Forme harmonique

Saisissez a et b, éventuellement sous forme de fraction ou de racine comme √3, puis choisissez la forme demandée dans l’énoncé. Le triangle fait correspondre R cos α et R sin α aux coefficients. Le graphique représente les deux sinusoïdes en pointillés et leur somme. Saisissez aussi c pour résoudre a sin x + b cos x = c sur un intervalle.

Amplitude	$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Avec un sinus	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{b}{a}\end{aligned}$
Avec un cosinus	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\cos(x-\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{a}{b}\end{aligned}$

Exemple résolu — Forme harmonique

Amplitude R	5
Déphasage α	53,13°
α en radians	0,9273
Une seule sinusoïde	5 sin(x + 53,13°)
Maximum	36,87°
Minimum	216,87°

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Forme harmonique

La forme harmonique permet d’écrire a sin x + b cos x à l’aide d’une seule sinusoïde, R sin(x ± α) ou R cos(x ± α), avec R > 0.

D’où vient la formule

Développez la forme demandée à l’aide d’une formule d’addition, pour obtenir une somme de multiples de sin x et de cos x.
$R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x$
Identifiez les coefficients. Les coefficients de sin x et de cos x donnent R cos α et R sin α, en tenant compte des signes du développement.
$R\cos\alpha=a,\qquad R\sin\alpha=b$
Élevez au carré et additionnez pour trouver R ; divisez pour trouver α. L’identité cos²α + sin²α = 1 donne R. Le quotient donne tan α ; les signes de R cos α et de R sin α déterminent le quadrant de α.
$R^{2}(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\tan\alpha=\frac{b}{a}$
Lisez les caractéristiques de la sinusoïde. Un sinus ou un cosinus est compris entre −1 et 1. L’expression est donc comprise entre −R et R et atteint R lorsque l’argument vaut 90° pour le sinus ou 0° pour le cosinus.
$-R\le a\sin x+b\cos x\le R$
Résolvez a sin x + b cos x = c en prenant l’argument comme inconnue. Sous la forme R sin(x + α), l’équation devient sin(x + α) = c/R et l’intervalle de l’argument est décalé de α. Procédez de même pour les autres formes, avec la fonction et le signe correspondants. Lorsque |c| > R, il n’y a aucune solution.
$a\sin x+b\cos x=c\ \Rightarrow\ \sin(x+\alpha)=\frac{c}{R}$

Problèmes entièrement résolus

La forme usuelle R sin(x + α) 2 étapes
Écrivez 3 sin x + 4 cos x sous la forme R sin(x + α), avec R > 0 et 0° < α < 90°.

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1. Développez la forme demandée et identifiez les coefficients de sin x et de cos x :
  
  $R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=3,\quad R\sin\alpha=4$
2. Élevez les deux égalités au carré et additionnez-les, puis divisez-les membre à membre :
  
  $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad\tan\alpha=\frac{4}{3},\quad\alpha=53{.}13^{\circ}$
Réponse

3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53,13°).

$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53{.}13^{\circ})$
Une forme exacte avec une racine : R cos(x − α) 2 étapes
Écrivez sin x + √3 cos x sous la forme R cos(x − α), en donnant les valeurs exactes de R et de α.

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1. Développez R cos(x − α) et identifiez les coefficients :
  
  $R\cos(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\cos x+R\sin\alpha\,\sin x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=\sqrt{3},\quad R\sin\alpha=1$
2. Élevez les deux égalités au carré et additionnez-les, puis divisez-les membre à membre. tan α = 1/√3 est une valeur remarquable :
  
  $R=\sqrt{3+1}=2,\qquad\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\alpha=30^{\circ}$
Réponse

sin x + √3 cos x = 2 cos(x − 30°).

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos(x-30^{\circ})$
Un signe moins : R sin(x − α) 2 étapes
Écrivez 5 sin x − 12 cos x sous la forme R sin(x − α), avec R > 0 et 0° < α < 90°.

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1. Le signe moins du développement correspond à celui de l’expression : R sin α est donc positif.
  
  $R\sin(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x-R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=5,\quad R\sin\alpha=12$
2. Élevez les deux égalités au carré et additionnez-les, puis divisez-les membre à membre :
  
  $R=\sqrt{25+144}=13,\qquad\tan\alpha=\frac{12}{5},\quad\alpha=67{.}38^{\circ}$
Réponse

5 sin x − 12 cos x = 13 sin(x − 67,38°). Avec la forme R sin(x + α), il aurait fallu prendre α = −67,38°.

