Démontrer des identités trigonométriques

Saisissez l’égalité à démontrer, membre de gauche ≡ membre de droite, puis détaillez votre calcul ligne par ligne. Chaque expression doit être égale à la précédente. Chaque étape est vérifiée pour 64 angles répartis sur un tour complet : une coche indique que les deux expressions coïncident partout où elles sont toutes deux définies ; une croix donne le premier angle où elles diffèrent. Un avertissement apparaît si une expression n’est pas définie pour un angle où les deux membres de l’égalité initiale le sont. Les touches permettent d’insérer les fonctions, les puissances et les racines.

Passer aux sinus et cosinus	$\begin{gathered}\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}\end{gathered}$
Carrés du sinus et du cosinus	$\begin{gathered}\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\\ 1+\tan^{2}x=\sec^{2}x\end{gathered}$
1 ± sin x au dénominateur	$(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^{2}x$
Une différence de deux carrés	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Exemple résolu — Démontrer des identités trigonométriques

membre de droite	64 angles testés

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Démontrer des identités trigonométriques

Démontrer une identité, c’est établir que deux expressions sont égales pour tout angle où elles sont toutes deux définies, en passant d’un membre à l’autre par une suite d’expressions égales.

D’où vient la formule

Partez du membre le plus compliqué, généralement celui qui comporte le plus de termes, de fractions ou d’angles exprimés comme des sommes ou des doubles : il offre davantage de possibilités de simplification.
$\tan x+\cot x=\cdots=\sec x\csc x$
Exprimez tout en fonction de sinus et de cosinus lorsque tan, sec, csc ou cot se mêlent dans une expression : utilisez tan x = sin x/cos x et les relations donnant les fonctions inverses.
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\quad\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}$
Appuyez-vous sur les outils algébriques connus : mettez au même dénominateur, factorisez une différence de deux carrés ou multipliez par l’expression conjuguée 1 − sin x pour obtenir 1 − sin²x.
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),\qquad(1+\sin x)(1-\sin x)=1-\sin^{2}x$
Utilisez les identités adaptées : sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x, ainsi que les formules d’addition et de l’angle double.
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,\qquad1+\tan^{2}x=\sec^{2}x,\qquad1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$
Terminez par l’autre membre, sous la forme exacte de l’énoncé. Chaque expression est égale à la précédente partout où elles sont toutes deux définies. La première est donc égale à la dernière, à condition qu’aucune expression intermédiaire ne soit indéfinie là où les deux membres de l’égalité initiale sont définis. N’élevez pas les deux membres de l’égalité à démontrer au carré : cette opération fait perdre le signe et peut transformer une égalité fausse en égalité vraie.
$f_{0}=f_{1}=f_{2}=\cdots=f_{n}\ \Rightarrow\ f_{0}\equiv f_{n}$

Problèmes entièrement résolus

Tout exprimer en sinus et cosinus 3 étapes
Démontrez que tan x + cot x ≡ sec x csc x.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Exprimez le membre de gauche en fonction de sinus et de cosinus :
  
  $\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Réduisez au même dénominateur sin x cos x :
  
  $=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}$
3. Le numérateur vaut 1. Reconnaissez ensuite la sécante et la cosécante :
  
  $=\frac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\csc x$
Réponse

tan x + cot x ≡ sec x csc x pour tout x tel que sin x et cos x soient tous deux non nuls. L’égalité est vérifiée pour les 64 angles testés par la page.

$\tan x+\cot x\equiv\sec x\csc x$
Une différence de deux carrés 2 étapes
Démontrez que cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x.

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1. Dans cos⁴x − sin⁴x, reconnaissez la différence des carrés de cos²x et de sin²x :
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)(\cos^{2}x+\sin^{2}x)$
2. Le second facteur vaut 1 ; la formule de l’angle double donne cos 2x pour le premier :
  
  $=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\cdot1=\cos2x$
Réponse

cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x pour tout x.

$\cos^{4}x-\sin^{4}x\equiv\cos2x$
Multiplier par l’expression conjuguée 2 étapes
Démontrez que (1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x).

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1. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 1 − sin x pour faire apparaître une différence de carrés au numérateur :
  
  $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{1-\sin^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}$
2. Utilisez 1 − sin²x = cos²x, puis simplifiez par cos x :
  
  $=\frac{\cos^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Réponse

(1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x) pour tout x tel que cos x ≠ 0 et sin x ≠ 1.

$\frac{1+\sin x}{\cos x}\equiv\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Combiner les formules d’addition et de l’angle double 3 étapes
Démontrez que sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x.

