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Formules de duplication

Donnez A en degrés ou, comme dans un sujet d’examen, par une valeur trigonométrique et un quadrant. Le triangle inscrit dans le demi-cercle fait apparaître les longueurs sin 2A, 1 + cos 2A et 1 − cos 2A. Pour les multiples entiers de 7,5°, le tableau en donne les valeurs exactes avec des radicaux. Le mode Équations résout sur un intervalle les équations reliant cos 2x ou sin 2x à sin x ou cos x, en choisissant la forme adaptée.

Sinus sin⁡2A=2sin⁡Acos⁡A\sin2A=2\sin A\cos A
Cosinus, trois expressions cos⁡2A=cos⁡2A−sin⁡2A=2cos⁡2A−1=1−2sin⁡2A\begin{aligned}\cos2A&=\cos^{2}A-\sin^{2}A\\&=2\cos^{2}A-1\\&=1-2\sin^{2}A\end{aligned}
Tangente tan⁡2A=2tan⁡A1−tan⁡2A\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}
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Leçon

La théorie — Formules de duplication

Les formules de duplication expriment sin 2A, cos 2A et tan 2A à partir des fonctions trigonométriques de A. Utilisées dans l’autre sens, elles donnent les formules de l’angle moitié.

D’où vient la formule

  1. Posez B = A dans les formules d’addition. Les deux produits de la formule du sinus deviennent égaux ; celle du cosinus donne une différence de carrés.
    sin⁡2A=2sin⁡Acos⁡A,cos⁡2A=cos⁡2A−sin⁡2A\sin2A=2\sin A\cos A,\qquad\cos2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A
  2. Remplacez l’un des carrés à l’aide de l’autre grâce à sin²A + cos²A = 1. Vous obtenez deux autres expressions de cos 2A, l’une ne contenant que le cosinus, l’autre que le sinus.
    cos⁡2A=2cos⁡2A−1=1−2sin⁡2A\cos2A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A
  3. Formez le quotient pour obtenir la tangente. Diviser le numérateur et le dénominateur par cos²A exige cos A ≠ 0. L’expression obtenue n’est pas définie lorsque tan²A = 1, c’est-à-dire lorsque cos 2A = 0.
    tan⁡2A=2sin⁡Acos⁡Acos⁡2A−sin⁡2A=2tan⁡A1−tan⁡2A\tan2A=\frac{2\sin A\cos A}{\cos^{2}A-\sin^{2}A}=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}
  4. Isolez les carrés dans les expressions de cos 2A pour obtenir les formules de l’angle moitié. Vous obtenez cos²A et sin²A. Pour retrouver cos A ou sin A, choisissez le signe devant la racine carrée selon le quadrant de A : la formule seule ne le détermine pas.
    cos⁡2A=1+cos⁡2A2,sin⁡2A=1−cos⁡2A2\cos^{2}A=\frac{1+\cos2A}{2},\qquad\sin^{2}A=\frac{1-\cos2A}{2}
  5. Dans une équation, ne conservez qu’une fonction trigonométrique. En présence de sin x, écrivez cos 2x = 1 − 2sin²x ; en présence de cos x, écrivez cos 2x = 2cos²x − 1. Avec sin 2x, mettez le facteur commun en évidence sans jamais diviser par ce facteur.
    cos⁡2x=sin⁡x ⇒ 2sin⁡2x+sin⁡x−1=0,sin⁡2x=cos⁡x ⇒ cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos2x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0,\qquad\sin2x=\cos x\ \Rightarrow\ \cos x\,(2\sin x-1)=0

Problèmes entièrement résolus

  1. Calculer les fonctions de l’angle double à partir d’une tangente et d’un quadrant 4 étapes

    On donne tan A = 3/4 et 180° < A < 270°. Calculez sin 2A, cos 2A et tan 2A, puis déterminez le quadrant de 2A.

