Explorateur de fonctions rationnelles

f(x) = k(x − z)/(x − p) : faites glisser le zéro et le pôle sur le graphique, ou réglez z, p et k. Les calculs des intersections avec les axes et des asymptotes sont détaillés ci-dessous.

Asymptotes verticales	$Q(a)=0,\ P(a)\ne0\ \Rightarrow\ x=a$
Points manquants	$\frac{(x-a)P_{1}(x)}{(x-a)Q_{1}(x)},\ Q_{1}(a)\ne0\ \Rightarrow\ \left(a,\ \tfrac{P_{1}(a)}{Q_{1}(a)}\right)$
Asymptote horizontale	$\begin{aligned}&\deg P<\deg Q:\ y=0\\&\deg P=\deg Q:\ y=\frac{a_{n}}{b_{n}}\end{aligned}$
Asymptote oblique	$\begin{aligned}&\deg P=\deg Q+1:\ \frac{P}{Q}=mx+c+\frac{R}{Q}\\&y=mx+c\end{aligned}$
La famille étudiée ici	$k\,\frac{x-z}{x-p}=k+\frac{k(p-z)}{x-p}$

Exemple résolu — Explorateur de fonctions rationnelles

Intersection avec l'axe des x	1
Asymptote verticale	−2
Asymptote horizontale	1
Ordonnée à l’origine	−0,5
Forme décomposée	1 − 3/(x + 2)
\|z − p\|	3

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur de fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est un quotient P(x)/Q(x) de deux polynômes. Elle n’est pas définie aux valeurs de x pour lesquelles Q(x) = 0.

D’où vient la formule

Factorisez et simplifiez. Vous pouvez simplifier par un facteur commun au numérateur et au dénominateur. Aux valeurs où ce facteur s’annule sans que le dénominateur restant s’annule, la courbe présente un point manquant : la fonction simplifiée y est définie, mais pas la fonction initiale.
$\begin{aligned}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-x-2}&=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\\&=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2\end{aligned}$
Les asymptotes verticales correspondent aux zéros du dénominateur après simplification. À leur voisinage, la fonction tend vers l’infini, avec un signe qui dépend du côté considéré.
$\begin{aligned}&x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1\\&f(-1.01)=-99,\qquad f(-0.99)=101\end{aligned}$
Intersections avec les axes. Les zéros du numérateur après simplification donnent les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses, à condition que le dénominateur initial ne s’y annule pas ; f(0) est l’ordonnée à l’origine.
$x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2;\qquad f(0)=\frac{2}{1}=2$
À l’infini, comparez les degrés. En divisant le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x présente, vous obtenez la limite : 0 si le degré du dénominateur est supérieur, le rapport des coefficients dominants si les degrés sont égaux.
$\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to1\quad(x\to\pm\infty)$
Un degré de plus au numérateur donne une asymptote oblique. Effectuez la division euclidienne : le quotient donne l’équation de la droite dont la courbe se rapproche ; le reste divisé par Q tend vers 0.
$\frac{x^{2}+3x+1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}\ \to\ y=x+2$

Placez le zéro sur le pôle et la divergence disparaît

Amenez le zéro exactement sur le pôle et il se produit quelque chose d’étrange : la courbe cesse d’exploser et s’aplatit en une droite horizontale. Avec z = p, le facteur (x − z) simplifie entièrement le dénominateur et il ne reste que la constante k partout — sauf en x = p, où la formule d’origine divise toujours par zéro. Le graphe est donc une droite dont un point a été retiré, et cet outil annonce alors un trou en (p, k) au lieu d’une asymptote. Une racine du dénominateur n’est un pôle que si le numérateur ne la simplifie pas ; sinon c’est un trou effaçable, invisible à tout niveau de zoom.

Un pôle n'est infini que par choix

Écrite (ax+b)/(cx+d), toute fonction à un zéro et un pôle est une transformation de Möbius — les applications qui régissent l'analyse complexe et la géométrie hyperbolique. Ajoutez un unique point à l'infini (la sphère de Riemann) et le pôle cesse d'être une catastrophe : x=p s'envoie simplement sur ce nouveau point, et x=∞ sur l'asymptote horizontale y=k. Sur la sphère, la fonction est une bijection lisse et réversible — l'« explosion » n'est qu'un artefact de la carte plane.

FONCTIONS RATIONNELLES — OÙ LE GRAPHE EXPLOSE-T-IL, ET OÙ SE STABILISE-T-IL ?

Dans quel cas de fonction rationnelle êtes-vous ?

f(x) = k(x − z)/(x − p) ne contient que trois nombres, et chacun possède un trait du graphe. Le zéro z est l’endroit où la courbe croise l’axe. Le pôle p est l’endroit où le dénominateur s’annule et où la courbe part à l’infini. Le gain k est la valeur vers laquelle elle se stabilise loin des deux. Lisez ces trois nombres dans la formule et le graphe est esquissé avant le moindre point tracé.

