Développer et factoriser

Modifiez les parenthèses et observez le rectangle. Ses quatre morceaux correspondent aux quatre termes. Passer à la factorisation revient simplement à aborder le problème dans l'autre sens.

Produit de deux binômes	$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Carré d’un binôme	$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$
Différence de deux carrés	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
Une factorisation à coefficients entiers existe lorsque	$b^{2}-4ac=n^{2},\quad n\in\mathbb{Z}$

Exemple résolu — Développer et factoriser

Discriminant	1 (1²)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Développer et factoriser

Développer, c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes. Factoriser, c’est faire le chemin inverse : écrire cette somme sous forme d’un produit, avec des coefficients entiers chaque fois que c’est possible.

D’où vient la formule

Multipliez chaque terme par chaque terme. Le produit de deux binômes donne quatre produits, qui correspondent aux quatre parties du rectangle.
$(px+q)(rx+s)=prx^{2}+psx+qrx+qs$
Regroupez les termes semblables. Les deux bandes représentent des multiples de x : leur somme donne le terme du milieu. C’est ainsi que l’on obtient son coefficient.
$prx^{2}+(ps+qr)x+qs$
Pour factoriser, commencez par le facteur commun. Mettez en facteur le PGCD de a, b et c, en lui donnant le signe de a. Le trinôme restant dans la parenthèse commence alors par un terme en x² positif.
$3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
Trouvez les facteurs. Pour x² + bx + c, cherchez deux nombres dont le produit vaut c et la somme b. Lorsque a est différent de 1, cherchez deux nombres dont le produit vaut ac et la somme b. Utilisez-les pour décomposer le terme du milieu, puis factorisez par regroupement.
$\begin{aligned}&(-6)(2)=-12,\ \ -6+2=-4\\&x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)\\[4pt]&6x^{2}+5x-4=6x^{2}+8x-3x-4\\&=2x(3x+4)-(3x+4)\\&=(2x-1)(3x+4)\end{aligned}$
Vérifiez avant de chercher. Une factorisation en binômes à coefficients entiers existe si et seulement si b² − 4ac est un carré parfait. Sinon, inutile de poursuivre la recherche.
$\begin{aligned}&ax^{2}+bx+c=(px+q)(rx+s),\ \ p,q,r,s\in\mathbb{Z}\\&\iff b^{2}-4ac=n^{2},\ \ n\in\mathbb{Z}\end{aligned}$

Problèmes entièrement résolus

Deux binômes avec un signe moins 2 étapes
Développez (2x − 1)(3x + 4).

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Multipliez chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde. Le terme −1 conserve son signe dans chacun des deux produits.
  
  $\begin{aligned}&(2x)(3x)+(2x)(4)+(-1)(3x)+(-1)(4)\\&=6x^{2}+8x-3x-4\end{aligned}$
2. Les deux produits du milieu sont des multiples de x : regroupez-les en un seul terme.
  
  $6x^{2}+(8-3)x-4=6x^{2}+5x-4$
Réponse

6x² + 5x − 4.

$(2x-1)(3x+4)=6x^{2}+5x-4$
Le carré d’un binôme 4 étapes
Développez (2x − 3)². Expliquez ensuite comment vous reconnaîtriez un carré dans 4x² − 12x + 9 si vous partiez de cette expression.

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1. Élever un binôme au carré, c’est le multiplier par lui-même. Le développement comporte donc un terme du milieu : le double du produit des deux termes du binôme.
  
  $\begin{aligned}(2x-3)^{2}&=(2x)^{2}+2(2x)(-3)+(-3)^{2}\\&=4x^{2}-12x+9\end{aligned}$
2. L’erreur la plus fréquente consiste à oublier ce terme. Une seule valeur de x suffit à la révéler.
  
  $(2x-3)^{2}\ne4x^{2}+9:\qquad x=1:\ (2-3)^{2}=1,\quad4+9=13$
3. Pour retrouver le binôme, observez les termes extrêmes : ce sont des carrés. Le terme du milieu doit être, au signe près, le double du produit de leurs racines carrées. Ici, −12x = −2(2x)(3) : le binôme comporte donc un signe moins.
  
  $4x^{2}=(2x)^{2},\quad9=3^{2},\quad12x=2(2x)(3)$
4. Le discriminant permet aussi de conclure, sans tâtonnement. Il vaut 0 : les deux racines sont confondues et les deux facteurs sont identiques.
  