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    1. Un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 donne les valeurs absolues. Dans le quadrant III, le sinus et le cosinus sont négatifs :

      sin⁡A=−35,cos⁡A=−45\sin A=-\tfrac{3}{5},\qquad\cos A=-\tfrac{4}{5}

    2. Appliquez les formules de duplication. Pour le sinus, le produit des deux valeurs négatives est positif :

      sin⁡2A=2(−35)(−45)=2425cos⁡2A=1625−925=725\begin{aligned}\sin2A&=2\left(-\tfrac{3}{5}\right)\left(-\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{24}{25}\\ \cos2A&=\tfrac{16}{25}-\tfrac{9}{25}=\tfrac{7}{25}\end{aligned}

    3. La formule de la tangente ne nécessite que tan A :

      tan⁡2A=2⋅341−916=3/27/16=247\tan2A=\frac{2\cdot\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{9}{16}}=\frac{3/2}{7/16}=\frac{24}{7}

    4. 2A est compris entre 360° et 540°. Son sinus et son cosinus étant positifs, il se situe dans le quadrant I, après un tour complet :

      360∘<2A<540∘,sin⁡2A>0,cos⁡2A>0360^{\circ}<2A<540^{\circ},\qquad\sin2A>0,\quad\cos2A>0

    Réponse

    sin 2A = 24/25 = 0,96, cos 2A = 7/25 = 0,28, tan 2A = 24/7 ≈ 3,4286, et 2A ≈ 433,7398° se situe dans le quadrant I.

    sin⁡2A=2425,cos⁡2A=725,tan⁡2A=247\sin2A=\tfrac{24}{25},\quad\cos2A=\tfrac{7}{25},\quad\tan2A=\tfrac{24}{7}
  2. Obtenir une valeur exacte avec une formule de l’angle moitié 3 étapes

    À partir de cos 30°, calculez la valeur exacte de cos 15° et montrez qu’elle est égale à (√6 + √2)/4.

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    1. Dans cos 2A = 2cos²A − 1, posez A = 15° et isolez cos²A :

      cos⁡215∘=1+cos⁡30∘2=1+322=2+34\cos^{2}15^{\circ}=\frac{1+\cos30^{\circ}}{2}=\frac{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}

    2. L’angle 15° est aigu : retenez la racine positive.

      cos⁡15∘=2+32\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}

    3. Élevez au carré l’expression issue des formules d’addition pour comparer. Les deux nombres étant positifs, l’égalité de leurs carrés entraîne leur égalité :

      (6+24)2=6+2+21216=8+4316=2+34\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}=\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}

    Réponse

    cos 15° = √(2 + √3)/2 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

    cos⁡15∘=2+32=6+24≈0.9659\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0{.}9659
  3. Calculer une tangente exacte avec une équation du second degré 3 étapes

    À l’aide de tan 45° = 1 et de la formule de tan 2A, calculez la valeur exacte de tan 22,5°.

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    1. Posez t = tan 22,5° dans la formule de duplication, avec 2A = 45° :

      2t1−t2=1 ⇒ t2+2t−1=0\frac{2t}{1-t^{2}}=1\ \Rightarrow\ t^{2}+2t-1=0

    2. Résolvez l’équation du second degré :

      t=−2±4+42=−1±2t=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}

    3. L’angle 22,5° est aigu, donc sa tangente est positive. L’autre racine, −1 − √2, vaut tan 112,5° ; la tangente du double de cet angle vaut elle aussi 1. Le triangle inscrit dans le demi-cercle donne la même valeur par un autre calcul :

      tan⁡22.5∘=sin⁡45∘1+cos⁡45∘=2/21+2/2=22+2=2−1\tan22{.}5^{\circ}=\frac{\sin45^{\circ}}{1+\cos45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}/2}{1+\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1

    Réponse

    tan 22,5° = √2 − 1 ≈ 0,4142.

    tan⁡22.5∘=2−1≈0.4142\tan22{.}5^{\circ}=\sqrt{2}-1\approx0{.}4142
  4. Choisir l’expression de cos 2x 3 étapes

    Résolvez cos 2x = sin x pour 0° ≤ x < 360°.

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    1. L’autre terme est un sinus : choisissez l’expression de cos 2x qui ne contient que des sinus.