Bien séparés — une asymptote verticale, une horizontale, un point de croisement x = p, y = k

Pôle et zéro rapprochés — une pointe violente entre les deux |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Gain négatif — le même squelette, les branches permutées k < 0 ⇒ f → −f

Pôle et zéro presque confondus — presque un trou (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Bien séparés — une asymptote verticale, une horizontale, un point de croisement

Ce que vous savez: Un pôle et un zéro à distance confortable. L’asymptote verticale se dresse en x = p, l’horizontale en y = k, et la courbe croise l’axe en x = z.

Trait: x = p, y = k

Exemple résolu: f(x) = (x − 1)/(x + 2) : asymptote en x = −2, croisement en x = 1, et f → 1 au loin dans les deux sens. En x = 0 la valeur vaut −0,5.

Ouvrir ce cas: basique

Bien séparés — une asymptote verticale, une horizontale, un point de croisement. Le pôle et le gain tracent les deux asymptotes ; le zéro fixe l’endroit du croisement. Un pôle et un zéro à distance confortable. L’asymptote verticale se dresse en x = p, l’horizontale en y = k, et la courbe croise l’axe en x = z. — Le pôle et le gain tracent les deux asymptotes ; le zéro fixe l’endroit du croisement.

Pôle et zéro rapprochés — une pointe violente entre les deux

Ce que vous savez: La même allure, mais le pôle se place près du zéro. La courbe doit passer de l’axe à l’infini sur une courte distance : elle monte donc à pic.

Trait: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Exemple résolu: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2) : le pôle en 0,2 n’est qu’à 0,3 du zéro en 0,5, et f(0) vaut déjà 3,5 contre une valeur lointaine de 1,4

Ouvrir ce cas: pôle abrupt

Pôle et zéro rapprochés — une pointe violente entre les deux. Un faible écart entre pôle et zéro force la courbe à une excursion étroite et raide. La même allure, mais le pôle se place près du zéro. La courbe doit passer de l’axe à l’infini sur une courte distance : elle monte donc à pic. — Un faible écart entre pôle et zéro force la courbe à une excursion étroite et raide.

Gain négatif — le même squelette, les branches permutées

Ce que vous savez: Un k négatif retourne toute la courbe autour de l’axe horizontal. La position des asymptotes ne bouge pas ; ce sont les coins occupés par les branches qui changent.

Trait: k < 0 ⇒ f → −f

Exemple résolu: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2) : asymptote en x = 1,2, croisement en x = −1,5, asymptote horizontale en y = −1, et f(0) = 1,25

Ouvrir ce cas: gain négatif

Gain négatif — le même squelette, les branches permutées. Les asymptotes n’ont pas bougé, mais chaque branche est passée du côté opposé. Un k négatif retourne toute la courbe autour de l’axe horizontal. La position des asymptotes ne bouge pas ; ce sont les coins occupés par les branches qui changent. — Les asymptotes n’ont pas bougé, mais chaque branche est passée du côté opposé.

Pôle et zéro presque confondus — presque un trou

Ce que vous savez: Quand z et p sont très proches, les facteurs se simplifient presque. Hors de ce voisinage la fonction reste près de la constante k, et le pôle survit sous forme d’une pointe fine comme une aiguille.

Trait: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Exemple résolu: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12) : à peine 0,12 d’écart, donc f(0) = 0,893, proche de la valeur lointaine 1 — et pourtant l’asymptote en x = 1,12 est bien là

Ouvrir ce cas: quasi simplifié

Pôle et zéro presque confondus — presque un trou. Presque une constante partout, sauf dans la fenêtre étroite où le pôle l’emporte encore. Quand z et p sont très proches, les facteurs se simplifient presque. Hors de ce voisinage la fonction reste près de la constante k, et le pôle survit sous forme d’une pointe fine comme une aiguille. — Presque une constante partout, sauf dans la fenêtre étroite où le pôle l’emporte encore.

Problèmes entièrement résolus

Intersections avec les axes et asymptotes 5 étapes
Pour f(x) = 2(x − 3)/(x + 1), déterminez les intersections avec les axes et les asymptotes, puis situez les branches par rapport aux asymptotes.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Zéro : le numérateur vaut 0 en x = 3, où le dénominateur ne s’annule pas.
  
  $2(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=3$
2. Asymptote verticale : le dénominateur vaut 0 en x = −1.
  
  $x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1$
3. Asymptote horizontale : divisez le numérateur et le dénominateur par x.
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2-\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to2\quad(x\to\pm\infty)$
4. Ordonnée à l’origine : remplacez x par 0.
  
