänud 64 väärtuse keskmine 27,75, standardhälve 5,08, mediaan 27,5 ja kvartiilhaare 6,5. Millised näitajad muutusid kõige rohkem ning milline näitajate paar peaks iseloomustama kogu andmestikku?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võrdle iga näitajat koos kahe erindiga ja ilma nendeta:
  
  $\bar x:\ 26.21\to27.75,\qquad s:\ 10.75\to5.08,\qquad M:\ 27\to27.5,\qquad\mathrm{IQR}:\ 7\to6.5$
2. Standardhälve väheneb üle kahe korra ja keskmine nihkub 1,54 võrra, samal ajal kui mediaan ja kvartiilhaare muutuvad kumbki vaid 0,5 võrra. Erindid mõjutavad mitteresistentseid näitajaid tugevasti.
Vastus

Kõige rohkem muutusid keskmine ja eriti standardhälve. Kogu andmestikku koos selle kahe erindiga kirjeldavad kõige paremini mediaan 27 ja kvartiilhaare 7.

$M=27,\qquad\mathrm{IQR}=7$
Kahe jaotuse võrdlemine 2 sammu
Võrdle lühikeste pursete järgseid ooteaegu (n = 97: mediaan 54, Q₁ 50, Q₃ 59, haare 43 kuni 71, asümmeetriakordaja 0,30) pikkade pursete järgsete ooteaegadega (n = 175: mediaan 80, Q₁ 76, Q₃ 84, haare 64 kuni 96, asümmeetriakordaja −0,04).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Keskmus: mediaanide vahe on:
  
  $80-54=26$
2. Hajuvus: kvartiilhaarded on 9 ja 8 minutit, seega peaaegu võrdsed. Kuju: mõlemad on ühe tipuga; lühikeste pursete ooteaegadel on veidi pikem parempoolne saba. Erindid: tõkete järgi kummaski rühmas puuduvad. Kattuvus:
  
  $Q_1^{\,\mathrm{long}}=76>59=Q_3^{\,\mathrm{short}}$
Vastus

Pika purske järgsed ooteajad on tüüpiliselt 26 minutit pikemad (mediaanid 80 ja 54), ligikaudu sama hajuvusega (kvartiilhaarded 8 ja 9) ning kummaski rühmas pole erindeid. Pikkade pursete ooteaegade keskmine pool (76 kuni 84) asub tervikuna kõrgemal kui lühikeste pursete oma (50 kuni 59).

$M_{\mathrm{long}}-M_{\mathrm{short}}=26,\qquad\mathrm{IQR}:\ 8,\ 9$
Samad andmed, kaks kvartiilireeglit 2 sammu
Leia andmestikule 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49 kvartiilid Q₁ ja Q₃ poolitamise meetodil ning 7. tüübi valemiga h = (n − 1)p + 1, ja otsusta kummalgi juhul, kas 49 on erind.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Poolitamine: jäta mediaan 23 kõrvale ning leia kummagi nelja arvu mediaan:
  
  $Q_1=\frac{15+19}{2}=17,\qquad Q_3=\frac{29+31}{2}=30,\qquad 30+1.5\times13=49.5>49$
2. Tüüp 7: h = 8 × 0,25 + 1 = 3 ja h = 8 × 0,75 + 1 = 7, seega on Q₁ ja Q₃ vastavalt 3. ja 7. väärtus:
  
  $Q_1=x_{(3)}=19,\qquad Q_3=x_{(7)}=29,\qquad 29+1.5\times10=44<49$
Vastus

Poolitamine: Q₁ = 17, Q₃ = 30, tõke 49,5, seega 49 ei ole erind. Tüüp 7: Q₁ = 19, Q₃ = 29, tõke 44, seega 49 on erind.

$49.5>49,\qquad 44<49$
Mõõtühikute teisendamine 2 sammu
Newcomb märkis iga aja t koodina x, kus t = 24,8 + x/1000 miljondiksekundit. Koodide keskmine on 26,21, standardhälve 10,75, mediaan 27 ja kvartiilhaare 7. Leia need samad neli näitajat t jaoks.
Näita lahendust
1. Konstandi liitmine nihutab kõiki keskmuse näitajaid ja jätab hajuvuse muutmata; positiivse konstandiga korrutamine skaalib mõlemaid. Keskmus:
  
  $24.8+\frac{26.21}{1000}=24.82621,\qquad 24.8+\frac{27}{1000}=24.827$
2. Hajuvus, korrutatuna vaid teguriga 1/1000:
  
  $\frac{10.75}{1000}=0.01075,\qquad\frac{7}{1000}=0.007$
Vastus

Keskmine 24,82621 ja mediaan 24,827 miljondiksekundit; standardhälve 0,01075 ja kvartiilhaare 0,007.

