Andmete esitamine

Kirjuta arvud või vali näiteandmestik. Punktdiagramm, histogramm ja karpdiagramm jagavad ühist skaalat, nii et iga väärtus asub neil täpselt samal kohal; allpool on tüvi-leht-diagramm ja sagedustabel. Tulpdiagrammi vaatamiseks lülitu kategooriatele.

Suhteline sagedus	$\frac{f}{n}$
Kvartiilide vahe	$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$
Erind	$\begin{aligned}&x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Näidisarvutus — Andmete esitamine

Väärtuste arv	25
Miinimum	47
Esimene kvartiil Q₁	53
Mediaan M	74
Kolmas kvartiil Q₃	83,5
Maksimum	88
Kvartiilide vahe	30,5
Alumine tõke	7,25

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Andmete esitamine

Tunnuse jaotus näitab, milliseid väärtusi tunnus omandab ja kui sageli. Kategooriline tunnus määrab iga objekti mingisse rühma; kvantitatiivne tunnus annab arvväärtuse, millega saab teha tehteid.

Kust valem tuleb

Määra tunnuse liik. Kategooriate esinemisi loendatakse ja kujutatakse tulpdiagrammina; arve kujutatakse arvteljel. Number, mis toimib üksnes sildina (näiteks sihtnumber või mängijasärgi number), kuulub kategooriliste tunnuste hulka.
Loenda. Kategooria või klassi sagedus f näitab sellesse kuuluvate objektide arvu ning suhteline sagedus on f jagatuna koguarvuga n. Suhteliste sageduste summa on 1 ning nende jooksev summa annab kumulatiivse suhtelise sageduse.
$\frac{f_1}{n}+\frac{f_2}{n}+\dots+\frac{f_k}{n}=1$
Säilita iga väärtus: punktdiagramm ja tüvi-leht-diagramm. Punktdiagramm kannab iga väärtuse punktina arvtelje kohale, ladudes võrdsed väärtused üksteise otsa. Tüvi-leht-diagramm jagab iga arvu tüveks (kõik numbrid peale viimase) ja leheks (viimane number), nii et 47 märgitakse kujul 4 | 7. Leheühik u määrab lehe väärtuse: kui u = 0,1, tähendab sama 4 | 7 arvu 4,7.
$x=(10s+\ell)\,u$
Rühmita vahemikesse: histogramm. Vali vahemiku laius w ja alguspunkt a. Iga vahemik ulatub vasakpoolsest servast parempoolseni, viimast kaasa arvamata, ning tulp on täpselt nii kõrge, kui palju väärtusi vahemikku langeb. Vahemikud katavad arvtelje lünkadeta, mistõttu puutuvad tulbad kokku.
$[a+jw,\ a+(j+1)w),\qquad j=0,1,2,\dots$
Võta andmed kokku viie arvuga: karpdiagramm. Järjesta andmed. Mediaan M on keskmine väärtus või paarisarvulise n korral kahe keskmise aritmeetiline keskmine. Q₁ ja Q₃ on alumise ja ülemise poole mediaanid; paaritu n korral jäetakse M mõlemast poolest välja. Karp ulatub väärtusest Q₁ väärtuseni Q₃. Väärtus, mis jääb karbist kaugemale kui 1,5 IQR, märgitakse eraldi erindina, ning kumbki vunts lõpeb viimase väärtuse juures, mis ei ole erind.
$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1,\qquad x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$

