Dérivation implicite

Certaines courbes ne peuvent pas s'expliciter par rapport à y, mais possèdent pourtant une pente en presque chacun de leurs points. Choisissez une courbe et une abscisse x : la page détermine les points situés à cette abscisse, trace la tangente en celui de votre choix et y calcule −F_x/F_y. Déroulez ensuite la dérivation pour confronter chaque ligne aux valeurs numériques.

Dérivation implicite	$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\qquad F_y\neq0$

Exemple résolu — Dérivation implicite

Le point choisi	(1; 2,3615)
∂F/∂x en ce point	−11,1688
∂F/∂y en ce point	10,7296
La pente en ce point	1,0409
Corde reliant les voisins sur la même branche	1,0409
Autres points à cette abscisse	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Dérivation implicite

Une courbe F(x, y) = 0 dont vous ne pouvez pas isoler y admet tout de même une pente en chacun de ses points réguliers : dy/dx = −F_x/F_y, une formule où se mêlent x et y. Elle n'est plus définie là où F_y = 0.

Ce que signifie chaque symbole

F_x: ∂F/∂x, la dérivée de F par rapport à x, à y fixé
F_y: ∂F/∂y, la dérivée de F par rapport à y, à x fixé ; là où elle vaut 0, la formule de la pente ne donne aucune valeur

D’où vient la formule

Dérivez le long de la courbe. Considérez y comme une fonction de x et dérivez F(x, y(x)) = 0. Chaque terme en x se dérive normalement ; chaque terme en y fait apparaître un facteur y′ par la règle de dérivation des fonctions composées. Ces deux termes sont F_x et F_y·y′, et leur somme vaut 0.
$\frac{d}{dx}F\bigl(x,y(x)\bigr)=F_x+F_y\,y'=0$
Isolez y′. Partout où F_y n'est pas nul, divisez par ce terme. La pente s'exprime en fonction de x et de y. Il vous faut donc le point complet, pas seulement x : une même abscisse peut porter plusieurs points et plusieurs pentes.
$y'=-\frac{F_x}{F_y}\qquad(F_y\neq0)$
Lorsque F_y = 0. Impossible de diviser. Si F_x n'y est pas nul, la tangente est verticale ; si F_x s'annule aussi, la formule donne 0/0 et ne dit rien, comme au croisement du folium.

Suppose: F admet des dérivées partielles continues au voisinage du point. Sur les trois courbes prédéfinies, les points situés à la verticale de x sont obtenus sous forme exacte ; sur une courbe saisie au clavier, ils sont recherchés numériquement en balayant F selon y de −8 à 8 pour détecter un changement de signe. Un point situé hors de cette bande, ou là où F touche 0 sans le traverser, peut donc passer inaperçu.

Problèmes entièrement résolus

La tangente à un cercle 3 étapes
Déterminez dy/dx pour x² + y² = 25, puis la tangente en (3, 4).

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1. Dérivez les deux membres en considérant y comme une fonction de x. La règle des fonctions composées place un facteur y′ à côté de la dérivée de y² :
  
  $2x+2y\,y'=0$
2. Isolez y′ :
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
3. En (3, 4), puis la droite passant par ce point avec cette pente :
  
  $(3,4):\ y'=-\frac34;\qquad y-4=-\frac34(x-3)\ \Rightarrow\ y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Réponse

y′ = −x/y, et la tangente en (3, 4) a pour équation y = −3x/4 + 25/4. La page affiche ici F_x = 6 et F_y = 8, d'où la pente −6/8. La tangente est perpendiculaire au rayon, dont la pente vaut 4/3.

$y'=-\frac{x}{y},\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Un produit dans la courbe 3 étapes
Déterminez dy/dx pour x²y + y² = 2 et sa valeur en (1, 1).

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1. Dérivez les deux membres. Comme x²y est un produit, il donne deux termes, et chaque y s'accompagne d'un y′ :
  
  $2xy+x^{2}y'+2y\,y'=0$
2. Regroupez les termes en y′ et isolez-le :
  
  $\left(x^{2}+2y\right)y'=-2xy\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
3. En (1, 1) :
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{2}{3}$
Réponse

y′ = −2xy/(x² + 2y), et −2/3 en (1, 1). Sur la page : Votre courbe, x^2*y + y^2 = 2, x = 1. Elle affiche F_x = 2 et F_y = 3.