  $b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4(4)(9)=144-144=0$
Réponse

4x² − 12x + 9 = (2x − 3)². Le résultat n’est pas 4x² + 9 : pour x = 1, le carré vaut 1, tandis que 4x² + 9 vaut 13.

$(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$
Trois binômes 4 étapes
Développez (x + 2)(x − 1)(2x + 3).

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1. Commencez par multiplier deux des binômes. C’est cette étape que réalise l’outil.
  
  $(x+2)(x-1)=x^{2}-x+2x-2=x^{2}+x-2$
2. Multipliez ensuite le trinôme obtenu par le troisième binôme : chacun de ses trois termes multiplie chacun des deux termes de 2x + 3, soit six produits.
  
  $\begin{aligned}&(x^{2}+x-2)(2x+3)\\&=2x^{3}+3x^{2}+2x^{2}+3x-4x-6\end{aligned}$
3. Réduisez l’expression : 3x² et 2x² donnent 5x², tandis que 3x et −4x donnent −x.
  
  $=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
4. Vérifiez avec une valeur qui simplifie les calculs. Pour x = 1, la parenthèse du milieu vaut 0, donc le produit vaut 0. L’expression développée doit elle aussi donner 0.
  
  $x=1:\quad(3)(0)(5)=0,\qquad2+5-1-6=0$
Réponse

2x³ + 5x² − x − 6.

$(x+2)(x-1)(2x+3)=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
Factoriser lorsque a = 1 4 étapes
Factorisez x² − 2x − 15.

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1. Le développement de (x + m)(x + n) indique ce qu’il faut chercher : deux nombres dont le produit vaut −15 et la somme −2.
  
  $\begin{aligned}&(x+m)(x+n)=x^{2}+(m+n)x+mn\\&mn=-15,\quad m+n=-2\end{aligned}$
2. Énumérez les paires de diviseurs dont le produit vaut −15. Ce produit étant négatif, les deux nombres sont de signes contraires.
  
  $\begin{aligned}-15&=1\times(-15)=(-1)\times15\\&=3\times(-5)=(-3)\times5\end{aligned}$
3. Seuls 3 et −5 ont pour somme −2.
  
  $m=-5,\ n=3:\qquad(-5)(3)=-15,\quad-5+3=-2$
4. Vérifiez en développant.
  
  $(x-5)(x+3)=x^{2}+3x-5x-15=x^{2}-2x-15$
Réponse

(x − 5)(x + 3).

$x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$
Factoriser 6x² + 5x − 4 pour dire si cela fonctionne 7 étapes
Factorisez 6x² + 5x − 4 et déterminez à l'avance si l'opération aboutira.

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1. Calculez d'abord le discriminant. Cela prend une ligne et détermine s'il y a quelque chose à chercher.
  
  $b^2 - 4ac = 5^2 - 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121$
2. 121 vaut 11², une factorisation sur les entiers est donc possible. La recherche devient pertinente.
  
  $121 = 11^2$
3. Les racines découlent de ce même nombre. Puisque le discriminant est un carré parfait, elles sont rationnelles.
  
  $x = \frac{-5 \pm 11}{12} = \tfrac{1}{2}, \; -\tfrac{4}{3}$
4. Une racine de 1/2 implique un facteur (2x − 1). Une racine de −4/3 implique un facteur (3x + 4). Éliminer les dénominateurs transforme directement la racine en parenthèse.
  
  $(2x - 1)(3x + 4)$
5. Redéveloppez systématiquement pour vérifier. Les deux bandes centrales valent 8x et −3x. Elles s'additionnent bien pour donner le 5x attendu.
  
  $6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4 \;\checkmark$
6. Remplacez maintenant le terme constant par −5, puis reprenez la première étape. Le discriminant devient 25 + 120 = 145. Ce n’est pas un carré parfait : il n’existe donc aucun rectangle à côtés entiers, et il est inutile d’en chercher un.
  
  $5^2 - 4(6)(-5) = 25 + 120 = 145 \;\neq\; k^2$
7. C'est ici que l'outil s'arrête et qu'une nuance s'impose. 6x² + 5x − 5 se factorise très bien sur les nombres réels, avec des parenthèses contenant √145. Dire qu'une expression « ne se factorise pas » sous-entend toujours « pas avec les nombres que nous avons convenu d'utiliser ». Et cette convention est rarement explicitée.
  
