Taux liés

Lorsque deux grandeurs restent liées par une équation à chaque instant, leurs vitesses de variation le sont par sa dérivée. Choisissez une situation, fixez l'instant et suivez vous-même les cinq étapes : la page confronte le calcul issu de la dérivation composée à la vitesse mesurée sur le mouvement seul, puis trace cette vitesse sur toute la trajectoire.

Taux de variation liés	$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$

Hauteur du sommet, y (m)	4
Vitesse du sommet, y′ (m/s)	−0,375
Vitesse du sommet rapportée à celle du pied	0,75
Angle avec le sol, θ (degrés)	53,1
Temps avant que le sommet ne touche le sol (s)	4
Hauteur où cette poussée s'annule (m)	0,752

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

On appelle taux liés les dérivées par rapport au temps de grandeurs unies par une même équation. Si une relation comme x² + y² = L² reste vraie à tout instant, dériver ses deux membres par rapport à t selon la règle des fonctions composées livre une égalité entre les vitesses x′ et y′. Ainsi, la connaissance d'une vitesse détermine immédiatement l'autre dès lors que x et y sont connus. L'ordre des opérations est crucial : dérivez d'abord dans le cas général, puis évaluez seulement ensuite aux valeurs particulières de l'instant.

Ce que signifie chaque symbole

x′: dx/dt, la vitesse de variation de x au cours du temps
y*: la hauteur où le sommet d'une échelle homogène décolle du mur, (2a²L²/(3g))^⅓

Suppose: L'échelle est rigide, son pied glisse à vitesse constante et son sommet est supposé glisser sans quitter le mur ; le cône est régulier et l'ombre est projetée par une source lumineuse ponctuelle. La réaction du mur est calculée pour une échelle homogène sur sol et paroi sans frottement, avec g = 9,81 m/s². Les vitesses de variation elles-mêmes ne font appel qu'à la géométrie.

L'échelle en 3-4-5 3 étapes
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Son pied, situé à 3 m du mur, glisse en s'éloignant à 0,5 m/s. À quelle vitesse le sommet descend-il, et au bout de combien de temps le pied atteindra-t-il 5 m ?

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1. Cette relation reste vraie à tout instant. Ici, elle donne la hauteur du sommet :
  
  $x^{2}+y^{2}=5^{2},\qquad x=3\ \Rightarrow\ y=\sqrt{25-9}=4$
2. Dérivez par rapport à t, puis injectez les valeurs numériques de cet instant :
  
  $2x\,x'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\,x'=-\frac{3}{4}\times0{.}5=-0{.}375\ \mathrm{m/s}$
3. Le pied a encore 2 m à parcourir, à la vitesse constante de 0,5 m/s :
  
  $t=\frac{L-x}{x'}=\frac{5-3}{0{.}5}=4\ \mathrm{s}$
Réponse

Le sommet descend à 0,375 m/s, et le pied atteint 5 m au bout de 4 s. Le signe moins indique que la hauteur diminue. Ce résultat est une vitesse instantanée : une seconde plus tard, le pied est à 3,5 m et le sommet descend encore plus vite.

$y'=-0{.}375\ \mathrm{m/s},\qquad t=4\ \mathrm{s}$
Remplissage d'un cône à mi-hauteur 3 étapes
De l'eau s'écoule à 2 m³/min dans un cône de 4 m de profondeur, la pointe vers le bas, dont l'ouverture a un rayon de 2 m. À quelle vitesse le niveau monte-t-il quand l'eau atteint 2 m de profondeur, et comment cette vitesse se compare-t-elle à celle atteinte à ras bord ?

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1. Les triangles semblables relient le rayon de la surface à la profondeur : le volume ne dépend plus que d'une seule variable :
  
  $\frac{r}{h}=\frac{R}{H}=\frac{2}{4}\ \Rightarrow\ r=\frac{h}{2},\qquad V=\frac{\pi}{3}r^{2}h=\frac{\pi}{12}h^{3}$
2. Dérivez. Le facteur placé devant h′ correspond à l'aire de la surface :
  
  $V'=\frac{\pi}{4}h^{2}\,h'=\pi r^{2}\,h'\ \Rightarrow\ h'=\frac{Q}{\pi r^{2}}=\frac{2}{\pi\cdot1^{2}}=0{.}6366\ \mathrm{m/min}$
3. À ras bord, la surface présente un rayon deux fois plus grand :
  
  $h=4,\ r=2:\qquad h'=\frac{2}{\pi\cdot2^{2}}=0{.}1592\ \mathrm{m/min}$
Réponse

Le niveau monte à 2/π ≈ 0,6366 m/min, soit quatre fois les 0,1592 m/min observés à ras bord. Éliminez r avant de dériver. Dériver V = πr²h/3 en conservant r ferait intervenir r′ comme seconde vitesse inconnue.