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1. Écrivez 3x = 2x + x, puis développez avec la formule d’addition :
  
  $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$
2. Appliquez les formules de l’angle double, en choisissant celle qui exprime cos 2x uniquement en fonction de sinus :
  
  $=2\sin x\cos^{2}x+(1-2\sin^{2}x)\sin x$
3. Remplacez cos²x par 1 − sin²x, puis regroupez les termes :
  
  $=2(1-\sin^{2}x)\sin x+\sin x-2\sin^{3}x=3\sin x-4\sin^{3}x$
Réponse

sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x pour tout x.

$\sin3x\equiv3\sin x-4\sin^{3}x$
Repérer et corriger une égalité fausse 3 étapes
L’égalité √(1 − cos²x) = sin x est-elle une identité ? Sinon, donnez un angle pour lequel elle est fausse et corrigez-la.

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1. La première étape utilise une identité vraie :
  
  $\sqrt{1-\cos^{2}x}=\sqrt{\sin^{2}x}$
2. La racine carrée du carré d’un nombre est sa valeur absolue :
  
  $\sqrt{\sin^{2}x}=|\sin x|$
3. L’égalité est donc fausse dès que sin x < 0. Au premier angle où la page détecte un écart :
  
  $x=264{.}98^{\circ}:\quad|\sin x|=0{.}9962,\qquad\sin x=-0{.}9962$
Réponse

Non. Elle est fausse pour tout x tel que 180° < x < 360°, par exemple pour 264,98°, où les deux membres valent 0,9962 et −0,9962. L’identité correcte est √(1 − cos²x) = |sin x|.

$\sqrt{1-\cos^{2}x}\equiv|\sin x|$
Démontrer, puis en déduire les solutions 3 étapes
Démontrez que (1 − cos 2x)/sin 2x ≡ tan x, puis déduisez-en les solutions de (1 − cos 2x)/sin 2x = √3 pour 0° < x < 360°.
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1. Choisissez la formule de cos 2x qui réduit 1 − cos 2x à un seul terme et utilisez celle du sinus de l’angle double :
  
  $\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\frac{1-(1-2\sin^{2}x)}{2\sin x\cos x}=\frac{2\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\tan x$
2. L’équation devient tan x = √3. La tangente a pour période 180° :
  
  $\tan x=\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x=60^{\circ},\quad x=60^{\circ}+180^{\circ}=240^{\circ}$
3. Vérifiez que sin 2x ≠ 0 pour chacune des deux valeurs, afin que le membre de gauche soit bien défini :
  
  $\sin120^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0,\qquad\sin480^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0$
Réponse

x = 60° ou x = 240°.

$x=60^{\circ},\ 240^{\circ}$
Trouver l’erreur 2 étapes
Un élève écrit cos⁴x − sin⁴x = (cos²x − sin²x)² = cos 2x. Trouvez l’erreur.

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1. À la première étape, l’élève confond la différence de deux carrés avec le carré d’une différence :
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x\ \ne\ (\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}$
2. Ces deux expressions ne sont pas égales. Pour 42,49°, premier angle où la page détecte un écart :
  
  $x=42{.}49^{\circ}:\quad\cos^{4}x-\sin^{4}x=0{.}0874,\qquad(\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}=0{.}0076$
Réponse

L’étape 1 est fausse : a² − b² = (a − b)(a + b), et non (a − b)². L’expression obtenue à cette étape vaut cos²2x. Ce calcul ne démontre donc rien, même si l’identité proposée est vraie.

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\ne(a-b)^{2}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Démontrez que 1/(1 − sin x) + 1/(1 + sin x) ≡ 2 sec²x.

Afficher la réponse

Réduisez au même dénominateur 1 − sin²x = cos²x ; la somme des numérateurs vaut 2.

$\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=\frac{2}{1-\sin^{2}x}=\frac{2}{\cos^{2}x}=2\sec^{2}x$
Démontrez que (sin x + cos x)² ≡ 1 + sin 2x.

Afficher la réponse

Développez : sin²x + cos²x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x.

$(\sin x+\cos x)^{2}=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$
Démontrez que sec⁴x − tan⁴x ≡ sec²x + tan²x.

Afficher la réponse

Factorisez en (sec²x − tan²x)(sec²x + tan²x), puis utilisez sec²x − tan²x = 1.

