Résolveur d'Équation du Second Degré

Saisissez a, b et c. Pour des coefficients entiers, l’outil donne les racines sous forme exacte, avec des radicaux lorsqu’elles sont irrationnelles. Le détail des calculs s’affiche en dessous.

Formule de résolution	$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Nombre de racines réelles	$\begin{aligned}&b^{2}-4ac>0:\ 2\\&b^{2}-4ac=0:\ 1\\&b^{2}-4ac<0:\ 0\end{aligned}$
Forme canonique	$ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}$
Somme et produit des racines	$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\qquad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

Exemple résolu — Résolveur d'Équation du Second Degré

Discriminant	1
Racines	3, 2
Sommet	(2,5, −0,25), minimum
Somme des racines	5
Produit des racines	6

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Résolveur d'Équation du Second Degré

Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0. Ses racines sont les valeurs de x qui vérifient l’égalité. Les racines réelles sont les abscisses des points d’intersection de la parabole d’équation y = ax² + bx + c avec l’axe des abscisses.

D’où vient la formule

Mettez a en facteur dans les termes contenant x pour que le coefficient de x² à l’intérieur des parenthèses soit égal à l’unité.
$ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c$
Faites apparaître un carré. À l’intérieur des parenthèses, ajoutez et retranchez le carré de la moitié du coefficient de x. Le terme qui reste à l’extérieur du carré, après développement, est l’ordonnée du sommet.
$\begin{aligned}x^{2}+\frac{b}{a}x&=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\\ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\end{aligned}$
Résolvez l’équation en x. Égalez l’expression à zéro, isolez le carré et prenez les deux racines carrées. Vous obtenez la formule de résolution.
$\begin{aligned}&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\&\Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}$
Étudiez le signe du discriminant. Un carré étant toujours positif ou nul, le signe de b² − 4ac détermine la nature des racines : deux racines réelles distinctes, une racine double ou deux racines complexes conjuguées.
$\begin{aligned}&\Delta>0:\ x_{1}\ne x_{2}\qquad\Delta=0:\ x=-\frac{b}{2a}\\&\Delta<0:\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i\end{aligned}$
Conservez les valeurs exactes avec des radicaux. Extrayez de √Δ les facteurs carrés, puis simplifiez la fraction par les facteurs communs à tous les termes. Ne donnez de valeurs approchées que si l’énoncé le demande.
$\begin{aligned}&x^{2}+4x-7=0:\\&x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}\end{aligned}$

Quand la célèbre formule échoue en silence

La formule de votre manuel peut vous trahir sur un ordinateur. Lorsque b² est bien plus grand que 4ac, la racine carrée est presque égale à |b|. L'une des deux racines nécessite donc la soustraction de deux nombres presque identiques : -b + √Δ lorsque b est positif, et -b − √Δ lorsqu'il est négatif. Cette opération balaie la plupart des chiffres significatifs par un effet appelé annulation catastrophique. Les bibliothèques numériques contournent la difficulté. Elles calculent d'abord une première racine, puis déterminent l'autre par c/(a·x₁). L'algèbre pluriséculaire et l'arithmétique moderne à virgule flottante sont ici en discret désaccord.

THÉORIE DU SECOND DEGRÉ — LIRE ax² + bx + c AVANT DE RÉSOUDRE

Le discriminant : combien de racines, et dans quel sens ?

Deux nombres fixent la forme de la réponse avant même d’utiliser la formule. Le discriminant Δ = b² − 4ac indique combien de racines réelles existent, et le signe de a indique dans quel sens la parabole s’ouvre et si son sommet est un point le plus bas ou le plus haut.

Δ > 0 — deux racines réelles distinctes Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — une racine réelle double Δ = 0

Δ < 0 — deux racines complexes conjuguées Δ < 0

a < 0 — la parabole s’ouvre vers le bas a < 0

Δ > 0 — deux racines réelles distinctes

Données: Le discriminant b² − 4ac est positif. La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.

Racines: Δ = b² − 4ac > 0

Exemple résolu: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 et x = 3

Ouvrir ce cas: deux racines

Δ > 0 — deux racines réelles distinctes. Δ > 0 : la courbe coupe l’axe deux fois, symétriquement par rapport au sommet. Le discriminant b² − 4ac est positif. La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points distincts. — Δ > 0 : la courbe coupe l’axe deux fois, symétriquement par rapport au sommet.

Δ = 0 — une racine réelle double

Données: Le discriminant vaut exactement zéro. La parabole touche l’axe des abscisses en un seul point au lieu de le traverser.