  $6x^2 + 5x - 5 = 6\left(x - \tfrac{-5 + \sqrt{145}}{12}\right)\left(x - \tfrac{-5 - \sqrt{145}}{12}\right)$
Réponse

(2x − 1)(3x + 4), un résultat annoncé par le discriminant de 121 = 11² avant même de commencer. Remplacez le −4 par un −5, le discriminant passe à 145. Ce n'est plus un carré parfait. Le trinôme cesse d'être factorisable sur les entiers, mais le reste tout à fait sur les réels.
D’abord, le facteur commun 4 étapes
Factorisez complètement 3x² − 12x − 36.

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1. 3 divise les trois coefficients : commencez par le mettre en facteur.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
2. Dans la parenthèse, a = 1. Les deux nombres dont le produit vaut −12 et la somme −4 sont −6 et 2.
  
  $mn=-12,\quad m+n=-4:\qquad m=-6,\ n=2$
3. Replacez le facteur 3 devant le produit.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
4. En développant (3x − 18)(x + 2), on retrouve le même trinôme. Mais on peut encore mettre 3 en facteur dans la première parenthèse : la factorisation est incomplète. Si l’énoncé demande une factorisation complète, cette réponse fait perdre des points.
  
  $(3x-18)(x+2)=3(x-6)(x+2)$
Réponse

3(x − 6)(x + 2).

$3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
Un terme en x² négatif 4 étapes
Factorisez 12 + 4x − x².

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1. Ordonnez les termes selon les puissances décroissantes de x, puis mettez −1 en facteur pour obtenir un terme en x² positif dans la parenthèse.
  
  $12+4x-x^{2}=-(x^{2}-4x-12)$
2. Dans la parenthèse, le produit recherché vaut −12 et la somme −4 : les nombres sont donc −6 et 2.
  
  $x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$
3. Vous pouvez aussi faire entrer le signe moins dans la première parenthèse. C’est la forme généralement retenue dans les corrigés.
  
  $-(x-6)(x+2)=(6-x)(x+2)$
4. Vérifiez pour x = 0 : l’expression de départ vaut 12, et (6)(2) vaut bien 12.
  
  $x=0:\quad(6)(2)=12$
Réponse

−(x − 6)(x + 2), ce qui s’écrit aussi (6 − x)(x + 2).

$12+4x-x^{2}=(6-x)(x+2)$
La différence de deux carrés, et le nombre 8 051 7 étapes
Développez (x − 5)(x + 5) et dites pourquoi le terme du milieu disparaît. Calculez ensuite 95 × 105 de tête, et décidez si la même image peut démonter un simple nombre.

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1. Les quatre morceaux du rectangle, dans l'ordre de lecture : le coin qui porte x², les deux bandes, et le coin constant.
  
  $x\cdot x \;+\; x\cdot 5 \;+\; (-5)\cdot x \;+\; (-5)\cdot 5$
2. Les deux bandes valent 5x et −5x. Elles s'annulent, et le trinôme qu'affiche le panneau n'a aucun terme du milieu.
  
  $= x^{2} + 5x - 5x - 25 = x^{2} + 0x - 25$
3. La ligne du discriminant affiche 100, soit 10². C’est un carré parfait : une factorisation à coefficients entiers existe donc. Ici, nous le savions déjà, puisque nous sommes partis des facteurs.
  
  $b^{2}-4ac = 0^{2} - 4(1)(-25) = 100 = 10^{2}$
4. Cette annulation n’a rien d’un hasard. Placez le même nombre dans les deux parenthèses, avec des signes contraires : les bandes représentent alors le même rectangle, compté deux fois, une fois en l’ajoutant et une fois en le retranchant. Cela fonctionne quel que soit le nombre choisi.
  
  $(x+q)(x-q) = x^{2} + qx - qx - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Rien dans cet argument n'exige que x soit une lettre. Mettez-y 100 et une multiplication devient une soustraction.
  
  $95 \times 105 = (100-5)(100+5) = 100^{2} - 5^{2} = 10{,}000 - 25 = 9{,}975$
6. Deux nombres quelconques s'écrivent comme un milieu et un écart de part et d'autre, donc cela marche sur toute paire dont la moyenne est facile à former.
  
  $47 \times 53 = (50-3)(50+3) = 2{,}500 - 9 = 2{,}491$
7. Lu à l'envers, le procédé fait le travail le plus dur. Pour factoriser 8 051, cherchez un carré qui le dépasse d'un autre carré : 90² est le premier qui convient, et les deux parenthèses sont les facteurs. C'est la méthode de Fermat, et elle est rapide exactement quand les deux facteurs sont proches l'un de l'autre, comme le sont 83 et 97.
  
