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ツィオルコフスキーのロケット方程式

Δv = Isp · g₀ · ln(m₀/mf) — 宇宙飛行を支配する方程式

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ロケット方程式の専制

ペイロードの1kgを加速するには推進剤が必要です。しかしその推進剤も質量を持ち、さらに多くの推進剤が必要になります。コストは指数関数的に増加します。デルタvを2倍にするには、質量比を約2乗しなければなりません。サターンVが打ち上げ時に2,900トンもあったのに、月に届けられたのは45トンだけだった理由がここにあります。アニメーションをご覧ください:点火時は推進剤タンクがロケット全体を占め、燃焼終了時にはほとんど何も残りません。

ロケットはなぜ質量を後方へ放出するのか

ロケットは押す相手がないため、推進剤を後方へ放出して進む。噴射速度 ve で後ろへ放り出された1キログラムごとに、船は前へ押される(ニュートンの第三法則)。船が軽くなっていく中でこれらの微小な加速を足し合わせると、対数が現れる。実用的な教訓は、燃料をどれだけ積むかより、排気をどれだけ速く噴くか――比推力が測るもの――のほうが効くということだ。ve を2倍にすれば、まったく同じ質量比のまま Δv も2倍になる。

方程式は相対論でも生き残る

ニュートン的な Δv を、依然として線形に足し合わさる相対論的量であるラピディティに置き換えても、質量比の対数というまったく同じ形がどんな速度でも成り立つ。だからロケットの Δv 予算には上限がない――速度は決して c に届かないのに、である。落とし穴は苛烈だ。物質・反物質の光子ロケット(ve = c)でも 0.9c に達するには 4.4 近い質量比が要り、両端で減速もする往復ではそれが4乗となり、350 を超える。

全プロセスの詳細解説

  1. 質量比4.5、比推力311 sでの軌道到達 5 ステップ

    ある段が、比推力311 sのエンジンを載せ、その他すべての合計（タンク、エンジン、ペイロードの合計）1 tonneに対し3.5 tonnesの推進剤を搭載している。この段のΔvを求め、またこのような構造の単段ロケットが軌道に到達し得るか判定せよ。その打上げ時質量と空虚質量の比は4.5の質量比にあたり、311 sという数値はツールのSaturn V第1段プリセットが保持している値である。これは、海面高度の約260 sから真空中の310 sに及ぶケロシン–酸素の範囲のほぼ上限に相当する。

    1. 秒単位で表される比推力は、実質的には排気速度のことである。これは排気速度を標準重力加速度で割ったものであるため、再び掛けることでロケット方程式が本来必要とする数値が得られる。秒が用いられるのは、ヤード・ポンド法でも数値が同じになるためであり、何かが311 s持続するからではない。

      ve=Isp g0=311×9.80665=3050 m/sv_e=I_{sp}\,g_0=311\times9.80665=3050\ \mathrm{m/s}

    2. 対数は比をとるため、比率のみが問題となる。この比率で作られた3-tonneの段も3000-tonneの段も、同じ4.587 km/sをもたらす。

      Δv=veln⁡ ⁣(m0mf)=3.050×ln⁡4.5=3.050×1.5041=4.587 km/s\Delta v=v_e\ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right)=3.050\times\ln 4.5 =3.050\times1.5041=4.587\ \mathrm{km/s}

    3. 代わりに、同じ質量比を打上げ質量に対する割合として読み替えてみる。この段の5分の4近くが推進剤であるにもかかわらず、軌道投入に必要なコストの半分未満しか得られていない。

      fp=1−mfm0=1−14.5=77.78%f_p=1-\frac{m_f}{m_0}=1-\frac{1}{4.5}=77.78\%

    4. そこで、目標値から逆算して方程式を解いてみる。空気抵抗と重力損失を考慮すると、地上から低地球軌道に達するには約9.4 km/sを要し、この排気速度のもとでは必要な質量比が決定される。その結果、離昇質量の4.6%しかタンク、エンジン、構造体、そして人工衛星の合計に残されない。

      m0mf=eΔv/ve=e9.4/3.050=e3.082=21.80⟹fp=1−121.80=95.4%\frac{m_0}{m_f}=e^{\Delta v/v_e}=e^{9.4/3.050}=e^{3.082}=21.80 \quad\Longrightarrow\quad f_p=1-\tfrac{1}{21.80}=95.4\%

    5. これほど軽量なタンク構造を製造できる者はいない。精巧に作られたケロシン段でも構造質量比は満載質量の約8%であり、ペイロードをわずか1 kgも加えない段階で、これだけで質量比の上限は12.5に抑えられてしまう。9.4 km/sから引いた残りが不足分となる。

      ε=0.08 ⟹ (m0mf)max⁡=10.08=12.5,Δvmax⁡=3.050ln⁡12.5=7.703 km/s  (9.4−7.703=1.70)\varepsilon=0.08\ \Longrightarrow\ \left(\frac{m_0}{m_f}\right)_{\max}=\frac{1}{0.08}=12.5, \quad \Delta v_{\max}=3.050\ln 12.5=7.703\ \mathrm{km/s}\ \ (9.4-7.703=1.70)