$y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
Un cube en y 3 étapes
Déterminez dy/dx pour y³ + xy = 2 et sa valeur en (1, 1).

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1. Dérivez les deux membres. Le terme y³ donne 3y²y′ par la règle des fonctions composées, et xy donne y + xy′ par la règle du produit :
  
  $3y^{2}y'+y+x\,y'=0$
2. Regroupez et isolez y′ :
  
  $\left(3y^{2}+x\right)y'=-y\ \Rightarrow\ y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
3. En (1, 1) :
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{1}{4}$
Réponse

y′ = −y/(3y² + x), et −1/4 en (1, 1). Personne ne peut expliciter y en une ligne pour cette courbe, et vous n'en avez nullement besoin pour déterminer la pente.

$y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
Tangentes horizontales d'une ellipse inclinée 3 étapes
Déterminez les points de x² + xy + y² = 3 où la tangente est horizontale.

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1. Dérivez puis isolez y′ comme précédemment :
  
  $2x+y+x\,y'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$
2. La pente s'annule avec son numérateur : réinjectez y = −2x dans l'équation de la courbe :
  
  $y'=0\iff y=-2x:\quad x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3\ \Rightarrow\ x=\pm1$
3. Les deux points :
  
  $(1,-2)\quad(-1,2)$
Réponse

(1, −2) et (−1, 2). En (1, −2), la page affiche F_x = 0 et une pente de 0. Là où le dénominateur s'annule, en (2, −1) et (−2, 1), la tangente est verticale.

$(1,-2),\ (-1,2)$
La dérivée de ln x 3 étapes
Utilisez eʸ = x pour déterminer la dérivée de y = ln x.

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1. Dérivez les deux membres de eʸ = x. À gauche, la dérivation d'une composée donne eʸ fois y′ :
  
  $e^{y}\,y'=1$
2. Isolez y′, puis appliquez eʸ = x une nouvelle fois :
  
  $y'=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x}$
3. La pente de y = ln x vaut donc 1/x :
  
  $y=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x;\qquad x=2:\ \frac12$
Réponse

(ln x)′ = 1/x. En x = 2, la page affiche une pente de 0,5. Le raisonnement repose uniquement sur la dérivée de eˣ : c'est ainsi que l'on démontre pour la première fois la règle pour ln x.

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
La dérivée seconde d'un cercle 3 étapes
Déterminez y″ pour x² + y² = 25 et sa valeur en (3, 4).

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1. Partez de la dérivée première :
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
2. Dérivez à nouveau avec la règle du quotient, remplacez y′ par −x/y et appliquez x² + y² = 25 :
  
  $y''=-\frac{y-x\,y'}{y^{2}}=-\frac{y+\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{3}}=-\frac{25}{y^{3}}$
3. En (3, 4) :
  
  $(3,4):\ y''=-\frac{25}{64}\approx-0{.}3906$
Réponse

y″ = −25/y³, et −25/64 ≈ −0,3906 en (3, 4). La dérivée seconde va au-delà de ce que calcule la page : celle-ci affiche la pente de −0,75 d'où part le calcul.

$y''=-\frac{25}{y^{3}}$
Le sommet du folium 3 étapes
Déterminez la pente de x³ + y³ = 6xy au sommet de sa boucle, en (3, 3).

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1. Dérivez les deux membres. Le membre de droite est un produit :
  
  $3x^{2}+3y^{2}y'=6y+6x\,y'$
2. Regroupez les termes en y′ et isolez y′ en divisant par 3 :
  
  $\left(3y^{2}-6x\right)y'=6y-3x^{2}\ \Rightarrow\ y'=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}$
3. En (3, 3) :
  
  $(3,3):\ y'=\frac{6-9}{9-6}=-1$
Réponse

y′ = −1 en (3, 3). La courbe est symétrique par rapport à la droite y = x : sa tangente doit donc la couper à angle droit. La page affiche F_x = F_y = 9.

$y'(3,3)=-1$
Un sinus de xy 3 étapes
Déterminez dy/dx pour sin(xy) + y = 1 ainsi que sa valeur en (0, 1).