Eeldab: Kalkulaatorid arvutavad kvartiile eri viisidel. See leht kasutab TI-84 ja AP Statisticsi poolitamismeetodit; tabelarvutusprogrammid interpoleerivad väärtuste vahel ning võivad samade andmete põhjal anda teistsugused Q₁ ja Q₃.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kategooriline või kvantitatiivne? 2 sammu
Kool paneb iga õpilase kohta kirja: (a) õdede-vendade arvu, (b) pikkuse sentimeetrites, (c) lemmikaine, (d) sihtnumbri ja (e) 100 m jooksu aja. Millised tunnused on kategoorilised ja millised kvantitatiivsed, ning millised kvantitatiivsetest on diskreetsed?
1. Mõtle, kas väärtuste keskmisel oleks mingit sisulist tähendust. Keskmine pikkus või keskmine õdede-vendade arv on täiesti mõistlikud näitajad. Keskmine lemmikaine ei tähenda midagi, samamoodi nagu keskmine sihtnumber, olgugi et sihtnumber kirjutatakse numbritega.
2. Kvantitatiivsete tunnuste seas saab loendamistulemus omandada vaid täisarvulisi väärtusi, mõõtmistulemus võib aga langeda vahemiku mistahes punkti.
Vastus

Kategoorilised: (c) ja (d). Kvantitatiivsed: (a), (b) ja (e), millest (a) on diskreetne ning (b) ja (e) pidevad.
Sagedustabel ja tulpdiagramm 3 sammu
Kakskümmend õpilast vastasid küsimusele „Kuidas sa tavaliselt kooli tuled?“: auto, buss, jalgsi, auto, jalgratas, buss, auto, jalgsi, auto, buss, auto, jalgratas, jalgsi, auto, buss, auto, jalgsi, auto, buss, auto. Koosta suhteliste sagedustega sagedustabel, nimeta mood ja ütle, milline joonis tuleks teha.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Loenda iga vastus üle. Sageduste summa peab andma n:
  
  $f_{\mathrm{car}}=9,\quad f_{\mathrm{bus}}=5,\quad f_{\mathrm{walk}}=4,\quad f_{\mathrm{bike}}=2,\qquad 9+5+4+2=20$
2. Jaga iga sagedus arvuga n = 20:
  
  $\frac{9}{20}=0.45,\qquad\frac{5}{20}=0.25,\qquad\frac{4}{20}=0.20,\qquad\frac{2}{20}=0.10$
3. Koolitee läbimise viis on kategooriline tunnus, seega sobib jooniseks tulpdiagramm: igale vastusele oma tulp, tulpade vahel vahed ja tulbad seatud kõige selgemasse järjekorda.
Vastus

Auto 9 (45%), buss 5 (25%), jalgsi 4 (20%), jalgratas 2 (10%). Mood on auto. Jooniseks sobib tulpdiagramm.

$\mathrm{mode}=\mathrm{car},\qquad\frac{f}{n}=45\%$
Punktdiagrammi lugemine 2 sammu
Old Faithfuli esimese 25 purskevaheaja punktdiagramm näitab järgmisi väärtusi minutites: 47, 47, 51, 51, 52, 52, 54, 54, 55, 62, 62, 69, 74, 74, 78, 78, 79, 79, 83, 84, 84, 85, 85, 85, 88. Kui suur osa vaheaegadest oli pikem kui 80 minutit ja kus asuvad kobarad?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Loenda punktid arvust 80 paremal: 83, 84, 84, 85, 85, 85 ja 88.
  
  $\frac{7}{25}=0.28$
2. Vaata jaotuse kuju: punktid koonduvad vahemikesse 47 kuni 55 ning 74 kuni 88, samas kui nende vahele jäävad vaid 62, 62 ja 69.
Vastus

25 vaheajast 7 ehk 28% olid pikemad kui 80 minutit. Eristub kaks kobarat, 47 kuni 55 ja 74 kuni 88, mille vahele jääb kolm vaheaega.

$\frac{7}{25}=28\%$
Tüvi-leht-diagramm ja sellelt loetud kvartiilid 3 sammu
Koosta samade 25 vaheaja kohta tüvi-leht-diagramm ning leia selle abil mediaan ja kvartiilid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tüvedeks on kümneliste numbrid 4 kuni 8 ja lehtedeks järjekorras kirjutatud üheliste numbrid:
  
  $\begin{array}{r|l}4&7\,7\\5&1\,1\,2\,2\,4\,4\,5\\6&2\,2\,9\\7&4\,4\,8\,8\,9\,9\\8&3\,4\,4\,5\,5\,5\,8\end{array}$
2. Kui n = 25, on mediaaniks ülalt lugedes 13. leht:
  