      1−2sin⁡2x=sin⁡x ⇒ 2sin⁡2x+sin⁡x−1=01-2\sin^{2}x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0

    2. Factorisez le trinôme en sin x :

      (2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0 ⇒ sin⁡x=12,sin⁡x=−1(2\sin x-1)(\sin x+1)=0\ \Rightarrow\ \sin x=\tfrac{1}{2},\quad\sin x=-1

    3. sin x = 1/2 pour 30° et 180° − 30° ; sin x = −1 uniquement pour 270° :

      x=30∘, 150∘, 270∘x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}

    Réponse

    x = 30°, 150° ou 270°. L’expression cos²x − sin²x aurait laissé un cosinus et un sinus dans la même équation.

    x=30∘, 150∘, 270∘x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}
  5. Factoriser sans diviser 3 étapes

    Résolvez sin 2x = cos x pour 0° ≤ x < 360°.

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    1. Développez sin 2x et ramenez tous les termes dans un même membre :

      2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02\sin x\cos x-\cos x=0

    2. cos x est commun aux deux termes. Mettez-le en facteur :

      cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

    3. Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul :

      cos⁡x=0: x=90∘, 270∘,sin⁡x=12: x=30∘, 150∘\cos x=0:\ x=90^{\circ},\ 270^{\circ},\qquad\sin x=\tfrac{1}{2}:\ x=30^{\circ},\ 150^{\circ}

    Réponse

    x = 30°, 90°, 150° ou 270°. Diviser par cos x dès la première ligne ne donne que 30° et 150° : cela suppose cos x ≠ 0 et fait perdre précisément les solutions pour lesquelles cos x = 0.

    x=30∘, 90∘, 150∘, 270∘x=30^{\circ},\ 90^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}
  6. Linéariser un carré pour calculer une intégrale 3 étapes

    Exprimez sin²x en fonction de cos 2x, puis calculez la valeur exacte de l’intégrale de sin²x entre 0 et π/2.

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    1. Isolez sin²x dans cos 2x = 1 − 2sin²x :

      sin⁡2x=12−12cos⁡2x\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos2x

    2. Vous connaissez maintenant une primitive de chaque terme :

      ∫0π/2sin⁡2x dx=[x2−sin⁡2x4]0π/2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_{0}^{\pi/2}

    3. Comme sin π = sin 0 = 0, seul le terme x/2 contribue au résultat :

      =π4−0=π4=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}

    Réponse

    L’intégrale vaut π/4 ≈ 0,7854, soit la moitié de la longueur de l’intervalle, car la valeur moyenne de sin²x sur cet intervalle est 1/2.

    ∫0π/2sin⁡2x dx=π4≈0.7854\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854
  7. Démontrer une identité de l’angle moitié 3 étapes

    Démontrez que sin 2A/(1 + cos 2A) = tan A lorsque les deux membres sont définis, puis vérifiez cette égalité pour A = 30°.

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    1. Choisissez pour chaque fonction de l’angle double une expression faisant apparaître un facteur commun au numérateur et au dénominateur :

      sin⁡2A1+cos⁡2A=2sin⁡Acos⁡A1+(2cos⁡2A−1)=2sin⁡Acos⁡A2cos⁡2A\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\frac{2\sin A\cos A}{1+(2\cos^{2}A-1)}=\frac{2\sin A\cos A}{2\cos^{2}A}

    2. Simplifiez par 2 cos A, qui est non nul lorsque tan A est définie :

      =sin⁡Acos⁡A=tan⁡A=\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A

    3. Pour A = 30° :

      sin⁡60∘1+cos⁡60∘=3/23/2=33=tan⁡30∘\frac{\sin60^{\circ}}{1+\cos60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan30^{\circ}

    Réponse

    sin 2A/(1 + cos 2A) = tan A ; pour 30°, les deux membres valent √3/3 ≈ 0,5774. Dans le demi-cercle, ce quotient est celui de la hauteur de P par le plus long des segments du diamètre.

    sin⁡2A1+cos⁡2A=tan⁡A\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\tan A

Exercices supplémentaires, réponses seules

  1. On donne tan A = 2 et A aigu. Calculez tan 2A.

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    −4/3

    tan⁡2A=−43\tan2A=-\tfrac{4}{3}

  2. Résolvez cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 pour 0° ≤ x < 360°.

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    x = 120°, 180° ou 240°

    x=120∘, 180∘, 240∘x=120^{\circ},\ 180^{\circ},\ 240^{\circ}

  3. Résolvez sin 2x = sin x pour 0° ≤ x < 360°.

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    x = 0°, 60°, 180° ou 300°

    x=0∘, 60∘, 180∘, 300∘x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 180^{\circ},\ 300^{\circ}