$h'=\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366\ \mathrm{m/min},\qquad \frac{0{.}6366}{0{.}1592}=4$
L'extrémité d'une ombre 3 étapes
Un lampadaire est perché à 6 m sur un poteau. Une personne mesurant 1,8 m s'en éloigne à 1,5 m/s. Lorsqu'elle se trouve à 4 m du poteau, quelle est la longueur de son ombre, à quelle vitesse s'allonge-t-elle et à quelle vitesse son extrémité se déplace-t-elle ?

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1. Le rayon passant par le sommet de la tête forme deux triangles semblables. Isolez la longueur s de l'ombre :
  
  $\frac{s}{1{.}8}=\frac{d+s}{6}\ \Rightarrow\ 4{.}2\,s=1{.}8\,d\ \Rightarrow\ s=\frac{1{.}8\times4}{4{.}2}=1{.}714\ \mathrm{m}$
2. Dérivez. Puisque s est un multiple constant de d, sa vitesse de variation est ce même multiple de d′ :
  
  $s'=\frac{1{.}8}{4{.}2}\,d'=\frac{1{.}8\times1{.}5}{4{.}2}=0{.}643\ \mathrm{m/s}$
3. L'extrémité se trouve à une distance d + s du poteau :
  
  $(d+s)'=d'+s'=1{.}5+0{.}643=2{.}143\ \mathrm{m/s}$
Réponse

L'ombre mesure 1,714 m et s'allonge à 0,643 m/s, tandis que son extrémité avance à 2,143 m/s. Aucune de ces deux vitesses ne dépend de d : posez la même question à 16 m, les réponses seront identiques.

$s'=0{.}643\ \mathrm{m/s},\qquad (d+s)'=2{.}143\ \mathrm{m/s}$
Vitesse de fermeture de l'angle 4 étapes
Une échelle de 6,5 m est posée contre un mur, et son pied glisse vers l'extérieur à 0,4 m/s. Lorsque le pied se trouve à 2,5 m du mur, à quelle vitesse le sommet descend-il ? À quelle distance du mur les deux extrémités vont-elles à la même vitesse ? Et à quel rythme l'angle entre l'échelle et le sol diminue-t-il lorsque le pied est à 2,5 m ? Cliquez sur Exercice guidé pour afficher les deux premières réponses. La troisième n'est pas tracée par la page.

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1. La relation géométrique et la hauteur du sommet à cet instant :
  
  $x^{2}+y^{2}=6{.}5^{2},\qquad x=2{.}5\ \Rightarrow\ y=\sqrt{42{.}25-6{.}25}=6$
2. Dérivez par rapport à t puis isolez y′ :
  
  $2x\,x'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\,x'=-\frac{2{.}5}{6}\times0{.}4=-0{.}1667\ \mathrm{m/s}$
3. Les deux extrémités avancent à la même vitesse quand x/y = 1, c'est-à-dire quand x = y :
  
  $\frac{x}{y}=1\ \Rightarrow\ x=y=\frac{6{.}5}{\sqrt2}=4{.}596\ \mathrm{m}$
4. Pour l'angle, dérivez plutôt x = L cos θ et remarquez que L sin θ vaut y :
  
  $x=L\cos\theta\ \Rightarrow\ x'=-L\sin\theta\,\theta'=-y\,\theta'\ \Rightarrow\ \theta'=-\frac{x'}{y}=-\frac{0{.}4}{6}=-0{.}0667\ \mathrm{rad/s}$
Réponse

Le sommet descend à 0,1667 m/s, les vitesses coïncident quand le pied est à 4,596 m, et l'angle diminue à raison de 0,0667 rad/s, soit environ 3,82° par seconde. L'expression θ′ = −x′/y comporte ce même diviseur y que la vitesse du sommet : elle augmente donc elle aussi sans borne à mesure que l'échelle s'aplatit.

