平均値の定理

関数 f と区間を入力します。破線の割線が両端を結びます。曲線に沿って、またはスライダーを使って c を動かし、点 c での接線が割線と平行になる位置を探しましょう。下のパネルには f′ と割線の傾き m が描かれており、両者が交わる点が求めるすべての c です。

平均値の定理	$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad a<c<b$
ロルの定理	$f(a)=f(b)\ \Rightarrow\ f'(c)=0,\qquad a<c<b$

計算例 — 平均値の定理

左端における f の値	1
右端における f の値	9
割線の傾き m	4
[a, b] で連続、(a, b) で微分可能	前提をともに満たす
選んだ c	1.6
選んだ c における接線の傾き	3.2

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レッスン

理論 — 平均値の定理

平均値の定理：関数 f が [a, b] で連続であり、(a, b) で微分可能であるとき、a と b の真の間にあるどこかの点 c において、接線が割線と平行になります：f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a)。ロルの定理 は f(a) = f(b) となる特別な場合であり、このとき f′(c) = 0 となります。

公式の導き方

前提条件を確かめる。 f は両端を含めた [a, b] の全域で途切れがなく、内部のすべての点で微分可能でなければなりません。多項式や eˣ、sin や cos はどんな区間でもこの条件をクリアします。ゼロ除算、負の数の平方根、|x| のような折れ点がないか警戒しましょう。
$\begin{aligned}&\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\quad(a\le x_0\le b)\\&f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad(a<x<b)\end{aligned}$
割線の傾きを求める。 m は a から b までの変化に対する f(a) から f(b) までの変化の割合であり、図の破線にあたります。
$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
なぜ c が存在するのか。 曲線と割線のずれ g は両端で 0 です。閉区間上の連続関数は必ず最大値と最小値を取ります。g がつねに 0 である場合を除けば、最大値か最小値のどちらかは区間の内側に現れ、そこが曲線と割線の最も離れる点となって g′ = 0 が成り立ちます。これが f′(c) = m です。図で見れば、接線が平行になる点にあたります。
$\begin{aligned}&g(x)=f(x)-f(a)-m\,(x-a)\\&g(a)=g(b)=0\\&\Rightarrow\ g'(c)=f'(c)-m=0\end{aligned}$
f′(c) = m を解き、a と b の真の間にある解だけを残す。 区間の外にある解や端点は c にはなれません。
$f'(c)=m,\qquad a<c<b$

全プロセスの詳細解説

c を求め、区間外の解を除く 2 ステップ
f(x) = x³ が [0, 3] 上で平均値の定理の前提条件を満たすことを示し、定理が保証するすべての c を求めよ。

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1. f は多項式なので、いたるところで連続かつ微分可能です。割線の傾きを計算します:
  
  $m=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{27-0}{3}=9$
2. 方程式 f′(c) = m を解きます:
  
  $3c^{2}=9\ \Rightarrow\ c=\pm\sqrt{3}$
解答

c = √3 ≈ 1.7321。 解 −√3 も 3c² = 9 を満たしますが、(0, 3) の外側にあるため除外します。

$c=\sqrt{3}\approx1{.}7321$
ロルの定理：両端の値が等しい場合 2 ステップ
[0, π/2] 上の f(x) = sin x + cos x について、ロルの定理が成り立つことを確かめよ。

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1. sin と cos はいたるところで連続かつ微分可能です。両端の値は一致します:
  
  $\begin{aligned}&f(0)=0+1=1\\&f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1+0=1\end{aligned}$
2. したがって割線は水平であり、f′(c) = 0 となる c が存在します:
  
  $\begin{aligned}&\cos c-\sin c=0\\&\Rightarrow\ \tan c=1\ \Rightarrow\ c=\frac{\pi}{4}\end{aligned}$
解答

c = π/4 ≈ 0.7854、山の頂点です。

$c=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854$
二つの c が現れる例 2 ステップ
[−2, 2] 上の f(x) = x³ − 3x について、平均値の定理が保証するすべての c を求めよ。

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1. 多項式なので、両方の前提条件を満たします。割線の傾き:
  
  $m=\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{2-(-2)}{4}=1$
2. 方程式 f′(c) = m を解きます:
  
