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ニュートン重力エクスプローラー

F = Gm₁m₂/r² — ニュートンの万有引力の法則。すべての質量は他のすべての質量を引き寄せ、距離を2倍にすると力は4分の1になります。

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逆二乗則とその限界

1/r²の依存性は恣意的な選択ではなく、幾何学から生まれるものです。重力は点光源からの光のように広がります—質量を囲むどの球面も同じ総フラックスを通過するため、強度は1/(4πr²)で減少します。これが、3次元で等方的に広がるすべての場が同じ1/r²のプロファイルを共有する理由です。この法則は、惑星、振り子、潮汐など、ニュートンが検証したあらゆる場所で成り立ちますが、強い重力場では破綻します。水星の近日点は、ニュートン重力の予測よりも1世紀あたり43秒角多く前進します。一般相対性理論は瞬間的な力を時空の曲率に置き換えます—質量は空間にどう曲がるかを伝え、曲がった空間は質量にどう動くかを伝えます。ほとんどの工学的用途や太陽系規模の計算では、ニュートンの式は100万分の1より良い精度を持ちます。

引力は双方向に働く

F = G·m₁·m₂/r² という式は二つの質量を対等に扱います。地球があなたを引く力は、あなたが地球を引く力とまったく同じ大きさで向きが逆です — ニュートンの第三法則が要求するとおりです。あなたが近くの物体へ飛んでいかないのは、加速度が力を質量で割った値だからで、巨大な地球の質量はほとんど動きません。定数 G ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ は非常に小さく、少なくとも一方の質量が天文学的に大きくならない限り、重力は感じられません。

群を抜いて最も弱い力

自然界の四つの基本的な力のうち、重力は群を抜いて最も弱い力です。二つの陽子を比べると、その電気的な反発は重力による引力を約10³⁶倍も上回ります。だからこそ、硬貨ほどの磁石が惑星全体の引力に打ち勝ってクリップを持ち上げられるのです。重力が宇宙を支配できるのは、質量が電荷とは違って決して打ち消し合わず、ただ足し合わさっていくからです。

全プロセスの詳細解説

  1. 月の実際の軌道に対する重力の確認 5 ステップ

    地球と月との間の万有引力を計算し、それを月の実際の軌道と照らし合わせて確認したうえで、地球が月に働く支配的な引力でさえあるのかを問い直しなさい。

    1. 公式は一つ、数値は三つであり、唯一注意を要するのは二乗の扱いです。距離は二乗（二回）、質量は一回掛け合わされるため、r の1%の誤差は2%の誤差を生みます。

      F=Gm1m2r2=6.674×10−11×5.97×1024×7.34×1022(3.844×108)2F=\frac{Gm_1m_2}{r^{2}}=\frac{6.674\times10^{-11}\times5.97\times10^{24}\times7.34\times10^{22}}{(3.844\times10^{8})^{2}}

    2. 分子を掛け合わせ、分母を二乗し、割り算を行います。ツールはこの数値を表示し、ページ上の他の数値は一切測定されていません。

      numerator=2.925×1037,r2=1.478×1017⟹F=1.979×1020 N\text{numerator}=2.925\times10^{37},\qquad r^{2}=1.478\times10^{17}\quad\Longrightarrow\quad F=1.979\times10^{20}\ \mathrm{N}

    3. 検証すべきは力ではなく加速度です。軌道が示しているのは加速度だからです。月の質量で割ります。

      aMoon=Fm2=1.979×10207.34×1022=2.696×10−3 m/s2a_{\text{Moon}}=\frac{F}{m_2}=\frac{1.979\times10^{20}}{7.34\times10^{22}}=2.696\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^{2}}

    4. 次に軌道自体から同じ加速度を求めます。月は27.32日で2πrを進み、円軌道には v²/r が必要となります。1%の差は実在するものであり、地球もまた運動していることを示しています。両方の天体が共通の重心のまわりを公転しているのです。

      v=2πrT=2π(3.844×108)2.361×106=1023 m/s,v2r=2.722×10−3 m/s2v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi(3.844\times10^{8})}{2.361\times10^{6}}=1023\ \mathrm{m/s},\qquad \frac{v^{2}}{r}=2.722\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^{2}}

    5. 最後に、地球の代わりに太陽を用いて同じ法則を適用します。質量比と距離比が相殺し合い、最終的に質量比が打ち勝ちます。

      F⊙-MoonF⊕-Moon=M⊙m1(rd⊙)2=1.989×10305.97×1024(3.844×1081.496×1011)2=2.2\frac{F_{\odot\text{-Moon}}}{F_{\oplus\text{-Moon}}}=\frac{M_\odot}{m_1}\left(\frac{r}{d_\odot}\right)^{2}=\frac{1.989\times10^{30}}{5.97\times10^{24}}\left(\frac{3.844\times10^{8}}{1.496\times10^{11}}\right)^{2}=2.2

    解答

    1.98 × 10²⁰ N、そして答えは「いいえ」です。太陽は月を2.2倍強く引いています。この比率は質量と距離のみに関わる事実です。太陽は333,000倍重く、389倍遠くにあり、333,000/389² = 2.2となるため、軌道をどう定義しようともこの関係は成り立ちます。その帰結はきわめて奇妙です。太陽を回る月の軌道はあらゆる場所で太陽に向かって凹形になっています。進行方向と逆向きにループすることはありません。地球がしているのは、太陽に対抗して月を繋ぎ止めることではなく、二者がすでに共有している太陽周回軌道を乱しているのであり、月の軌道が必然性からではなく慣例として地球基準で記述されるのはそのためです。

    F=Gm1m2r2=1.979×1020 N;the Sun pulls the Moon 2.2× harderF=\frac{Gm_1m_2}{r^{2}}=1.979\times10^{20}\ \mathrm{N};\qquad \text{the Sun pulls the Moon }2.2\times\text{ harder}
参考文献 (1)
  • The law this tool evaluates, and the third-law pairing block 2 turns on: I. Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Book III, Proposition VII. London, 1687.

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