  $f(0)=\frac{2(0-3)}{0+1}=-6$
5. Passez à la forme décomposée pour situer les branches : le terme de dénominateur x + 1 est négatif à droite de −1. La branche de droite est donc sous y = 2, celle de gauche au-dessus.
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2(x+1)-8}{x+1}=2-\frac{8}{x+1}$
Réponse

Zéro x = 3, ordonnée à l’origine −6, asymptotes x = −1 et y = 2 ; f(x) = 2 − 8/(x + 1), avec une branche en haut à gauche et l’autre en bas à droite.

$f(x)=2-\frac{8}{x+1}:\quad x=3,\ \ y=-6,\ \ x=-1,\ \ y=2$
Un point manquant 3 étapes
f(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2). Repérez les éventuels points manquants, les asymptotes et les intersections avec les axes.
Afficher la solution
1. Factorisez le numérateur et le dénominateur. Le facteur x − 2 est commun.
  
  $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$
2. Simplifiez par ce facteur. La fonction initiale n’est pas définie en x = 2 ; l’expression simplifiée donne l’ordonnée du point manquant.
  
  $=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2;\qquad\frac{2+2}{2+1}=\frac43$
3. Après simplification, x + 1 donne l’asymptote verticale et x + 2 donne le zéro. Les degrés sont égaux : vous pouvez en déduire l’asymptote horizontale.
  
  $\begin{aligned}&x+1=0\Rightarrow x=-1;\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2\\&y\to\frac11=1;\qquad f(0)=\frac{-4}{-2}=2\end{aligned}$
Réponse

Point manquant en (2 ; 4/3) ; asymptotes x = −1 et y = 1 ; zéro x = −2 ; ordonnée à l’origine 2.

$\left(2,\tfrac43\right);\quad x=-1,\ y=1;\quad x=-2;\quad f(0)=2$
Asymptotes horizontales et degrés 3 étapes
Déterminez l’éventuelle asymptote horizontale de (a) (3x + 1)/(x² + 1), (b) (6x² − x)/(2x² + 5), (c) x³/(x² + 1).
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1. (a) Le degré du dénominateur est supérieur à celui du numérateur.
  
  $\frac{3x+1}{x^{2}+1}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}\to0$
2. (b) Les degrés sont égaux : prenez le rapport des coefficients dominants.
  
  $\frac{6x^{2}-x}{2x^{2}+5}=\frac{6-\frac1x}{2+\frac{5}{x^{2}}}\to\frac62=3$
3. (c) Le degré du numérateur dépasse d’une unité celui du dénominateur. Il n’y a donc pas d’asymptote horizontale ; la division fait apparaître une asymptote oblique.
  
  $\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}$
Réponse

(a) y = 0, (b) y = 3, (c) aucune : la courbe se rapproche de la droite y = x.

$y=0;\qquad y=3;\qquad y=x$
Une asymptote oblique 3 étapes
Déterminez les asymptotes de f(x) = (x² + 3x + 1)/(x + 1).
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1. Le degré du numérateur dépasse d’une unité celui du dénominateur. Effectuez la division euclidienne.
  
  $x^{2}+3x+1=(x+1)(x+2)-1\ \Rightarrow\ f(x)=x+2-\frac{1}{x+1}$
2. Le terme contenant le reste tend vers 0 lorsque x tend vers l’un ou l’autre infini.
  
  $\frac{1}{x+1}\to0\quad(x\to\pm\infty)$
3. Le dénominateur vaut 0 en x = −1, mais le numérateur y vaut −1.
  
  $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad(-1)^{2}+3(-1)+1=-1\ne0$
Réponse

Asymptote verticale x = −1 ; asymptote oblique y = x + 2.

$x=-1;\qquad y=x+2$
Franchir l’asymptote horizontale 2 étapes
La courbe de f(x) = (x² − 2x)/(x² + 1) traverse-t-elle son asymptote horizontale ? Si oui, en quel point ?
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1. Les degrés sont égaux, donc l’asymptote horizontale est y = 1.
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}\to\frac11=1$
2. Posez f(x) = 1 et résolvez l’équation. Les termes en x² s’éliminent ; il reste une équation du premier degré.
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}=1\iff x^{2}-2x=x^{2}+1\iff x=-\frac12$
Réponse

Oui, une seule fois, en (−1/2 ; 1). Une asymptote horizontale décrit uniquement le comportement de la courbe à l’infini.

$\left(-\tfrac12,\ 1\right)$
Une inéquation rationnelle 3 étapes
Résolvez (x − 3)/(x + 1) > 0.

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1. Le signe ne peut changer qu’au zéro, 3, et au pôle, −1. Ces valeurs partagent la droite réelle en trois intervalles.
  
  $x<-1,\qquad-1<x<3,\qquad x>3$
2. Testez une valeur dans chaque intervalle.
  