Racines: Δ = 0

Exemple résolu: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, comptée deux fois

Ouvrir ce cas: racine double

Δ = 0 — une racine réelle double. Δ = 0 : le sommet est exactement sur l’axe — une tangence, pas une traversée. Le discriminant vaut exactement zéro. La parabole touche l’axe des abscisses en un seul point au lieu de le traverser. — Δ = 0 : le sommet est exactement sur l’axe — une tangence, pas une traversée.

Δ < 0 — deux racines complexes conjuguées

Données: Le discriminant est négatif. La parabole n’atteint jamais l’axe des abscisses : il n’y a pas de solution réelle.

Racines: Δ < 0

Exemple résolu: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Ouvrir ce cas: racines complexes

Δ < 0 — deux racines complexes conjuguées. Δ < 0 : toute la courbe reste du même côté de l’axe. Le discriminant est négatif. La parabole n’atteint jamais l’axe des abscisses : il n’y a pas de solution réelle. — Δ < 0 : toute la courbe reste du même côté de l’axe.

a < 0 — la parabole s’ouvre vers le bas

Données: Le coefficient dominant a est négatif. C’est indépendant du discriminant : cela retourne la courbe et fait du sommet un maximum.

Racines: a < 0

Exemple résolu: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, avec un maximum en (0, 4)

Ouvrir ce cas: s'ouvre vers le bas

a < 0 — la parabole s’ouvre vers le bas. a < 0 : les branches pointent vers le bas et le sommet est le maximum. Le coefficient dominant a est négatif. C’est indépendant du discriminant : cela retourne la courbe et fait du sommet un maximum. — a < 0 : les branches pointent vers le bas et le sommet est le maximum.

Références (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Problèmes entièrement résolus

Résolution de x² − 5x + 6 = 0 par complétion du carré 5 étapes
Résolvez x² − 5x + 6 = 0 en complétant le carré. Répondez ensuite à une question à laquelle la formule quadratique ne répond pas : le discriminant compte les racines, mais que mesure sa taille ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Compléter le carré n'est pas une astuce pour résoudre les équations du second degré — c'est la démonstration de la formule quadratique, exécutée sur une équation particulière. Prenez la moitié du coefficient de x, élevez-la au carré, ajoutez et soustrayez. Le 6,25 qui apparaît est le prix pour forcer les deux premiers termes à former un carré parfait, et il doit être remboursé dans la même ligne.
  
  $x^2-5x+6=\left(x-\tfrac52\right)^{2}-\tfrac{25}{4}+6=(x-2.5)^2-0.25$
2. La forme canonique place la variable à un seul endroit, de sorte qu'on peut inverser les opérations directement : isolez le carré, prenez les deux racines, puis réajoutez 2,5. Aucune formule n'a été nécessaire et aucune n'a été mémorisée.
  
  $(x-2.5)^2=0.25\ \Longrightarrow\ x-2.5=\pm0.5\ \Longrightarrow\ x=2\ \ \text{or}\ \ x=3$
3. Passons maintenant au discriminant. Ici, Δ = 1, et il est positif, il y a donc deux racines réelles. C'est la partie que tous les manuels mentionnent.
  
  $\Delta=b^2-4ac=25-24=1$
4. Il apparaît deux autres fois, et aucune des deux n'est habituellement formulée à voix haute. L'écart entre les racines est √Δ/|a|, car le ± de la formule contribue à hauteur de ±√Δ/2a à chacune d'elles. Et le sommet se situe Δ/4a sous l'axe — le −0,25 sur le panneau ci-dessus n'est pas un résultat indépendant, c'est à nouveau le discriminant, divisé par quatre.
  
  $x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=1,\qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-0.25$
5. Les relations de Viète bouclent la boucle. Développez a(x − x₁)(x − x₂), identifiez terme à terme avec ax² + bx + c, et la somme et le produit des racines apparaissent sans rien résoudre.
  
  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}=6$
Réponse

Les racines sont x = 2 et x = 3, et l'outil affiche le sommet en (2,5, −0,25) à partir de cette même complétion. Le gain est qu'un seul nombre régit trois faits distincts. Δ = 1 rend les racines réelles, les place à exactement 1 d'écart, et fait descendre le sommet d'exactement 0,25 sous l'axe. Augmentez c vers 6,25 et observez les trois évoluer ensemble : les racines se rapprochent, l'écart se réduit comme √Δ, et la parabole monte jusqu'à toucher l'axe en Δ = 0. Ce n'ont jamais été trois coïncidences — c'est une seule quantité vue sous trois angles.

