ガウスの法則と電束

どんな閉曲面でも、外向きの電束は内部の電荷をε₀で割った値になります。常に成り立つ法則ですが、これだけでは電場を求められないことがほとんどです。わかるのは、面全体を貫く電束だけだからです。電荷の分布に対称性があれば、電場が面に垂直に交わり、交わる部分ではどこでも同じ大きさになるように面を選べます。そうすれば、簡単な式変形でEが求まります。対称性を選び、ガウス面の大きさを変えながら、内部の電荷、電束、電場の関係を確かめてみましょう。

ガウスの法則：閉曲面から出る電束	$\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$
一様な電場中で平面を貫く電束	$\Phi=\vec E\cdot\vec A=EA\cos\theta$

計算例 — ガウスの法則と電束

内部の電荷	1.25×10⁻⁹ C
球形のガウス面の面積	0.03142 m²
面から出る電束	141.2 N·m²/C
面上の電場	4,494 N/C

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レッスン

理論 — ガウスの法則と電束

面を貫く電束はΦ = ∫E·dAで表されます。電場の面に垂直な成分を、面全体にわたって積分したものです。ガウスの法則によると、どんな閉曲面でも、外向きの電束は内部の電荷をε₀で割った値になります。式で書けば、∮E·dA = Q_enc/ε₀です。

各記号の意味

dA: 微小な面の面積ベクトル。大きさはその面積で、向きは閉曲面の外向き
Q_enc: 閉曲面の内部にある電荷。外部の電荷による電束は、面全体で差し引きゼロになる
ε₀: 真空の誘電率。8.854 × 10⁻¹² C²/(N·m²)

公式の導き方

電束は、電場の面に垂直な成分と面積の積。面積Aの平面を一様な電場Eが貫き、電場と面の法線がなす角をθとすると、面に垂直な成分はE cos θです。
$\Phi=\int\vec E\cdot d\vec A,\qquad\Phi=EA\cos\theta$
点電荷による電束は、囲む面の形や大きさによらない。qを中心とする球面では、半径がいくつでも電束はkq/r²と4πr²の積です。rが消えてq/ε₀になります。別の形の面で囲んでも同じ電気力線が通り、電荷が複数あれば、それぞれの電束を足し合わせます。
$\oint\frac{kq}{r^{2}}\,dA=\frac{kq}{r^{2}}\cdot4\pi r^{2}=4\pi kq=\frac{q}{\varepsilon_0}$
Eを積分の外に出せる面を選ぶ。対称性を利用し、電場が面に垂直な部分ではどこでも同じ大きさ、それ以外では面に平行になるように選びます。電束はEと、電場が垂直に貫く部分の面積との積になります。
$\oint\vec E\cdot d\vec A=E\oint dA=EA$
対称性に応じた三種類のガウス面。球対称な電荷分布には球面、線電荷や十分に長い円柱には長さLの円柱面を使います。円柱の両端面の電束はゼロです。平面状の電荷分布には、その平面をまたぐ円柱状の面を使い、電束があるのは両端面だけです。
$4\pi r^{2},\qquad 2\pi rL,\qquad 2A$
E·A = Q_enc/ε₀をEについて解く。点電荷、線電荷、平面状の電荷がつくる電場の式が、それぞれ得られます。
$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}},\qquad E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r},\qquad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

前提: 電荷は静止しているものとします。ガウスの法則自体は、閉曲面の形や電荷の配置によらず成り立ちます。対称性が必要なのは、この法則からEを求めるときです。円柱の長さと平面の広がりは無限とします。実際の棒や平板でこの近似が使えるのは、端や縁から十分に離れた場所です。

全プロセスの詳細解説

平面を貫く電束 2 ステップ
大きさ2.0 × 10⁴ N/Cの一様な電場が、一辺20 cmの正方形を貫いている。電場と正方形の法線がなす角が60°のとき、正方形を貫く電束を求めよ。
1. 面を貫くのはEの法線方向の成分です。
  
  $\Phi=EA\cos\theta$
2. A = (0.20 m)² = 0.040 m²を代入すると、
  
  $\Phi=(2{.}0\times10^{4})(0{.}040)\cos60^{\circ}=400\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
解答

400 N·m²/C。正方形を傾けて電場が面に沿うようにすると（θ = 90°）、電束はゼロになります。

$\Phi=400\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
立方体の中心にある電荷 2 ステップ
一辺20 cmの立方体の中心に、10 nCの電荷がある。一つの面を貫く電束を求めよ。

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1. 電荷を囲む面の形によらず、立方体全体から出る電束はq/ε₀です。
  
  $\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{1{.}0\times10^{-8}}{8{.}854\times10^{-12}}\approx1129\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
2. 対称性から、電束は六面に等しく分かれます。
  
  $\Phi_{1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}\approx188{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
解答