  $M=x_{(13)}=74$
3. Jäta mediaan kõrvale. Alumise poole moodustavad esimesed 12 väärtust, seega on Q₁ 6. ja 7. väärtuse keskmine; ülemisse poolde jäävad viimased 12, seega on Q₃ 19. ja 20. väärtuse keskmine:
  
  $Q_1=\frac{x_{(6)}+x_{(7)}}{2}=\frac{52+54}{2}=53,\qquad Q_3=\frac{x_{(19)}+x_{(20)}}{2}=\frac{83+84}{2}=83.5$
Vastus

M = 74 minutit, Q₁ = 53 ja Q₃ = 83,5.

$M=74,\qquad Q_1=53,\qquad Q_3=83.5$
Histogramm ja mediaani sisaldav klass 3 sammu
Jaga samad 25 vaheaega alates arvust 40 10-minutilistesse klassidesse. Leia iga klassi suhteline ja kumulatiivne suhteline sagedus ning ütle, millisesse klassi langeb mediaan.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Loenda sagedused klassides [40, 50), [50, 60) ja nii edasi; piiripealne väärtus, näiteks 50, kuulub parempoolsesse klassi:
  
  $f=2,\ 7,\ 3,\ 6,\ 7,\qquad 2+7+3+6+7=25$
2. Jaga sagedused arvuga 25 ja arvuta jooksev summa:
  
  $\frac{f}{25}=0.08,\ 0.28,\ 0.12,\ 0.24,\ 0.28;\qquad\sum\frac{f}{25}=0.08,\ 0.36,\ 0.48,\ 0.72,\ 1$
3. Mediaan on 13. väärtus. Klassi [60, 70) järel on kumulatiivne sagedus 12 ning klassi [70, 80) järel 18, seega asub 13. väärtus vahemikus [70, 80).
  
  $2+7+3=12<13\le 2+7+3+6=18$
Vastus

Suhtelised sagedused: 8%, 28%, 12%, 24%, 28%; kumulatiivsed: 8%, 36%, 48%, 72%, 100%. Mediaan asub klassis [70, 80).

$M\in[70,\ 80)$
Tõkked, erindid ja vuntsid 3 sammu
Newcombi 66 valguse kiiruse mõõtmise korral on Q₁ = 24, M = 27 ja Q₃ = 31. Vähimad väärtused on −44, −2, 16 ja 16 ning suurimad 37, 39 ja 40. Leia tõkked ja erindid ning määra, kus lõpevad karpdiagrammi vuntsid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Esmalt kvartiilide vahe, seejärel tõkked 1,5 IQR kaugusel karbist:
  
  $\mathrm{IQR}=31-24=7,\qquad 24-1.5\times7=13.5,\qquad 31+1.5\times7=41.5$
2. Väärtus alla 13,5 või üle 41,5 on erind. Arvud −44 ja −2 jäävad alla 13,5 ning arvuni 41,5 ei küüni ükski väärtus:
  
  $-44<13.5,\qquad -2<13.5,\qquad 40<41.5$
3. Kumbki vunts ulatub äärmise väärtuseni, mis ei ole erind: allpool arvuni 16 ja ülal arvuni 40. Väärtused −44 ja −2 märgitakse eraldiseisvate punktidena.
Vastus

Tõkked on 13,5 ja 41,5; erindid on −44 ja −2. Karp ulatub väärtusest 24 väärtuseni 31 (mediaaniga 27 juures) ning vuntsid 16-st 40-ni.