  4. Calculez la valeur exacte de sin 22,5°.

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    √(2 − √2)/2 ≈ 0,3827

    sin⁡22.5∘=2−22\sin22{.}5^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

  5. On donne cos A = 1/3 et A dans le quadrant IV. Calculez les valeurs exactes de sin 2A et de cos 2A.

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    sin 2A = −4√2/9 ≈ −0,6285, cos 2A = −7/9

    sin⁡2A=−429,cos⁡2A=−79\sin2A=-\tfrac{4\sqrt{2}}{9},\quad\cos2A=-\tfrac{7}{9}

  6. Montrez que cos 3A = 4cos³A − 3cos A.

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    Développez cos(2A + A) = cos 2A cos A − sin 2A sin A, remplacez cos 2A et sin 2A par 2cos²A − 1 et 2 sin A cos A, puis utilisez sin²A = 1 − cos²A.

    cos⁡3A=4cos⁡3A−3cos⁡A\cos3A=4\cos^{3}A-3\cos A

Les formules de duplication se lisent sur un triangle inscrit dans un demi-cercle

Reliez les extrémités W et E d’un diamètre au point P du cercle, repéré par l’angle au centre 2A. La corde WP fait avec le diamètre, en W, un angle A, moitié de l’angle au centre. C’est le théorème de l’angle inscrit, démontré par Euclide : un angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc (Éléments III.20). Le triangle WPE est rectangle en P (III.31). Son hypoténuse est le diamètre, de longueur 2, donc WP = 2 cos A et EP = 2 sin A. La hauteur de P vaut WP · sin A, soit 2 sin A cos A ; elle vaut aussi sin 2A. Le projeté orthogonal F de P partage le diamètre en deux segments : WF = WP · cos A = 2cos²A et FE = EP · sin A = 2sin²A. Leurs longueurs sont aussi 1 + cos 2A et 1 − cos 2A. Le quotient de la hauteur par WF donne tan A = sin 2A/(1 + cos 2A), la formule de l’angle moitié, sans calcul algébrique. Au-delà de A = 90°, la corde WP change de sens et 2 cos A devient négatif. En conservant les signes dans les produits et en lisant ces mesures comme des mesures algébriques, les relations restent valables pour tout angle.

Diviser par cos x fait perdre la moitié des solutions

Cliquez sur sin 2x = cos x. Sous la forme 2 sin x cos x = cos x, l’équation donne envie de simplifier par cos x. Il reste alors 2 sin x = 1, d’où 30° et 150°. La page trouve quatre solutions : 90° et 270° conviennent aussi, car cos x = 0 et les deux membres valent 0. Simplifier par cos x revient à diviser par cette expression, ce qui suppose qu’elle ne soit pas nulle. Cette opération exclut donc précisément les solutions qu’elle fait perdre. Ramenez plutôt tous les termes dans un même membre et mettez le facteur commun en évidence : cos x(2 sin x − 1) = 0. Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Le même piège se présente avec sin 2x = sin x : une division par sin x fait perdre 0° et 180°.

La moyenne de sin²x vaut un demi : la tension efficace du secteur est inférieure à sa valeur de crête

Réécrivez cos 2x = 1 − 2sin²x sous la forme sin²x = 1/2 − (1/2) cos 2x. Le carré d’une sinusoïde oscille autour du niveau 1/2, avec une fréquence double et une amplitude réduite de moitié. Sur un nombre entier de périodes, le terme en cosinus a une moyenne nulle : la moyenne de sin²x vaut donc exactement 1/2. Dans une résistance, la puissance dissipée par effet Joule est proportionnelle au carré de la tension. Une tension alternative V₀ sin ωt produit ainsi, en moyenne, le même échauffement qu’une tension continue V₀/√2. Cette valeur continue équivalente est la tension efficace, celle qu’indique la plaque signalétique. En Europe, la tension nominale du secteur est de 230 V ; sa valeur de crête atteint 230√2 ≈ 325 V, avec cinquante oscillations par seconde.

Parcours

Identités et équations trigonométriques

Références (3)

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.