$\bar t=24.82621,\quad M_t=24.827,\quad s_t=0.01075,\quad\mathrm{IQR}_t=0.007$
Kui keskmine ja mediaan ei järgi jaotuse saba 3 sammu
100 leibkonnast on 38 ühe täiskasvanuga, 49 kahega, 9 kolmega, 3 neljaga ja 1 viiega. Leia keskmine ja mediaan ning määra jaotuse asümmeetria suund.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Keskmine:
  
  $\bar x=\frac{38\cdot1+49\cdot2+9\cdot3+3\cdot4+1\cdot5}{100}=\frac{180}{100}=1.8$
2. Mediaan on 50. ja 51. väärtuse aritmeetiline keskmine. Esimesed 38 väärtust on 1 ning väärtused 39 kuni 87 on 2:
  
  $x_{(50)}=x_{(51)}=2\ \Rightarrow\ M=2$
3. Saba ulatub paremale, 4 ja 5 täiskasvanuni, ning asümmeetriakordaja on positiivne:
  
  $g_1\approx1.2>0,\qquad\bar x=1.8<2=M$
Vastus

Keskmine 1,8, mediaan 2, paremale asümmeetriline (g₁ ≈ 1,2): keskmine on mediaanist väiksem, ehkki pikk saba asub paremal.

$\bar x=1.8<M=2,\qquad g_1\approx1.2$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia arvude 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 keskmine ja standardhälve.

Näita vastust

x̄ = 5, s ≈ 2,14

$\bar x=5,\qquad s=\sqrt{\tfrac{32}{7}}\approx2.14$
Andmestikus on Q₁ = 12 ja Q₃ = 20. Millised väärtustest 0, 8, 32 ja 33 on erindid?

Näita vastust

Ainult 33. Tõkked on 0 ja 32 ning täpselt tõkkel asuv väärtus ei ole erind.

$12-1.5\times8=0,\qquad 20+1.5\times8=32<33$
Andmestiku iga väärtust korrutatakse arvuga 3 ja tulemusele liidetakse 5. Mis juhtub keskmise, mediaani, standardhälbe ja kvartiilhaardega?

Näita vastust

Uus keskmine ja mediaan on 3 × (esialgne) + 5; standardhälvet ja kvartiilhaaret korrutatakse arvuga 3.

$\bar x\to3\bar x+5,\quad M\to3M+5,\quad s\to3s,\quad\mathrm{IQR}\to3\,\mathrm{IQR}$
Kontrolltöö tulemused on tugevalt vasakule asümmeetrilised kahe väga madala tulemuse tõttu. Milliseid keskmuse ja hajuvuse näitajaid tuleks kokkuvõttes esitada?

Näita vastust

Mediaani ja kvartiilhaaret.
Leia andmestikule 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49 kvartiilid Q₁ ja Q₃ 6. tüübi valemiga h = (n + 1)p.

Näita vastust

Q₁ = 17, Q₃ = 30

$h=2.5:\ 15+0.5\,(19-15)=17,\qquad h=7.5:\ 29+0.5\,(31-29)=30$

Old Faithfuli kahe küüru taga on kaks eri pursketüüpi

Klõpsa nupul Old Faithful, lühike ja pikk. Kõigi 272 ooteaja ühisel histogrammil oli kaks küüru. Siin on need samad ajad jaotatud eelnenud purske kestuse järgi. Lühema kui 3-minutise purske järel jääb ooteaegade keskmine pool vahemikku 50 kuni 59 minutit. Pikema purske järel aga 76 ja 84 minuti vahele. Karpdiagrammid ei kattu vähimalgi määral ja kummagi rühma eraldi histogrammil 5-minutiliste klassidega on vaid üksainus küür. Teine küür tekkis lihtsalt sellest, et kaks eri rühma valati ühisele graafikule kokku. Kui jaotusel on kaks tippu, tuleb otsida põhjust, mis neid lahutab – siin andis vastuse stopper purske juures.