$16,\ 24,\ 27,\ 31,\ 40;\qquad -44,\ -2$
Mida karpdiagramm ei suuda näidata 2 sammu
Klassi A tulemused olid 40, 48, 50, 51, 53, 57, 58, 59, 60, 62, 78, 80, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 92, 100 ja klassi B tulemused 40, 43, 47, 50, 54, 56, 59, 62, 66, 69, 71, 74, 78, 81, 84, 86, 90, 94, 97, 100. Võrdle nende karpdiagramme ja seejärel 10 punkti laiuste vahemikega histogramme.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kui n = 20, on mediaan 10. ja 11. väärtuse keskmine. Kummaski pooles on 10 väärtust, seega on Q₁ 5. ja 6. väärtuse keskmine ning Q₃ 15. ja 16. väärtuse keskmine:
  
  $A:\ \frac{53+57}{2}=55,\ \frac{62+78}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85\qquad B:\ \frac{54+56}{2}=55,\ \frac{69+71}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85$
2. Mõlema klassi tulemused ulatuvad 40-st 100-ni, seega on karpdiagrammid identsed. Histogrammid alates vahemikust [40, 50) seda aga ei ole:
  
  $A:\ 2,\ 6,\ 2,\ 1,\ 7,\ 1,\ 1\qquad B:\ 3,\ 4,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 1$
Vastus

Täpselt sama karpdiagramm (40, 55, 70, 85, 100) kahe täiesti erineva jaotuse korral. Klass A jaguneb kaheks kobaraks, kus tulemuste 62 ja 78 vahel pole ainsatki õpilast: punktdiagramm ja tüvi-leht-diagramm toovad selle lünga täpselt esile, histogramm näitab kahte kobarat, karpdiagramm aga mitte kumbagi. Klass B jaotub seevastu ühtlaselt.

$40,\ 55,\ 70,\ 85,\ 100$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia arvude 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 31, 47 viie arvu kokkuvõte ja otsusta, kas 47 on erind.

Näita vastust

12, 15, 20, 28, 47. Ülemine tõke on 47,5, seega 47 ei ole erind.

$12,\ 15,\ 20,\ 28,\ 47;\qquad 28+1.5\times13=47.5>47$
Titanicu 2201 pardalolijast 885 kuulusid meeskonda. Kui suur on meeskonna suhteline sagedus ja milline joonis sobib tunnusele „klass“?

Näita vastust

885/2201 ≈ 40,2%; tulpdiagramm.

$\frac{885}{2201}\approx40.2\%$
Milliseid väärtusi tähistavad tüvi-leht-diagrammil leheühikuga 0,1 kirjutised 3 | 4 ja −0 | 2?

Näita vastust

3,4 ja −0,2

$3.4,\qquad -0.2$
Geisri Old Faithful 272 vaheaja jaotamisel 5-minutilistesse klassidesse alates väärtusest 40 on esimese nelja klassi sagedused 1, 20, 32 ja 24. Kui suur osa vaheaegadest oli lühem kui 60 minutit?

Näita vastust

77/272 ≈ 28,3%

$\frac{1+20+32+24}{272}=\frac{77}{272}\approx28.3\%$
Millistelt joonistelt neljast (punktdiagramm, tüvi-leht-diagramm, histogramm ja karpdiagramm) saab välja lugeda iga üksiku andmeväärtuse?

Näita vastust

Punktdiagrammilt, ja tüvi-leht-diagrammilt leheühiku täpsusega.
Karpdiagrammil on Q₁ = 30 ja Q₃ = 50. Kas väärtus 82 on erind? Aga väärtus 0?

Näita vastust

82 on (ülemine tõke on 80); 0 ei ole, sest alumine tõke on 0 ja 0 ei ole sellest väiksem.

$50+1.5\times20=80<82,\qquad 30-1.5\times20=0$

5 minuti juures on Old Faithfulil kaks küüru, 20 juures üks

Klõpsa nuppu Kõik 272, vahemik 5 min: purskevaheajad koonduvad 50 ja 80 minuti lähedale kaheks küüruks, mille vahele jääb nõgu. Mõtle, mida võiks näidata neli korda laiem jaotus, ja vajuta Kõik 272, vahemik 20 min. Tulbad näitavad väärtusi 77, 103 ja 92. Tulemuseks on üksainus küür, mis jääb püsima sõltumata esimese vahemiku alguspunktist. Geisri käitumises ei muutunud kahe vaate vahel vähimatki. Kui nihutad laiuse 2 minuti peale, tekib histogrammile kaheksa tippu, millest enamik on tühi müra. Histogrammi kuju sõltub seega suuresti tegija valikutest. Enne kui jaotuse bimodaalseks kuulutad, vaata seda mitme eri laiusega. Ülal asuval punktdiagrammil ei tule mingit laiust valida ja see näitab mõlemat kogunemist alati, ükskõik mida liugur teeb.