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1. Dérivez chaque membre. Le terme sin(xy) est la composée d'un sinus et d'un produit, ce qui donne cos(xy) multiplié par la dérivée de xy :
  
  $\cos(xy)\cdot\left(y+x\,y'\right)+y'=0$
2. Isolez y′ :
  
  $\begin{aligned}\left(x\cos(xy)+1\right)y'&=-y\cos(xy)\\y'&=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}\end{aligned}$
3. En (0, 1), le cosinus vaut cos 0 = 1 :
  
  $(0,1):\quad y'=-\dfrac{1\cdot\cos0}{0+1}=-1$
Réponse

y′ = −y cos(xy)/(x cos(xy) + 1), et y′ = −1 en (0, 1). Le sinus requiert la règle des fonctions composées et son produit intérieur xy celle du produit : y′ apparaît donc à deux endroits avant d'être isolé.

$y'=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1},\qquad y'(0,1)=-1$
Là où l'ellipse inclinée se redresse 3 étapes
Déterminez les points de x² + xy + y² = 3 où la tangente est verticale, et donnez les équations de ces tangentes.

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1. En dérivant comme dans le problème 4, on obtient la pente sous forme de fraction :
  
  $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$
2. La tangente est verticale lorsque le dénominateur s'annule sans que le numérateur ne le fasse. Injectez x = −2y dans l'équation de la courbe :
  
  $\begin{aligned}&x+2y=0\ \Rightarrow\ x=-2y\\&4y^{2}-2y^{2}+y^{2}=3\ \Rightarrow\ y=\pm1\end{aligned}$
3. Le numérateur n'est nul en aucun de ces deux points. Il s'agit donc bien de tangentes verticales, sans indétermination du type 0/0 :
  
  $\begin{aligned}(2,-1):&\quad2x+y=3\neq0\\(-2,1):&\quad2x+y=-3\neq0\end{aligned}$
Réponse

La tangente est verticale en (2, −1) et en (−2, 1), et ces tangentes sont les droites x = 2 et x = −2. Elles touchent l'ellipse en ses points les plus à droite et les plus à gauche. Le problème 4 repérait ses paliers horizontaux ; celui-ci détermine l'endroit où elle est la plus large.

$(2,-1):\ x=2;\qquad(-2,1):\ x=-2$
Le sommet de la feuille 4 étapes
Déterminez avec exactitude le point culminant de la feuille du folium, et décidez s'il s'agit de la pointe (3, 3), où la feuille croise la droite y = x. Cliquez sur Sommet de la feuille : en x = 2,52, la pente au point supérieur affiche −0,0002, tout près de 0, mais un curseur au pas de 0,01 ne peut qu'encadrer la réponse.

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1. La tangente est horizontale là où y′ = 0, ce qui impose au numérateur 2y − x² d'être nul sans que le dénominateur ne le soit :
  
  $y'=\dfrac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}=0\ \Rightarrow\ y=\tfrac{x^{2}}{2}$
2. Injectons y = x²/2 dans l'équation de la courbe. Le point d'abscisse x = 0 est l'origine, où la formule donne 0/0 ; on peut donc diviser par x³ :
  
  $x^{3}+\tfrac{x^{6}}{8}=6x\cdot\tfrac{x^{2}}{2}=3x^{3}\ \Rightarrow\ \tfrac{x^{6}}{8}=2x^{3}\ \Rightarrow\ x^{3}=16$
3. Ainsi x est la racine cubique de 16, et le dénominateur n'y est pas nul :
  
  $x=2^{4/3}=2{.}5198,\quad y=\tfrac{x^{2}}{2}=2^{5/3}=3{.}1748,\quad y^{2}-2x=2^{10/3}-2^{7/3}=2^{7/3}=5{.}0397\neq0$
4. À la pointe (3, 3), la pente vaut −1 : la feuille continue donc de monter vers sa gauche :
  
  $y'(3,3)=\dfrac{2\cdot3-3^{2}}{3^{2}-2\cdot3}=\dfrac{-3}{3}=-1,\qquad 3{.}1748-3=0{.}1748$
Réponse

Le sommet de la feuille se situe en (2^4/3, 2^5/3) ≈ (2,5198, 3,1748), soit 0,1748 plus haut que la pointe. Son ordonnée est l'abscisse de la tangente verticale observée dans Le repli, car permuter x et y laisse l'équation x³ + y³ = 6xy inchangée et transforme les tangentes horizontales en tangentes verticales. La page calcule la pente quel que soit le point choisi ; résoudre y′ = 0 relève d'un travail algébrique qu'elle n'effectue pas.