$x=2,\ 3\qquad \Delta=1:\ \text{separation}\ \sqrt{\Delta}=1,\ \text{depth}\ \tfrac{\Delta}{4a}=0.25$
La formule et les racines exactes 4 étapes
Résolvez 2x² − 3x − 4 = 0 en donnant les racines sous forme exacte.

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1. Relevez a, b et c avec leurs signes. C’est à cette étape que se perdent le plus de points dans cet exercice.
  
  $a=2,\quad b=-3,\quad c=-4$
2. Calculez d’abord le discriminant. Il est positif, mais ce n’est pas un carré parfait : l’équation admet deux racines réelles irrationnelles.
  
  $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4(2)(-4)=9+32=41$
3. Appliquez la formule. Comme 41 n’a aucun facteur carré non trivial, √41 ne se simplifie pas.
  
  $x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
4. Gardez les valeurs approchées pour la fin, et seulement si l’énoncé les demande.
  
  $\sqrt{41}\approx6.4031:\qquad x\approx2.3508,\quad x\approx-0.8508$
Réponse

x = (3 ± √41)/4, soit environ 2,3508 et −0,8508.

$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
La forme canonique lorsque a ≠ 1 4 étapes
Écrivez 2x² − 8x + 5 sous la forme a(x + p)² + q, donnez les coordonnées du sommet de la parabole d’équation y = 2x² − 8x + 5, puis résolvez exactement 2x² − 8x + 5 = 0.

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1. Mettez 2 en facteur dans les seuls termes contenant x. Le terme 5 reste à l’extérieur des parenthèses.
  
  $2x^{2}-8x+5=2(x^{2}-4x)+5$
2. La moitié de −4 est −2. Élevez-la au carré, puis ajoutez et retranchez ce carré à l’intérieur des parenthèses. Multipliez ensuite le terme −4 par le facteur 2.
  
  $=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+5=2(x-2)^{2}-3$
3. Un carré est toujours positif ou nul. La valeur minimale est donc −3, atteinte lorsque l’expression entre parenthèses vaut 0.
  
  $(x-2)^{2}\ge0\ \Rightarrow\ 2(x-2)^{2}-3\ge-3,\quad x=2$
4. Avec la forme canonique, résoudre l’équation revient à isoler le carré, puis à extraire une racine carrée.
  
  $\begin{aligned}&2(x-2)^{2}=3\ \Rightarrow\ x-2=\pm\sqrt{\tfrac32}=\pm\frac{\sqrt6}{2}\\&\Rightarrow\ x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}\end{aligned}$
Réponse

2(x − 2)² − 3 ; sommet (2 ; −3), où le minimum est atteint ; x = (4 ± √6)/2.

$2(x-2)^{2}-3,\quad(2,\,-3),\quad x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}$
Un paramètre et une racine double 4 étapes
Déterminez les valeurs de k pour lesquelles x² + kx + 9 = 0 admet une racine double. Pour quelles valeurs de k admet-elle deux racines réelles distinctes ?

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1. Une racine double correspond à un discriminant nul. Exprimez le discriminant en fonction de k.
  
  $b^{2}-4ac=k^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36$
2. Résolvez l’équation obtenue pour trouver k.
  
  $k^{2}-36=0\ \Rightarrow\ k=\pm6$
3. Vérifiez l’une des valeurs. Pour k = 6, le trinôme est un carré parfait et son unique racine est −3.
  
  $k=6:\quad x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}=0\ \Rightarrow\ x=-3$
4. Pour avoir deux racines réelles distinctes, le discriminant doit être strictement positif. C’est le cas à l’extérieur de l’intervalle délimité par les deux valeurs trouvées.
  
  $k^{2}-36>0\iff k<-6\ \lor\ k>6$
Réponse

k = 6 ou k = −6 pour une racine double ; deux racines réelles distinctes lorsque k < −6 ou k > 6.

$k=\pm6;\qquad k<-6\ \lor\ k>6$
Aucune racine réelle 3 étapes
Montrez que x² + 2x + 5 = 0 n’admet aucune racine réelle, puis déterminez ses racines complexes.

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1. Le discriminant est négatif.
  
  $b^{2}-4ac=2^{2}-4(1)(5)=4-20=-16<0$
2. La forme canonique permet de le voir autrement : le membre de gauche est toujours supérieur ou égal à 4, il ne peut donc jamais valoir 0. La parabole reste au-dessus de l’axe des abscisses.
  