Kaks kalkulaatorit, kaks otsust sama 49 kohta

Klõpsa nupul Kodutöö, poolitamine. Taskuarvuti TI-84 annab tulemuseks Q₁ = 17 ja Q₃ = 30. Ülemiseks tõkkeks tuleb 49,5 ning kõige pikem aeg, 49, jääb napilt selle sisse. Klõpsa nüüd Kodutöö, tüüp 7 – seda reeglit kasutab vaikimisi statistikatarkvara R. Siit saame Q₁ = 19 ja Q₃ = 29, tõke langeb 44 peale ning sama 49 osutub erindiks. Üheksa arvu, ja ei muutunud midagi peale tarkvara. 1996. aastal võrdlesid Hyndman ja Fan statistikaprogrammides kasutusel olnud üheksat valimikvantiilide definitsiooni ning leidsid pakette, mis kasutasid kvartiili arvutamisel üht valemit ja omaenda karpdiagrammil teist. Üheksa väärtuse korral määrab otsuse reegel, seega pane alati kirja kasutatud kvartiilid, mitte üksnes järeldus.

Paremale kaldus, ent keskmine on mediaanist väiksem

Õpikureegel väidab, et keskmine kaldub jaotuse pikema saba poole. Klõpsa nupul Täiskasvanuid leibkonnas: saba venib paremale, nelja ja viie täiskasvanuga leibkondadeni, asümmeetriakordaja on +1,2, kuid keskmine 1,8 asub ikkagi mediaanist 2 allpool. Paul von Hippel leidis 2005. aastal selle reegli 18 sissejuhatavast õpikust 14-s, ehkki 2002. aasta uuringus see ei kehtinud. Meie väljamõeldud leibkonnad kopeerivad just tolle uuringu jaotust: 38% jääb mediaanist allapoole, 49% langeb täpselt sellele ja 13% asub sellest kõrgemal. Keskmine hoiab tasakaalus vasaku poole suurt massi, samal ajal kui asümmeetria määravad üksikud suured väärtused paremal, sest hälbed tõstetakse kuupi. Kui tegemist on diskreetsete andmetega ja paljud väärtused langevad mediaanile, loe jaotuse kuju pildilt, mitte keskmise ja mediaani järjekorrast.

Õpitee

Statistika: andmetest osakaaludeni

Allikad (6)

Insight block 3 and solved problem 7: the textbook rule that the mean lies towards the long tail, found in 14 of 18 introductions, failing for adults per US household in the 2002 General Social Survey (skewness 1.11, 38% of cases below the median, 49% at it, 13% above), and why discrete data break it: von Hippel, P. T. (2005). Mean, median, and skew: Correcting a textbook rule. Journal of Statistics Education, 13(2).
Insight block 2: the definitions of sample quantiles in use in statistical packages, compared, and the observation that one package can use one definition for a quantile and another for its boxplot: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
Types 6 and 7 as the page computes them: type 7 is R's default, type 6 is the one Minitab and SPSS use: R Core Team. quantile: Sample Quantiles. R stats package documentation.
A standard AP Statistics text showing the TI-83/84 and Minitab giving different quartiles for the same data, and the TI-83/84's 1-Var Stats as the five-number summary: Starnes, D. S. & Tabor, J. The Practice of Statistics, 7th edition. New York: Bedford, Freeman & Worth, 2024; page 75.
Old Faithful's waits and eruption lengths, split at 3 minutes for the first preset; R documents the waiting column as the time to the next eruption: R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Newcomb's 66 timings and the code t = 24.8 + x/1000 millionths of a second used in solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Jaotuste kirjeldamine

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

Old Faithfuli kahe küüru taga on kaks eri pursketüüpi 🖖

Kaks kalkulaatorit, kaks otsust sama 49 kohta 🖖

Paremale kaldus, ent keskmine on mediaanist väiksem 🖖

Old Faithfuli kahe küüru taga on kaks eri pursketüüpi

Kaks kalkulaatorit, kaks otsust sama 49 kohta

Paremale kaldus, ent keskmine on mediaanist väiksem