$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-67{.}38^{\circ})$
Maximum et minimum : valeurs et positions 2 étapes
Déterminez le maximum et le minimum de 3 sin x + 4 cos x pour 0° ≤ x < 360°, ainsi que les valeurs de x où ils sont atteints. Déduisez-en la plus grande valeur de 1/(10 + 3 sin x + 4 cos x).

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1. D’après le premier exercice, 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53,13°). Or un sinus est compris entre −1 et 1 :
  
  $\sin(x+53{.}13^{\circ})=1:\ x=36{.}87^{\circ},\qquad\sin(x+53{.}13^{\circ})=-1:\ x=216{.}87^{\circ}$
2. La fraction est maximale lorsque son dénominateur est minimal, c’est-à-dire au minimum de la sinusoïde :
  
  $\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}\le\frac{1}{10-5}=\frac{1}{5}$
Réponse

Le maximum vaut 5, atteint pour x = 36,87°, et le minimum vaut −5, atteint pour x = 216,87°. La plus grande valeur de la fraction est 1/5, pour x = 216,87°.

$\max=5,\quad\min=-5,\quad\max\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}=\frac{1}{5}$
Résoudre a sin x + b cos x = c 3 étapes
Résolvez 3 sin x + 4 cos x = 2 pour 0° ≤ x < 360°.

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1. Écrivez le membre de gauche sous forme harmonique, puis divisez par R :
  
  $5\sin(x+53{.}13^{\circ})=2\ \Rightarrow\ \sin(x+53{.}13^{\circ})=0{.}4$
2. Lorsque x parcourt l’intervalle, l’argument x + 53,13° varie de 53,13° à 413,13°. Retenez la valeur principale et l’autre angle donnant le même sinus dans cet intervalle :
  
  $x+53{.}13^{\circ}=180^{\circ}-23{.}58^{\circ}=156{.}42^{\circ},\qquad x+53{.}13^{\circ}=360^{\circ}+23{.}58^{\circ}=383{.}58^{\circ}$
3. Soustrayez 53,13° à chacune des valeurs :
  
  $x=103{.}29^{\circ},\qquad x=330{.}45^{\circ}$
Réponse

x = 103,29° ou x = 330,45° (à 2 décimales).

$x=103{.}29^{\circ},\ 330{.}45^{\circ}$
Une équation sans solution 2 étapes
Montrez que sin x + cos x = 2 n’a aucune solution.

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1. Écrivez le membre de gauche sous forme harmonique :
  
  $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})$
2. Un sinus ne dépasse jamais 1. Le membre de gauche ne dépasse donc jamais √2 :
  
  $-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})\le\sqrt{2}\approx1{.}4142<2$
Réponse

sin x + cos x ≤ √2 ≈ 1,4142 < 2 pour tout x, donc l’équation n’a aucune solution.

$\sin x+\cos x\le\sqrt{2}<2$
Modélisation : la profondeur maximale dans un port 2 étapes
Dans un port, la profondeur de l’eau, en mètres, est donnée par D = 6 + 3 sin(30t)° + 4 cos(30t)°, où t désigne le temps écoulé depuis minuit, en heures. Déterminez la profondeur maximale et l’heure à laquelle elle est atteinte pour la première fois après minuit.

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1. Posez x = 30t. Vous retrouvez la sinusoïde déjà étudiée dans la partie variable de l’expression :
  
  $D=6+5\sin(x+53{.}13^{\circ}),\qquad x=30t$
2. Son maximum vaut 5 et est atteint pour x = 36,87°, d’où :
  
  $D_{\max}=6+5=11,\qquad 30t=36{.}87^{\circ}\ \Rightarrow\ t=1{.}229$
Réponse

La profondeur maximale est de 11 m. Elle est atteinte pour la première fois environ 1,23 heure après minuit, soit à 1 h 14.

$D_{\max}=11\ \mathrm{m},\qquad t\approx1{.}23\ \mathrm{h}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Écrivez 2 cos x − 3 sin x sous la forme R cos(x + α), avec R > 0 et 0° < α < 90°.

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√13 cos(x + 56,31°)

$2\cos x-3\sin x=\sqrt{13}\cos(x+56{.}31^{\circ})$
Écrivez 7 cos x − 24 sin x sous la forme R cos(x + α) et donnez sa valeur maximale.

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25 cos(x + 73,74°), maximum 25

$7\cos x-24\sin x=25\cos(x+73{.}74^{\circ}),\quad\max=25$
Résolvez √3 sin x − cos x = 1 pour 0° ≤ x < 360°.

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x = 60° ou x = 180°

$x=60^{\circ},\ 180^{\circ}$
Écrivez 2 sin θ − 1,5 cos θ sous la forme R sin(θ − α), en donnant α en radians à 3 décimales.