  $3c^{2}-3=1\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$
解答

c = −2/√3 ≈ −1.1547 および c = 2/√3 ≈ 1.1547。 どちらも (−2, 2) の内側にあるため、定理がいう「少なくとも一つ」がここでは二つになります。

$c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm1{.}1547$
指数関数：対数から c を求める 2 ステップ
[0, 1] 上の f(x) = eˣ について、平均値の定理が与える c の値を求めよ。

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1. eˣ はいたるところで連続かつ微分可能です。割線の傾き:
  
  $m=\frac{e^{1}-e^{0}}{1-0}=e-1$
2. 両辺の対数を取って f′(c) = eᶜ = m を解きます:
  
  $e^{c}=e-1\ \Rightarrow\ c=\ln(e-1)$
解答

c = ln(e − 1) ≈ 0.5413、これは (0, 1) の範囲にあります。

$c=\ln(e-1)\approx0{.}5413$
内側に折れ点がある場合：c は存在しない 2 ステップ
f(x) = |x| について、(−1, 2) 内に f′(c) = (f(2) − f(−1))/3 を満たす c が存在しないことを示せ。また、これが平均値の定理と矛盾しない理由を述べよ。

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1. 割線の傾き:
  
  $m=\frac{|2|-|-1|}{2-(-1)}=\frac{1}{3}$
2. 0 を除く各点での |x| の傾きは −1 または 1 であり、1/3 には決してなりません:
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=-1\quad(x<0)\\&f'(x)=1\quad(x>0)\end{aligned}$
解答

c は存在しません。 |x| は (−1, 2) の内部にある 0 で微分不可能であるため、微分可能性の前提が崩れ、定理は何の保証もしません。

$f'(c)\neq\tfrac{1}{3}\ \ \forall c\in(-1,2)$
内側に途切れがある場合：ロルの定理の結論の不成立 2 ステップ
f(x) = 1/x² は f(−1) = f(1) を満たします。(−1, 1) 内に f′(c) = 0 を満たす c は存在するか。理由とともに答えよ。

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1. 両端の値が一致するため、割線は水平です:
  
  $f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}}=1=f(1),\qquad m=0$
2. しかし、f′ が 0 になることはありません:
  
  $f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\neq0\ \ (x\neq0)$
解答

存在しません。 f は 0 で定義されていないため [−1, 1] で連続ではなく、ロルの定理は適用できず、結論も成り立ちません。

$f'(c)\neq0\ \ \forall c\in(-1,1)$
端点で微分不可能でも定理は成り立つ 2 ステップ
[0, 4] 上の f(x) = √x に平均値の定理は適用できるか。できる場合は c を求めよ。

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1. √x は [0, 4] で連続であり、(0, 4) で微分可能です。端点である 0 で f′(0) は存在しませんが、端点での微分可能性は要求されません。割線の傾き:
  
  $m=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{0}}{4-0}=\frac{1}{2}$
2. 方程式 f′(c) = m を解きます:
  
  $\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sqrt{c}=1\ \Rightarrow\ c=1$
解答

適用できる。c = 1。

$c=1$
二台の監視カメラと平均速度 2 ステップ
ある車が最初のカメラを通過し、その 6 分後に 12 km 先にある二台目のカメラを通過した。制限速度は 100 km/h である。この二台の間のある瞬間において、車の速度がちょうど 120 km/h であったことを示せ。
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1. t 時間後の走行距離を s(t) km とおきます。車は跳びなく進み、どの瞬間にも速度を持つため、s は連続かつ微分可能です。0.1 時間にわたる平均速度は割線の傾きにあたります:
  
  $\frac{s(0{.}1)-s(0)}{0{.}1-0}=\frac{12}{0{.}1}=120\ \mathrm{km/h}$
2. 平均値の定理により、二台のカメラの間のある時刻 c において、s′(c) がこの平均速度と一致します:
  
  $s'(c)=120\ \mathrm{km/h},\qquad 0<c<0{.}1$
解答

ある瞬間に、速度はちょうど 120 km/h でした。 したがって、個別のカメラが直接速度違反を記録していなくても、途中で制限速度を超えていたことが証明されます。