$\sec^{4}x-\tan^{4}x=(\sec^{2}x-\tan^{2}x)(\sec^{2}x+\tan^{2}x)=\sec^{2}x+\tan^{2}x$
Démontrez que cot x − tan x ≡ 2 cot 2x.

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Avec sin x cos x pour dénominateur commun, le numérateur devient cos²x − sin²x = cos 2x. Utilisez ensuite sin x cos x = ½ sin 2x.

$\cot x-\tan x=\frac{\cos2x}{\tfrac12\sin2x}=2\cot2x$
L’égalité sin x/(1 + cos x) ≡ (1 − cos x)/sin x est-elle une identité ?

Afficher la réponse

Oui, partout où les deux membres sont définis : multipliez le numérateur et le dénominateur du membre de droite par 1 + cos x.

$\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{1-\cos^{2}x}{\sin x\,(1+\cos x)}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$
L’égalité cos x = √(1 − sin²x) est-elle une identité ?

Afficher la réponse

Non : elle est fausse dès que cos x < 0, par exemple pour 120°, où le membre de gauche vaut −1/2 et celui de droite 1/2.

$x=120^{\circ}:\quad\cos x=-\tfrac12,\quad\sqrt{1-\sin^{2}x}=\tfrac12$

Quelques angles peuvent conforter une égalité sans la démontrer

Cliquez sur √(1 − cos²x) = sin x ? et essayez 30°, 45°, 60°, 90° ou 150°, ces angles que l’on choisit volontiers pour vérifier un calcul à la calculatrice. Les deux membres coïncident à chaque fois. Pourtant, l’égalité est fausse. Le premier angle où la page détecte un écart est 264,98° : le membre de gauche vaut 0,9962, celui de droite −0,9962. Une racine carrée est toujours positive ou nulle, alors que sin x est négatif dans les quadrants III et IV. Des essais limités au demi-tour où sin x est positif n’auraient révélé aucune erreur. La page répartit donc ses 64 angles sur un tour complet. L’identité correcte est √(1 − cos²x) = |sin x|.

Élever les deux membres au carré peut masquer une égalité fausse

Cette même égalité fausse résiste à une opération qui fait perdre de l’information. Élevez les deux membres de √(1 − cos²x) = sin x au carré : vous obtenez 1 − cos²x = sin²x, une égalité vraie pour tout angle. Le carré ne distingue pas sin x de −sin x. Obtenir une égalité vraie après des élévations au carré ne garantit donc pas que l’égalité de départ soit vraie : −1 = 1 donne ainsi 1 = 1. Pour démontrer une identité, partez d’un membre et transformez-le jusqu’à obtenir l’autre, chaque expression restant égale à la précédente. Chaque signe = relie alors deux écritures d’un même nombre, du membre de gauche jusqu’au membre de droite.

Pour des multiples entiers de x, assez d’angles suffisent à démontrer

Dans certains cas, vérifier l’égalité pour un nombre suffisant d’angles constitue une démonstration. Une somme de sinus et de cosinus de x, 2x, …, nx, appelée polynôme trigonométrique de degré n, s’annule en au plus 2n angles sur un tour si elle n’est pas identiquement nulle. En effet, en notant z le point d’angle x sur le cercle unité, on l’exprime comme un polynôme en z de degré 2n divisé par zⁿ ; un tel polynôme possède au plus 2n racines. Deux expressions de ce type qui coïncident en 2n + 1 angles distincts d’un même tour coïncident donc partout. Les fractions se ramènent au même cas après multiplication par les dénominateurs. Ainsi, si l’égalité est vérifiée pour les 64 angles de la page, elle est établie, aux erreurs d’arrondi près, dès lors que le degré obtenu après élimination des dénominateurs ne dépasse pas 31. Ce raisonnement ne s’applique ni aux racines carrées ni aux valeurs absolues, présentes précisément dans l’égalité fausse du premier encadré.

Parcours

Identités et équations trigonométriques

Références (1)

The method the lesson states: work on one side, usually the more complex one; factor, square a binomial or add fractions; failing that, convert to sines and cosines: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.

Démontrer des identités trigonométriques

D’où vient la formule

Exercices supplémentaires, réponses seules

Quelques angles peuvent conforter une égalité sans la démontrer 🖖

Élever les deux membres au carré peut masquer une égalité fausse 🖖

Pour des multiples entiers de x, assez d’angles suffisent à démontrer 🖖

Quelques angles peuvent conforter une égalité sans la démontrer

Élever les deux membres au carré peut masquer une égalité fausse

Pour des multiples entiers de x, assez d’angles suffisent à démontrer