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2,5 sin(θ − 0,644)

$2\sin\theta-1{.}5\cos\theta=2{.}5\sin(\theta-0{.}644)$
Déterminez la plus petite valeur de 5 sin x − 12 cos x + 20.

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7

$5\sin x-12\cos x+20\ge20-13=7$
Résolvez 2 cos x − 3 sin x = 1 pour 0° ≤ x < 360°.

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x = 17,59° ou x = 229,79°

$x=17{.}59^{\circ},\ 229{.}79^{\circ}$

3 sin x + 4 cos x atteint un maximum de 5, et non de 7

Cliquez sur 3 sin x + 4 cos x. Les sinusoïdes en pointillés atteignent respectivement 3 et 4, avec un décalage d’un quart de tour : lorsque sin x est à son maximum, cos x passe par zéro. Leur somme est une seule sinusoïde, d’amplitude 5, la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5. En effet, a sin x + b cos x est le produit scalaire de (a ; b) et de (sin x ; cos x), un vecteur unitaire qui tourne lorsque x varie. Le produit scalaire avec un vecteur unitaire est maximal lorsque les deux vecteurs ont la même direction et le même sens. Il vaut alors la norme de (a ; b), soit √(a² + b²). Ici, cela se produit pour x = 36,87°, où (sin x ; cos x) = (0,6 ; 0,8) : on retrouve (3 ; 4) divisé par 5. La somme de deux sinusoïdes de même période est toujours une sinusoïde de cette période. C’est ce qui permet cette écriture à l’aide de R et de α.

En inversant le quotient dans l’arctangente, vous changez de forme

L’erreur la plus fréquente consiste à écrire tan α = a/b alors que la forme demandée impose b/a. Cliquez sur 3 sin x + 4 cos x, puis passez de R sin(x + α) à R cos(x − α) : α passe de 53,13° à 36,87°, sans que la courbe en trait plein bouge. Les deux écritures sont correctes, 5 sin(x + 53,13°) et 5 cos(x − 36,87°), car un sinus est un cosinus retardé d’un quart de tour et 53,13° + 36,87° = 90°. En inversant le quotient dans l’arctangente, vous trouvez donc l’angle α de l’autre forme. L’erreur consiste seulement à ne pas donner la forme demandée. Lorsque les deux coefficients sont non nuls, leurs signes déterminent les formes qui donnent un angle α aigu : deux si les deux coefficients sont positifs, une si un seul est négatif, aucune s’ils sont tous deux négatifs.

Une table des marées, c’est R et α, trente-sept fois

Pour prévoir la marée à The Battery, à la pointe sud de Manhattan, la NOAA additionne 37 cosinusoïdes, appelées composantes harmoniques, chacune définie par une amplitude et une phase. La plus importante, M2, est la composante lunaire principale semi-diurne. Son amplitude est de 0,671 m et sa phase avance de 28,984104° par heure : son cycle se répète donc toutes les 12,42 heures. Ces constantes proviennent de mesures du niveau de l’eau. Un mois de relevés couvre la plupart des cycles lunaires et solaires ; il faut une année pour distinguer les 37 composantes. Chaque couple amplitude-phase est la forme harmonique d’une somme de sinus et de cosinus, précisément la transformation proposée ici. Il permet de lire directement l’effet d’une composante : à elle seule, M2 fait monter l’eau de 0,671 m au-dessus de son niveau moyen et la fait descendre de 0,671 m en dessous.

Parcours

Identités et équations trigonométriques

Références (2)

Insight block 3: the 37 harmonic constituents NOAA uses to predict the tide at The Battery, New York, each an amplitude and a phase; M2, the principal lunar semidiurnal constituent, has amplitude 0.671 m and speed 28.984104° per hour: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, Harmonic Constituents, station 8518750 (The Battery, NY), metadata API.
Insight block 3: each constituent “can be represented as a Cosine Curve” with an amplitude and a phase, predictions sum the 37 curves, 30 days of data show most constituents and a year shows all 37: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, “Harmonic Constituents”.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.

Forme harmonique

D’où vient la formule

Exercices supplémentaires, réponses seules

3 sin x + 4 cos x atteint un maximum de 5, et non de 7 🖖

En inversant le quotient dans l’arctangente, vous changez de forme 🖖

Une table des marées, c’est R et α, trente-sept fois 🖖

3 sin x + 4 cos x atteint un maximum de 5, et non de 7

En inversant le quotient dans l’arctangente, vous changez de forme

Une table des marées, c’est R et α, trente-sept fois