$y'=-0{.}1667\ \mathrm{m/s},\qquad x=4{.}596\ \mathrm{m},\qquad \theta'=-0{.}0667\ \mathrm{rad/s}\approx-3{.}82^{\circ}/\mathrm{s}$
Un ballon que l'on gonfle 3 étapes
On injecte de l'air dans un ballon sphérique à un débit de 100 cm³/s. À quelle vitesse son rayon croît-il lorsqu'il atteint 10 cm, et à quel rythme son aire augmente-t-elle à cet instant ?
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1. La relation valable à tout instant, puis sa dérivée par rapport à t :
  
  $V=\tfrac43\pi r^{3}\ \Rightarrow\ V'=4\pi r^{2}\,r'$
2. À cet instant précis, r = 10 :
  
  $\begin{aligned}r'&=\dfrac{V'}{4\pi r^{2}}=\dfrac{100}{400\pi}\\&=\dfrac{1}{4\pi}\approx0{.}0796\ \mathrm{cm/s}\end{aligned}$
3. L'aire fait intervenir une autre relation en r, que vous dérivez de la même manière :
  
  $\begin{aligned}S&=4\pi r^{2}\ \Rightarrow\ S'=8\pi r\,r'\\S'&=8\pi\cdot10\cdot\dfrac{1}{4\pi}=20\ \mathrm{cm^{2}/s}\end{aligned}$
Réponse

Le rayon croît à raison de 1/(4π) ≈ 0,0796 cm/s et l'aire à 20 cm²/s. À débit d'air constant, le rayon grandit de plus en plus lentement : r′ décroît en 1/r², car chaque nouveau cm³ vient se répartir sur une surface plus vaste.

$\begin{aligned}&r'=\dfrac{1}{4\pi}\approx0{.}0796\ \mathrm{cm/s}\\&S'=20\ \mathrm{cm^{2}/s}\end{aligned}$
Deux voitures et un carrefour 3 étapes
Une voiture A se trouve à 0,6 km au nord d'un carrefour et s'en approche à 50 km/h. Une voiture B est à 0,8 km à l'est et s'en éloigne à 60 km/h. À quelle vitesse la distance qui les sépare varie-t-elle ?
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1. Nommez ces longueurs. Soit y la distance de A au carrefour et x celle de B ; A s'en approche, son taux de variation est donc négatif :
  
  $y'=-50,\quad x'=60,\quad s^{2}=x^{2}+y^{2}$
2. Dérivez la relation par rapport à t avant d'y injecter la moindre valeur numérique :
  
  $\begin{aligned}2s\,s'&=2x\,x'+2y\,y'\\s'&=\dfrac{x\,x'+y\,y'}{s}\end{aligned}$
3. À cet instant précis, les deux voitures sont distantes de 1 km :
  
  $\begin{aligned}s&=\sqrt{0{.}8^{2}+0{.}6^{2}}=1\\s'&=0{.}8\cdot60+0{.}6\cdot(-50)\\&=48-30=18\ \mathrm{km/h}\end{aligned}$
Réponse

La distance augmente à raison de 18 km/h. La réponse n'est ni l'une des vitesses, ni leur somme. Chaque voiture ne compte que par sa contribution le long de la droite qui les relie, soit x/s pour B et y/s pour A : B apporte ainsi 48 km/h, et A, qui se rapproche, en retranche 30.

$s'=18\ \mathrm{km/h}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Une pierre jetée dans un étang crée une onde circulaire dont le rayon croît à raison de 3 cm/s. À quelle vitesse l'aire ainsi délimitée augmente-t-elle lorsque le rayon mesure 10 cm ?

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60π ≈ 188,5 cm²/s

$A'=60\pi\approx188{.}5\ \mathrm{cm^{2}/s}$
L'arête d'un cube s'allonge à raison de 2 mm/s. À quelle vitesse son volume augmente-t-il lorsque l'arête mesure 5 mm ?

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150 mm³/s

$V'=150\ \mathrm{mm^{3}/s}$
Une échelle de 10 m glisse le long d'un mur, son pied s'en écartant à 1 m/s. À quelle vitesse le sommet descend-il lorsque le pied se trouve à 6 m du mur ?

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0,75 m/s

$y'=-0{.}75\ \mathrm{m/s}$
Un ballon s'élève à la verticale à 5 m/s depuis un point situé à 100 m d'un observateur. À quelle vitesse l'angle d'élévation augmente-t-il lorsque le ballon se trouve à 100 m d'altitude ?