$\left(2^{4/3},\,2^{5/3}\right)\approx\left(2{.}5198,\ 3{.}1748\right)$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Déterminez dy/dx pour xy = 6 ainsi que sa valeur en (2, 3).

Afficher la réponse

y′ = −y/x, soit −3/2 en (2, 3)

$y'=-\dfrac{y}{x},\qquad y'(2,3)=-\tfrac32$
Déterminez dy/dx pour x² − y² = 16.

Afficher la réponse

y′ = x/y

$y'=\dfrac{x}{y}$
Déterminez la pente de x³ + y³ = 9 en (1, 2).

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y′ = −x²/y², soit −1/4

$y'=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}},\qquad y'(1,2)=-\tfrac14$
Déterminez la normale à x² + y² = 25 en (4, −3).

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La pente de la tangente vaut 4/3, celle de la normale vaut donc −3/4, ce qui donne la droite y = −3x/4. Elle passe par le centre, comme toute normale à un cercle.

$y=-\tfrac34x$
À partir de tan y = x, déterminez la dérivée de y = arctan x.

Afficher la réponse

sec²y · y′ = 1, et sec²y = 1 + tan²y = 1 + x², d'où y′ = 1/(1 + x²)

$\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}$
Déterminez y″ pour xy = 1 ainsi que sa valeur en (1, 1).

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y′ = −y/x et y″ = 2y/x², soit 2 en (1, 1)

$y''=\dfrac{2y}{x^{2}},\qquad y''(1,1)=2$

Trois points à l'abscisse x = 1, et trois pentes

Cliquez sur Trois pentes en x = 1. À la verticale de x = 1, le folium compte trois points, et la courbe traverse chacun d'eux avec une pente différente. Une formule dépendant du seul x ne donne qu'une valeur pour chaque x : elle ne saurait donc représenter la pente de cette courbe. La dérivée implicite, y′ = (2y − x²)/(y² − 2x), fait aussi intervenir l'ordonnée y du point : le tableau sous la courbe la calcule pour ces trois points. Descartes, qui décrivit la courbe pour la première fois en 1638, croyait que sa feuille se répétait dans chaque quadrant comme les pétales d'une fleur. Il n'y a pourtant qu'une feuille, et deux branches infinies.

La formule échoue précisément là où la courbe gagne ou perd un point

Cliquez sur Là où elle se replie. Ici, le dénominateur F_y s'annule et la tangente est verticale. À gauche, on compte trois points à la verticale de x ; ici, les deux supérieurs se rejoignent ; à droite, il n'en reste qu'un. Sur les trois courbes, le nombre de points à la verticale de x change précisément là où F_y = 0, et nulle part ailleurs. Voilà le théorème des fonctions implicites observé depuis le curseur : là où F_y ≠ 0, la courbe au voisinage d'un point est le graphe d'une seule fonction. Là où F_y = 0, le théorème ne garantit rien ; sur ces trois courbes, c'est l'endroit où deux de ces fonctions se rejoignent.

À l'origine, la formule donne 0/0 et la courbe possède deux tangentes

Cliquez sur Le croisement. À l'origine, F_x et F_y s'annulent tous deux : la formule affiche 0/0, ce qui va bien au-delà d'une simple tangente verticale. La courbe passe deux fois par ce point : une fois à l'horizontale en suivant le bord inférieur de la feuille, une autre en grimpant à pic pour la traverser. Approchez-vous de l'origine pour x = 0,1, 0,01, 0,001 : le tableau montre une pente qui tend vers 0 et deux autres qui croissent sans borne. Aucune pente unique ne saurait convenir, et le graphique trace les deux tangentes.

Parcours

Dérivation : comment se combinent les taux

Références (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.