  $90^{2} - 8{,}051 = 8{,}100 - 8{,}051 = 49 = 7^{2} \;\Longrightarrow\; 8{,}051 = 83 \times 97$
Réponse

x² − 25, et 95 × 105 = 9 975. Le terme du milieu disparaît parce que les aires des deux bandes sont opposées. Il reste x² − q². En utilisant l’identité dans l’autre sens, vous pouvez aussi décomposer des nombres en produits : 8 051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b) \qquad\Longleftrightarrow\qquad N = m^{2}-d^{2} = (m-d)(m+d)$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Développez (3x − 2)(x + 5).

Afficher la réponse

3x² + 13x − 10

$3x^{2}+13x-10$
Développez (x − 4)(x + 1)(x + 3).

Afficher la réponse

x³ − 13x − 12

$x^{3}-13x-12$
Factorisez x² + x − 20.

Afficher la réponse

(x + 5)(x − 4)

$(x+5)(x-4)$
Factorisez 10x² − 11x − 6.

Afficher la réponse

(2x − 3)(5x + 2)

$(2x-3)(5x+2)$
Factorisez complètement 2x² − 18.

Afficher la réponse

2(x − 3)(x + 3)

$2(x-3)(x+3)$
Factorisez x² − 7x.

Afficher la réponse

x(x − 7)

$x(x-7)$
Peut-on factoriser 2x² + 3x − 4 avec des coefficients entiers ?

Afficher la réponse

Non. Son discriminant vaut 41, qui n’est pas un carré parfait.

$b^{2}-4ac=41$

Les quatre lettres de FOIL correspondent à quatre rectangles

Placez un rectangle de côtés x + 2 et x + 3 à côté du développement. Chaque côté se partage en deux, ce qui découpe le rectangle en quatre parties : un carré d’aire x², deux bandes d’aires 3x et 2x, et un rectangle d’aire 6 dans le coin. Ces quatre aires correspondent aux quatre termes ; leur somme donne l’aire totale. Voilà ce que signifie « développer ». L’ordre dans lequel vous les calculez ne change rien au résultat. Les moyens mnémotechniques fonctionnent tous pour cette raison, mais vous pouvez tout aussi bien vous en passer. Rendez un coefficient négatif : les parties correspondantes s’éclaircissent et leur contour passe en pointillés. Une aire négative représente une soustraction. Le dessin reste valable, là où les moyens mnémotechniques atteignent leurs limites.

Factoriser repose sur la même image, voilà pourquoi c'est plus difficile

Passez à Factoriser et le problème s’inverse : l’aire est connue, quelles étaient les dimensions du rectangle ? Les mathématiques restent les mêmes. Le développement est un calcul, tandis que la factorisation demande une recherche : vous connaissez la somme des quatre pièces et devez les disposer en rectangle. Cette asymétrie explique pourquoi l’un s’enseigne comme une méthode et l’autre comme un savoir-faire. C’est elle aussi qui rend facile la multiplication de deux nombres premiers, alors que la décomposition de leur produit est au fondement du chiffrement RSA.

Un test pour savoir si la recherche en vaut la peine

Avant de chercher des facteurs, calculez b² − 4ac. Si le résultat est un carré parfait, le trinôme se factorise sur les entiers. Sinon, aucune disposition ne forme de rectangle et tous les essais du monde n’y changeront rien. Cliquez sur Non factorisable : le discriminant de x² + x + 1 vaut −3 ; le rectangle n’existe tout simplement pas. Ce même discriminant détermine le nombre de racines d’une équation du second degré, et ce n’est pas un hasard : les dimensions du rectangle sont les racines sous une autre forme, si bien que chercher des dimensions entières revient à chercher des racines rationnelles. En faisant varier a de 1 à 8 et b, c de −12 à 12, on obtient 733 trinômes dont le discriminant est un carré parfait ; tous les 733 se factorisent.

Parcours

Au-delà du second degré

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.

Développer et factoriser

D’où vient la formule

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Les quatre lettres de FOIL correspondent à quatre rectangles 🖖

Factoriser repose sur la même image, voilà pourquoi c'est plus difficile 🖖

Un test pour savoir si la recherche en vaut la peine 🖖

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