各面で188.2 N·m²/C。立方体の一辺の長さにはよりません。

$\Phi_{1}=\frac{q}{6\varepsilon_0}\approx188{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
立方体の頂点にある電荷 2 ステップ
同じ10 nCの電荷を立方体の頂点に置く。各面を貫く電束と、立方体全体を貫く電束を求めよ。

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1. この頂点に同じ立方体を八個集めると、電荷を内部に囲めます。対称性から、各立方体を貫く電束は等しくなります。
  
  $\Phi=\frac{1}{8}\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}\approx141{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
2. 頂点に集まる三面では、電気力線が面に沿うため電束はゼロです。残る三面に、立方体の電束が等しく分かれます。
  
  $\Phi_{1}=0,\qquad\Phi_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{q}{8\varepsilon_0}=\frac{q}{24\varepsilon_0}\approx47{.}06\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
解答

立方体全体では141.2 N·m²/C。遠い側の三面ではそれぞれ47.06、近い側の三面ではゼロです。

$\Phi=\frac{q}{8\varepsilon_0}\approx141{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
帯電した球の内側と外側 4 ステップ
半径10 cmの球全体に、10 nCの電荷が一様に分布している。中心から5 cmおよび20 cmの位置でのEを求めよ。

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1. 球の内側では、半径rのガウス面が囲む電荷は全体の(r/R)³です。
  
  $Q_{\mathrm{enc}}=Q\,\frac{r^{3}}{R^{3}}$
2. この球面にガウスの法則を適用すると、
  
  $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{3}}{\varepsilon_0R^{3}}\ \Rightarrow\ E=\frac{kQr}{R^{3}}$
3. r = 0.05 mを代入すると、
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}05)}{(0{.}10)^{3}}\approx4494\ \mathrm{N/C}$
4. 外側ではガウス面がQのすべてを囲み、電場は点電荷の場合と等しくなります。
  
  $E=\frac{kQ}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}20)^{2}}\approx2247\ \mathrm{N/C}$
解答

5 cmでは4,494 N/C、20 cmでは2,247 N/C。表面の電場は8,988 N/Cです。内側では電場がrに比例するため、半径の半分の位置では電場も半分になります。外側では、中心からの距離が半径の二倍になると四分の一になります。

$E(5\ \mathrm{cm})\approx4494\ \mathrm{N/C},\qquad E(20\ \mathrm{cm})\approx2247\ \mathrm{N/C}$
導体球殻の内部にある電荷 3 ステップ
内半径10 cm、外半径15 cmの金属球殻の中心に、10 nCの電荷がある。球殻自体の電荷は5 nCである。球殻の内面と外面の電荷、および中心から5 cm、12 cm、20 cmの位置でのEを求めよ。

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1. 金属中ではE = 0なので、金属中にとった球形のガウス面が囲む電荷は差し引きゼロです。したがって内面の電荷は−qとなり、球殻の残りの電荷は外面に分布します。
  
  $Q_{a}=-q=-10\ \mathrm{nC},\qquad Q_{b}=q+Q_s=15\ \mathrm{nC}$
2. 空洞内の5 cmの位置では、ガウス面が囲む電荷はqだけです。
  
  $E=\frac{kq}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}05)^{2}}\approx3{.}595\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
3. 金属中の12 cmではE = 0です。外側の20 cmでは、ガウス面がq + Qsを囲みます。
  
  $E=\frac{k\,(q+Q_s)}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}5\times10^{-8})}{(0{.}20)^{2}}\approx3370\ \mathrm{N/C}$
解答

内面は−10 nC、外面は15 nC。Eは5 cmで3.595 × 10⁴ N/C、12 cmで0、20 cmで3,370 N/Cです。

$E=3{.}595\times10^{4},\ 0,\ 3370\ \mathrm{N/C}$
帯電した円柱の内部 3 ステップ
半径10 cmの十分に長い円柱に、単位長さあたり10 nCの電荷が体積全体に一様に分布している。軸から5 cmの位置でのEを求めよ。

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1. 半径r、長さLの同軸の円柱面をガウス面にとります。電束があるのは側面だけです。内部に含まれる電荷は、長さLの部分にある全電荷の(r/R)²となります。
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}}$
2. Eについて解くと、
  
  $E=\frac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0R^{2}}=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}$
3. r = 0.05 mを代入すると、
  
  $E=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}05)}{(0{.}10)^{2}}\approx898{.}8\ \mathrm{N/C}$
解答

898.8 N/C。同じλを持つ無限に細い線電荷なら、5 cmでの電場は3,595 N/Cです。その四分の一になります。

$E=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}\approx898{.}8\ \mathrm{N/C}$
同軸ケーブル 2 ステップ
同軸ケーブルの内側の導線は半径2.0 cmで、単位長さあたり+10 nCの電荷を持つ。半径10 cmの薄い外部導体の電荷は、単位長さあたり−10 nCである。軸から5.0 cmおよび15 cmの位置でのEを求めよ。