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0,025 rad/s, soit environ 1,43°/s

$\theta'=0{.}025\ \mathrm{rad/s}\approx1{.}43^{\circ}/\mathrm{s}$
Une boule de neige fond en restant sphérique et perd 10 cm³/min. À quelle vitesse son rayon diminue-t-il lorsqu'il mesure 5 cm ?

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1/(10π) ≈ 0,0318 cm/min

$r'=-\dfrac{1}{10\pi}\approx-0{.}0318\ \mathrm{cm/min}$
Un réservoir conique, la pointe vers le bas, a une profondeur de 6 m et un rayon de 3 m à son ouverture. L'eau y pénètre à raison de 1 m³/min. À quelle vitesse le niveau monte-t-il lorsque la hauteur d'eau atteint 2 m ?

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1/π ≈ 0,318 m/min

$h'=\dfrac{1}{\pi}\approx0{.}318\ \mathrm{m/min}$

La formule précipite le sommet contre le sol à une vitesse infinie

La relation y′ = −(x/y)·x′ indique que le sommet descend x/y fois plus vite que le pied n'avance. Ce rapport reste inférieur à 1 tant que l'échelle est dressée à plus de 45° ; passé 45°, il n'a plus de limite. À mesure que le sommet s'approche du sol, y tend vers zéro et le résultat du calcul s'envole vers l'infini. Cliquez sur Les 10 derniers cm pour l'observer. La dérivation supposait que le sommet restait en contact avec le mur, or cette hypothèse finit par céder. Le sommet a besoin que le mur le repousse ; pour une échelle homogène tirée à vitesse constante, cette poussée s'annule à y* = (2a²L²/(3g))^⅓, soit 0,752 m pour cette échelle. Plus bas, il faudrait que la paroi retienne l'échelle : le sommet s'en détache donc. À droite de la ligne ambrée, la courbe bleue prolonge la formule alors qu'en réalité, l'échelle a déjà quitté le mur.

L'extrémité de votre ombre avance toujours à la même allure, quelle que soit votre distance

D'après les triangles semblables, l'ombre représente une fraction constante de votre distance au poteau, s = pd/(P − p), et une fraction fixe de d croît à cette même fraction de d′. Votre position n'intervient donc pas dans la vitesse. Cliquez sur Ombre à 4 m, puis sur Ombre à 16 m : l'ombre est quatre fois plus longue, mais les deux vitesses restent inchangées, traçant des droites horizontales sur le graphique. La vitesse de l'échelle s'emballait parce que x² + y² = L² décrit une courbe. Ici, la relation est une droite, et une droite lie deux vitesses par une constante.

Un cône atteint sa mi-hauteur en un huitième du temps

Le débit entrant se répartit sur la surface de l'eau, de sorte que le niveau monte à la vitesse h′ = Q/(πr²) : rapidement tant que la surface est réduite, lentement dès qu'elle s'élargit. À mi-profondeur, la surface libre n'occupe que le quart de l'aire de l'ouverture ; le niveau y monte donc quatre fois plus vite qu'il ne le fera tout en haut. Et comme le volume varie selon le cube de la profondeur, la moitié de la profondeur ne contient qu'un huitième de l'eau et s'atteint en un huitième du temps de remplissage. Aucun de ces rapports ne dépend des dimensions du cône ni du débit. Modifiez-les : à mi-profondeur, la page affichera toujours 4 et 12,5 %. Cliquez sur Réinitialiser et Lancer pour voir le niveau filer, puis avancer au ralenti.

Parcours

Références (1)

The five-step strategy the page's stepper follows (assign symbols, state what is given and what is wanted, find an equation relating the variables, differentiate both sides with respect to time by the chain rule, then substitute the known values and solve), with worked examples on a balloon, an aeroplane, a rocket launch and water draining from a cone-shaped funnel, and the ladder and lamppost-shadow problems among the exercises: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.1, “Related Rates”.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.

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Ce que signifie chaque symbole

Exercices supplémentaires, réponses seules

La formule précipite le sommet contre le sol à une vitesse infinie 🖖

L'extrémité de votre ombre avance toujours à la même allure, quelle que soit votre distance 🖖

Un cône atteint sa mi-hauteur en un huitième du temps 🖖

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L'extrémité de votre ombre avance toujours à la même allure, quelle que soit votre distance

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