  $\begin{aligned}&f(-2)=\frac{-5}{-1}=5>0\\&f(0)=\frac{-3}{1}=-3<0\\&f(4)=\frac15>0\end{aligned}$
3. Pour x = 3, le quotient vaut 0, qui n’est pas strictement supérieur à 0. Quant à x = −1, cette valeur est exclue du domaine de définition.
  
  $f(3)=0\not>0,\qquad x=-1\notin\operatorname{dom}f$
Réponse

x < −1 ou x > 3

$x<-1\ \ \lor\ \ x>3$
Retrouver une fonction 2 étapes
Déterminez f(x) = k(x − z)/(x − p), sachant que son asymptote verticale est x = 2, son asymptote horizontale y = 3 et son ordonnée à l’origine −3.

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1. L’asymptote verticale donne p, et l’asymptote horizontale donne k.
  
  $x=2\Rightarrow p=2;\qquad y=3\Rightarrow k=3$
2. L’ordonnée à l’origine permet de déterminer z.
  
  $f(0)=\frac{3(0-z)}{0-2}=\frac{3z}{2}=-3\ \Rightarrow\ z=-2$
Réponse

f(x) = 3(x + 2)/(x − 2)

$f(x)=\frac{3(x+2)}{x-2}$
La courbe atteignant son asymptote horizontale en y = 1 5 étapes
f(x) = (x − 1)/(x + 2) possède une asymptote horizontale en y = 1. Déterminez si la courbe l'atteint réellement un jour.

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1. Le zéro et le pôle se lisent directement sur la forme factorisée : le numérateur s'annule en 1, le dénominateur en −2.
  
  $f(x)=0\iff x=1;\qquad x+2=0\iff x=-2\ \text{(vertical asymptote)}$
2. Pour les grandes valeurs de |x|, le numérateur et le dénominateur sont tous deux dominés par leur terme en x, de sorte que le rapport tend vers le rapport des coefficients dominants. Il s'agit de l'asymptote horizontale, qui vaut ici 1.
  
  $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{1}=1\ \text{(horizontal asymptote)}$
3. Posez maintenant la question directement au lieu d'estimer visuellement le graphique : égalez la fonction à son asymptote et résolvez l'équation.
4. La variable x s'élimine et laisse −1 = 2, ce qui est faux pour tout x. Ainsi, la courbe ne touche jamais y = 1 — ni à l'infini, ni nulle part.
  
  $\frac{x-1}{x+2}=1\iff x-1=x+2\iff -1=2\quad\text{— no solution}$
5. Au voisinage de l’asymptote verticale, le comportement est différent. Juste à droite de −2, en −1,99, la fonction vaut −299 ; juste à gauche, en −2,01, elle vaut +301. Elle tend vers des infinis de signes opposés de part et d’autre de l’asymptote.
  
  $f(-1.99)=-299,\qquad f(-2.01)=+301$
Réponse

L'outil affiche un point d'intersection avec l'axe des abscisses en 1, une asymptote verticale en −2 et une asymptote horizontale en 1. Le résultat essentiel à retenir est qu'une asymptote horizontale n'est pas une barrière — celle-ci n'est jamais atteinte, mais cela tient à cette fonction particulière et ne constitue pas une règle générale. Modifiez le numérateur en x − 1 + quelque chose qui s'annule, et la courbe peut franchir son asymptote horizontale librement, voire à plusieurs reprises. Les asymptotes verticales sont les seules infranchissables : la fonction y est indéfinie, de sorte qu'elle ne peut jamais les croiser. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre, et une seule ligne d'algèbre permet de trancher à chaque fois.

$\text{the curve approaches}\ y=1\ \text{and never reaches it};\ \text{the pole flips sign}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Déterminez les intersections avec les axes et les asymptotes de f(x) = (3x − 6)/(x + 2).

Afficher la réponse

Zéro 2, ordonnée à l’origine −3 ; asymptotes x = −2 et y = 3

$x=2,\ \ y=-3;\qquad x=-2,\ \ y=3$
Déterminez le point manquant et les asymptotes de f(x) = (x² + x − 6)/(x² − 9).

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Point manquant en (−3 ; 5/6) ; asymptotes x = 3 et y = 1

$\left(-3,\tfrac56\right);\qquad x=3,\ \ y=1$
Déterminez l’asymptote oblique de f(x) = (2x² + x − 1)/(x − 1).

Afficher la réponse

y = 2x + 3

$y=2x+3$
Résolvez (x + 2)/(x − 1) ≤ 0.

Afficher la réponse

−2 ≤ x < 1

$-2\le x<1$
Déterminez l’asymptote horizontale de f(x) = (4x³ − x)/(2x³ + 7).

Afficher la réponse

y = 2

$y=2$

Parcours

Au-delà du second degré

Références (2)

Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.