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1. 導体間では、円柱形のガウス面が囲むのは内側の導線の電荷だけです。
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{2k\lambda}{r}=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{0{.}05}\approx3595\ \mathrm{N/C}$
2. ケーブルの外側では両方の電荷を囲み、その和はゼロです。
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{(\lambda-\lambda)L}{\varepsilon_0}=0\ \Rightarrow\ E=0$
解答

5.0 cmで3,595 N/C、15 cmではゼロ。両導体の電荷が等量で符号が逆なので、電場はケーブルの内側だけに生じます。

$E(5\ \mathrm{cm})\approx3595\ \mathrm{N/C},\qquad E(15\ \mathrm{cm})=0$
一枚の平面と二枚の平板 2 ステップ
単位面積あたり10 nCの電荷を持つ、十分に広い平面の電場を求めよ。また、10 cm離れた十分に広い二枚の平板が、単位面積あたり+10 nCと−10 nCの電荷を持つとき、平板間の電場を求めよ。

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1. 平面をまたぐ円柱状のガウス面をとります。両端面の面積はそれぞれAで、どちらの面でもEは外向きです。内部に含まれる電荷はσAとなります。
  
  $2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{1{.}0\times10^{-8}}{2\,(8{.}854\times10^{-12})}\approx564{.}7\ \mathrm{N/C}$
2. 平板間では、両平板の電場がともに+から−へ向かい、足し合わされます。外側では逆向きになり、打ち消し合います。
  
  $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C}$
解答

一枚の平面では564.7 N/C。二枚の平板では、間が1,129 N/C、外側がゼロです。いずれも平面や平板からの距離にはよりません。

$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C}$
電荷が一様でない球 3 ステップ
半径R = 10 cmの球に、ρ = ρ₀r/Rで表される密度で電荷が分布している。ただしρ₀ = 2.0 μC/m³とする。全電荷と、r = 5.0 cmでのEを求めよ。
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1. 面積4πr′²、厚さdr′の薄い球殻に含まれる電荷を足し合わせると、半径rの内側にある電荷は、
  
  $Q_{\mathrm{enc}}=\int_{0}^{r}\rho_0\frac{r'}{R}\,4\pi r'^{2}\,dr'=\frac{\pi\rho_0r^{4}}{R}$
2. 半径rの球面にガウスの法則を適用すると、
  
  $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{\pi\rho_0r^{4}}{\varepsilon_0R}\ \Rightarrow\ E=\frac{\rho_0r^{2}}{4\varepsilon_0R}$
3. r = 0.050 mでの電場と、r = Rまで積分した全電荷を求めると、
  
  $E=\frac{(2{.}0\times10^{-6})(0{.}050)^{2}}{4\,(8{.}854\times10^{-12})(0{.}10)}\approx1412\ \mathrm{N/C},\qquad Q=\pi\rho_0R^{3}\approx6{.}283\times10^{-9}\ \mathrm{C}$
解答

Q = 6.283 nC、5.0 cmでE = 1,412 N/C。内部の式にr = Rを代入すると5,647 N/Cとなり、kQ/R²と一致します。表面で内外の式がつながることも確かめられます。

$Q\approx6{.}283\ \mathrm{nC},\qquad E\approx1412\ \mathrm{N/C}$

補充問題（答えのみ）

任意の形の閉曲面の内部に、3.0 μCの電荷がある。閉曲面から出る電束を求めよ。

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3.388 × 10⁵ N·m²/C。

$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}\approx3{.}388\times10^{5}\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
大きさ1,000 N/Cの一様な電場が、半径10 cmの半球の軸に平行である。半球の曲面を貫く電束を求めよ。

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31.42 N·m²/C。半球を閉じる円板にも同じ電気力線が通るので、電束はπR²Eとなります。

$\Phi=\pi R^{2}E\approx31{.}42\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
半径5.0 cmの金属球が4.0 nCの電荷を持つ。中心から3.0 cmおよび10 cmの位置でのEを求めよ。

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3.0 cmでは金属中なのでゼロ、10 cmでは3,595 N/C。

$E(3\ \mathrm{cm})=0,\qquad E(10\ \mathrm{cm})=\frac{kQ}{r^{2}}\approx3595\ \mathrm{N/C}$
半径2.0 cmの十分に長い円柱に、単位長さあたり5.0 nCの電荷が体積全体に一様に分布している。軸から1.0 cmおよび4.0 cmの位置でのEを求めよ。

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どちらも2,247 N/C。内側では半径の半分の位置で表面の電場の半分になり、外側では半径の二倍の位置でやはり半分になります。