    解答

    ツールは排気速度3050 m/s、Δvとして4.587 km/s、推進剤質量比として77.78%を表示する。最後のステップこそがこの方程式が存在する理由である。なぜなら、単段ロケットが単に困難であると言っているのではなく、ペイロードをゼロとしてもΔvが圧倒的に不足していることを示しているからである。大型ケロシン段の最高水準である6%の構造質量比であっても、到達できる合計は8.58 km/sにとどまる。構造質量比8%の単段ロケットで9.4 km/sを達成するには380 sの比推力が必要となり、これは本エンジンより2割高く、これまでに飛翔したどのケロシンエンジンをも超えている。水素–酸素エンジンは約450 sに達するため、本格的な単段軌道投入の研究が例外なく水素を対象としてきたのはこのためである。もうひとつの回避策は、空になったタンクを運ぶのをやめることである。タンクを切り離せば、はるかに小さな m₀ で方程式が再始動する。したがって、多段化は単なる最適化ではなく、不可能な課題に対する回避策なのである。

    Isp ≥ Δvg0ln⁡(1/ε)=94009.807×2.526=380 sI_{sp}\ \ge\ \frac{\Delta v}{g_0\ln(1/\varepsilon)} =\frac{9400}{9.807\times2.526}=380\ \mathrm{s}
  2. 軌道に到達するために 4.587 km/s を出すロケットの推進剤コスト 6 ステップ

    パネルによれば、このロケットは打ち上げ質量の 77.78% を推進剤として 4.587 km/s を出します。軌道に必要なのは約 9.4。速度が 2 倍でも燃料は 2 倍では済みません。実際いくらかかるのか、そして人類はどうやってそれを回避したのかを求めましょう。

    1. パネルの状態から始めます。噴射速度は比推力に g₀ を掛けただけ、Δv は質量比だけから決まります。

      ve=Isp g0=311×9.807=3050 m s−1,Δv=veln⁡4.5=4.587 km s−1v_e=I_{sp}\,g_0=311\times9.807=3050\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad \Delta v=v_e\ln 4.5=4.587\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    2. 推進剤比率を文字どおり読みます。質量比 4.5 なら、4.5 分の 1 を除くすべてが投げ捨てられる燃料です。

      mpm0=1−14.5=0.7778\frac{m_p}{m_0}=1-\frac{1}{4.5}=0.7778

    3. 同じエンジンに 9.4 km/s を要求します。ロケット方程式を逆に解くと、質量比は 2 倍ではなく指数的に跳ね上がり、21.80 になります。

      Δv=9.4 km s−1:m0mf=e9400/3050=e3.082=21.80⟹mpm0=0.9541\Delta v=9.4\ \mathrm{km\,s^{-1}}:\qquad \frac{m_0}{m_f}=e^{9400/3050}=e^{3.082}=21.80\quad\Longrightarrow\quad \frac{m_p}{m_0}=0.9541

    4. 先へ進む前に 95.41% の意味を見てください。タンク、エンジン、構造、誘導、ペイロードの合計が発射台上の質量の 4.59%。これは難しい設計目標ではなく、打ち上げに耐えねばならないシャボン玉のようなものです。

    5. ならば仕事を 2 つに割ります。各段が 4.7 km/s を担い、必要な質量比は 4.669——掛け合わせるとちょうど 21.80 に戻ります。

      Δv1=Δv2=4.7:R1=e4700/3050=4.669,R1R2=4.6692=21.80\Delta v_1=\Delta v_2=4.7:\qquad R_1=e^{4700/3050}=4.669,\qquad R_1R_2=4.669^{2}=21.80

    6. なぜ掛け算なのか。Δv は足し算で、Δv は比の対数だからです。対数の和は積の対数です。

      ∑iΔvi=ve∑iln⁡Ri=veln⁡∏iRi\sum_i \Delta v_i=v_e\sum_i \ln R_i=v_e\ln\prod_i R_i

    解答

    多段化は質量比を小さくしません。因数分解するのです。21.80 は一体では届かず、4.669 の 2 つ分としては造作もない。この手が正当なのは、第 1 段の空タンクが切り離された瞬間に貨物であることをやめるからです。各段は 78.58% が推進剤——そしてパネルをもう一度見てください。ずっと 77.78% と表示されています。このプリセットは軌道に届くロケットではありません。軌道に届くロケットの、1 段目なのです。

    ∏iRi=21.80:95.41% ⟷ 78.58%+78.58%\prod_i R_i=21.80:\qquad 95.41\%\ \longleftrightarrow\ 78.58\%+78.58\%

学習の道すじ

二つの値から導く軌道

参考文献 (1)
  • The equation itself: K. E. Tsiolkovsky, "Исследование мировых пространств реактивными приборами" ("Exploration of Outer Space by Means of Rocket Devices"). Nauchnoye Obozreniye, 1903.

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。