  $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\ge4>0$
3. La formule s’applique aussi dans les complexes, avec √−16 = 4i. Les deux racines sont conjuguées.
  
  $x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$
Réponse

Δ = −16 < 0, donc aucune racine réelle ; les racines complexes sont x = −1 ± 2i.

$x=-1\pm2i$
Une équation du second degré à reconnaître 3 étapes
Résolvez x⁴ − 5x² + 4 = 0.

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1. Les seules puissances de x présentes sont x² et x⁴, et x⁴ = (x²)². Posez une nouvelle inconnue pour remplacer x².
  
  $u=x^{2}:\qquad u^{2}-5u+4=0$
2. Vous obtenez une équation du second degré en u, que l’outil permet de résoudre.
  
  $(u-4)(u-1)=0\ \Rightarrow\ u=4,\ u=1$
3. Revenez à x. Chaque valeur strictement positive de u donne deux valeurs de x.
  
  $x^{2}=4\ \Rightarrow\ x=\pm2,\qquad x^{2}=1\ \Rightarrow\ x=\pm1$
Réponse

x = −2, −1, 1 ou 2.

$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$
Retrouver une équation à partir de ses racines 3 étapes
Trouvez une équation du second degré à coefficients entiers dont les racines sont 2 + √3 et 2 − √3.

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1. Additionnez les racines : les termes contenant le radical s’annulent.
  
  $(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$
2. Multipliez-les. L’identité de la différence de deux carrés fait à nouveau disparaître le radical.
  
  $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$
3. Un trinôme dont le coefficient dominant vaut 1 s’écrit x² moins la somme des racines multipliée par x, plus leur produit.
  
  $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=x^{2}-4x+1$
Réponse

x² − 4x + 1 = 0.

$x^{2}-4x+1=0$
Un modèle et une racine à écarter 4 étapes
Une balle est lancée. Au bout de t secondes, sa hauteur en mètres est donnée par h = 1,5 + 14t − 4,9t². Quand touche-t-elle le sol et quelle hauteur maximale atteint-elle ?

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1. Au sol, h = 0. En ordonnant les termes par puissances décroissantes, vous obtenez a = −4,9, b = 14 et c = 1,5.
  
  $-4.9t^{2}+14t+1.5=0$
2. Calculez le discriminant.
  
  $b^{2}-4ac=14^{2}-4(-4.9)(1.5)=196+29.4=225.4$
3. La formule donne deux racines. La racine négative correspond à un instant antérieur au lancer, hors du domaine de validité du modèle. Il faut donc l’écarter.
  
  $\begin{aligned}&t=\frac{-14\pm\sqrt{225.4}}{-9.8}\\&\Rightarrow\ t\approx2.9605,\ \ t\approx-0.1034\end{aligned}$
4. La hauteur maximale se lit au sommet de la parabole. Il s’agit bien d’un maximum puisque a est négatif.
  
  $\begin{aligned}&t=-\frac{b}{2a}=\frac{14}{9.8}\approx1.4286\\&h=1.5-\frac{14^{2}}{4(-4.9)}=11.5\end{aligned}$
Réponse

La balle touche le sol au bout d’environ 2,96 s et atteint une hauteur maximale de 11,5 m à t ≈ 1,43 s.

$t\approx2.96\ \mathrm{s};\qquad h_{\max}=11.5\ \mathrm{m}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Résolvez x² + 4x − 7 = 0 en donnant les racines sous forme exacte avec des radicaux.

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x = −2 ± √11

$x=-2\pm\sqrt{11}$
Écrivez x² − 6x + 11 sous la forme (x − p)² + q et donnez sa valeur minimale.

Afficher la réponse

(x − 3)² + 2 ; minimum 2, atteint pour x = 3

$(x-3)^{2}+2,\quad\min=2$
Déterminez k pour que 2x² − 4x + k = 0 admette une racine double.

Afficher la réponse

k = 2

$k=2$
Déterminez les valeurs de k pour lesquelles x² + 2kx + 9 = 0 n’admet aucune racine réelle.

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−3 < k < 3

$-3<k<3$
Résolvez 3x² − 5x − 2 = 0.

Afficher la réponse

x = 2 ou x = −1/3

$x=2,\ \ x=-\tfrac13$
Résolvez x² + 6x + 13 = 0.

Afficher la réponse

x = −3 ± 2i

$x=-3\pm2i$
Résolvez 4ˣ − 6 × 2ˣ + 8 = 0.

Afficher la réponse

x = 1 ou x = 2

$x=1,\ \ x=2$

Parcours

Au-delà du second degré

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.