$E=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}=\frac{2k\lambda}{r'}\approx2247\ \mathrm{N/C}$
厚さ4.0 cmの十分に広い板に、ρ = 1.0 μC/m³の電荷が一様に分布している。中央面から1.0 cmの位置と、板の外側でのEを求めよ。

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1.0 cmでは1,129 N/C、外側ではどこでも2,259 N/C。

$E=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C},\qquad E=\frac{\rho a}{\varepsilon_0}\approx2259\ \mathrm{N/C}$
立方体のある面の中心に点電荷qを置く。立方体を貫く電束を求めよ。

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q/(2ε₀)。その面の反対側に同じ立方体をもう一つ置くと、残りの半分の電束がそちらを貫きます。

$\Phi=\frac{q}{2\varepsilon_0}$

球の外では、帯電した球も点電荷も同じ電場をつくる

帯電した球を押し、球形のガウス面をR = 10 cmより外へ動かしてみましょう。表面を越えると、電場の曲線はkQ/r²にぴたりと重なります。10 nCをすべて中心に置いたときの電場です。球の外側にある半径rのガウス面は、電荷が球内のどこにあってもQのすべてを囲みます。対称性があるので、電束は面積4πr²に均等に分かれます。球殻に切り替えても、外側の曲線は同じです。違いが現れるのは内側。球殻の内部ではどこでも電場がゼロですが、球の内部ではE = kQr/R³となり、中心のゼロから距離に比例して増え、表面で最大値8,988 N/Cに達します。球内のガウス面が囲む電荷は全体の(r/R)³で、その電束がr²に比例する面積に分かれるため、電場にはrが一乗だけ残るのです。

頂点に電荷を置くと、立方体を貫く電束は全体の八分の一になる

立方体の中心に電荷を押すと、各面を貫く電束は188.2 N·m²/Cで、q/ε₀ = 1,129 N·m²/Cの六分の一です。tを頂点に向かって動かすと、近い側の三面では電束が増え、遠い側の三面では減ります。それでも合計は、頂点に達する直前まで1,129のまま。t = 0.99では、近い側が各328.8、遠い側が各47.7です。頂点そのものでは電場が近い側の面に沿うため、その三面の電束はゼロになります。遠い側の各面では47.06で、q/ε₀の二十四分の一です。この頂点に八個の立方体を集めれば、電束は各立方体に等しく分かれます。頂点を越えると、三面から入る電束と残る三面から出る電束が打ち消し合い、合計はゼロになります。

帯電した球殻の空洞は、クーロンの法則を最も厳しく検証できる場所

帯電した球殻を押してみましょう。内側では、中心からの距離によらず電場はゼロです。ガウスの法則なら一行で求まりますが、その背後には、クーロン力が距離の二乗に反比例するという厳密な関係があります。距離への依存を1/r^(2 + q)に変えると、qがゼロでない限り、球殻の近い側と遠い側からの寄与は完全には打ち消し合わず、内部に電場が生じます。つまり、球殻内で電場が検出されないことからqの大きさを調べられるのです。1936年、プリンプトンとロートンは外側の金属球殻に3,000 Vを超える交流電位を与え、約10⁻⁶ Vまで検出できる装置で、内側に置いた球殻との電位差を探しました。電位差は見つからず、qの上限は2 × 10⁻⁹とされました。1971年にウィリアムズ、ファラー、ヒルが行った高周波による実験では、q = (2.7 ± 3.1) × 10⁻¹⁶という結果が得られています。

学習の道すじ

電場と磁場はどう生まれるか

参考文献 (4)

Gauss's law and flux: the flux through a closed surface is the same “regardless of the shape or size of the surface, as long as the surface encloses the same amount of charge”, and a charge outside contributes zero: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 6.2, “Explaining Gauss's Law”.
The symmetric cases worked as here: a uniformly charged sphere inside and out (Example 6.6, E growing linearly inside), a non-uniformly charged sphere (6.7), a cylindrical shell (6.8), and the infinite plane σ/(2ε₀): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 6.3, “Applying Gauss's Law”.
Insight block 3: concentric metal globes, an alternating potential above 3,000 V on the outer one, a detector inside sensitive to about 10⁻⁶ V, and the exponent 2 confirmed to within 2 × 10⁻⁹: S. J. Plimpton and W. E. Lawton, “A Very Accurate Test of Coulomb's Law of Force Between Charges”, Physical Review 50(11), 1936, pp. 1066-1071. DOI 10.1103/PhysRev.50.1066
Insight block 3: the 1971 high-frequency test, q = (2.7 ± 3.1) × 10⁻¹⁶ for a force of the form 1/r^(2+q): E. R. Williams, J. E. Faller and H. A. Hill, “New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass”, Physical Review Letters 26(12), 1971, pp. 721-724. DOI 10.1103/PhysRevLett.26.721

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。