Klass A ja klass B annavad täpselt sama karpdiagrammi

Klõpsa nuppu Klass A, seejärel Klass B ja jälgi karpdiagrammi: see ei liigu paigastki. Mõlema klassi viie arvu kokkuvõte on 40, 55, 70, 85, 100. Ilma erinditeta karpdiagramm joonistataksegi üksnes nende viie arvu põhjal ja ei millegi muu toel. Punktdiagramm teeb neil seevastu vahet silmapilkselt. Klassis A ei saanud keegi tulemust 62 ja 78 vahel, seega jaguneb klass tegelikult kaheks eraldi rühmaks. Klassi B tulemused jaotuvad aga ühtlaselt 40-st 100-ni. Iga andmestik samade viie arvuga annab täpselt ühesuguse karbi. Nii võib karpdiagramm peita andmelünga, teise tipu ja isegi vaatluste koguarvu. See on suurepärane joonis mitme rühma kõrvutamiseks, kuid vale tööriist üksiku jaotuse kuju uurimiseks.

Tulpdiagrammil puudub jaotuse kuju

Klõpsa nuppu Titanic klassi järgi: esimeses klassis oli 325, teises 285, kolmandas 706 ja meeskonnas 885 inimest. Märgi valik „Järjesta tulbad sageduse järgi“ ning tulbad kahanevad vasakult paremale nagu paremale viltu histogramm; eemalda märge ja need langevad ning tõusevad taas. Järjekorra valisid sa ise, sest meeskond ei ole esimesest klassist suurem ega väiksem, nii et sõnad „kaldus“ ja „sümmeetriline“ ei tähenda siin midagi. Histogrammi tulpade asukohti ümber tõsta ei saa, kuna iga tulp toetub arvteljele. Just seepärast puutuvad histogrammi tulbad kokku, tulpdiagrammi omad aga seisavad lahus. Kirjelda kategoorilist tunnust sageduste ja osakaalude abil (meeskond moodustas 40,2% pardal olnud 2201 inimesest) ning hoia jaotuse kuju arvtunnuste jaoks.

Õpitee

Statistika: andmetest osakaaludeni

Allikad (6)

The stem-and-leaf display, the box-and-whisker plot, and the fences 1.5 times the spread between the hinges beyond the box, which the outlier rule on this page follows: Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07616-0.
Why quartiles differ between calculators and packages: nine sample-quantile definitions in use, compared. This page uses the medians of the two halves: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
The rule behind the page's starting bin width, about 1 + log₂ n classes: Sturges, H. A. (1926). The choice of a class interval. Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65–66.
Old Faithful's 272 waiting times between eruptions, the data set behind the first three presets and insight block 1; R's documentation gives the source as Härdle (1991): R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Simon Newcomb's 66 measurements of the passage time of light (1882), as listed in Table 5; the Newcomb preset and solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.
The Titanic preset: 325 first-class, 285 second-class and 706 third-class passengers and 885 crew, 2,201 people, from the British Board of Trade inquiry: Dawson, R. J. MacG. (1995). The “unusual episode” data revisited. Journal of Statistics Education, 3(3).

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Andmete esitamine

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

5 minuti juures on Old Faithfulil kaks küüru, 20 juures üks 🖖

Klass A ja klass B annavad täpselt sama karpdiagrammi 🖖

Tulpdiagrammil puudub jaotuse kuju 🖖

5 minuti juures on Old Faithfulil kaks küüru, 20 juures üks

Klass A ja klass B annavad täpselt sama karpdiagrammi

Tulpdiagrammil puudub jaotuse kuju