$s'(c)=120\ \mathrm{km/h}>100\ \mathrm{km/h}$
f′ の評価から f の上界を導く 2 ステップ
f は微分可能であり、f(1) = 10 かつすべての x について f′(x) ≤ 3 を満たす。f(5) は最大でどれほど大きくなり得るか。
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1. [1, 5] 上で平均値の定理を適用すると、ある c に対して次が成り立ちます:
  
  $\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=f'(c),\qquad 1<c<5$
2. f′(c) ≤ 3 より:
  
  $f(5)=f(1)+4f'(c)\le10+4\cdot3=22$
解答

f(5) ≤ 22。 なお、f(x) = 3x + 7 のときにこの上限に達します。

$f(5)\le22$

補充問題（答えのみ）

[0, 5] 上の f(x) = x² − 4x + 1 に対する c を求めよ。

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c = 2.5

$c=\frac{5}{2}$
[0, 2] 上の f(x) = x³ − 4x についてロルの定理を確かめ、c を求めよ。

答えを表示

c = 2/√3 ≈ 1.1547

$c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1{.}1547$
[1, e] 上の f(x) = ln x に対する c を求めよ。

答えを表示

c = e − 1 ≈ 1.7183

$c=e-1\approx1{.}7183$
[1, 3] 上の f(x) = 1/x に対する c を求めよ。

答えを表示

c = √3 ≈ 1.7321

$c=\sqrt{3}\approx1{.}7321$
[0, 3] 上の f(x) = |x − 2| に平均値の定理は適用できるか。また c は存在するか。

答えを表示

適用できない: x = 2 に折れ点があるため。割線の傾きは −1/3 ですが、f′ は ±1 しか取らず、c は存在しない

$f'(x)=\pm1\neq-\frac{1}{3}$
f(0) = 5 かつすべての x について f′(x) ≥ −2 であるとき、f(6) の最小値はいくらか。

答えを表示

−7

$f(6)\ge-7$

端点は崩れてもよいが、内側はそうはいかない

[0, 4] 上の √x を選んでみてください。原点 0 で曲線は垂直に立ち上がり、f′(0) は存在しません。それでも c = 1 が見つかり、傾き 1/2 の接線が割線と見事に平行になります。次に [−1, 2] 上の |x| を試してみましょう。割線の傾きは 1/3 なのに、接線の傾きはどこまでいっても −1 か 1 で、c は一つも現れません。この決定的な違いは、特異な点がどこにあるかによります。定理が約束するのは、あくまで a と b の真の間にある c だけです。だからこそ微分可能性もその内側で保たれていれば十分で、端点には微分係数がなくても構いません。ただし、端点が曲線から千切れることだけは防がねばなりません。割線が結ぶ相手を取り違えてしまうからです。連続性は閉区間に、微分可能性は開区間に求める。定理の条件に二種類の括弧が使い分けられている理由は、まさにこの点にあるのです。

すべての「+ C」の背後にある定理

試験問題で c そのものの値を尋ねられることは稀です。この定理の真価は、そこから導かれる証明の力にあります。ある区間のすべての点で f′(x) = 0 であるなら、その区間のどんな割線もいずれかの接線の傾き、つまり 0 に一致します。したがって、どの二点を取っても f の値は等しく、f は定数関数になります。同一の関数に対する二つの原始関数は、その差の導関数が 0 になるため、一つの区間上では定数だけの差しか持ち得ません。これこそがあの「+ C」の正体であり、単なる慣例ではなく定理の結論なのです。「一つの区間上で」という限定も外せません。たとえば x < 0 で ln|x| + 1、x > 0 で ln|x| − 3 と定めた関数も 1/x の原始関数になります。0 を跨ぐ区間が存在しないためです。まったく同じ議論から、f′ > 0 ならあらゆる割線が右上がりになり、f が増加することが示されます。次のページで学ぶ判定法も、すべてここに基礎を置いています。

放物線では、c は常に中点になる

[1, 3] 上の x² を選んでみてください。c = 2、ちょうど中点です。これは計算の偶然ではありません。一般の二次関数 f(x) = px² + qx + r において、割線の傾きを計算すると p(a + b) + q となり、これはどの区間でも (a + b)/2 における f′ の値に他ならないからです。運動として解釈すれば、「等加速度運動において、ある時間区間の平均速度は、そのちょうど中間での瞬間の速度に等しい」ことを示しています。オックスフォードのウィリアム・ヘイツベリーが 1330 年代にこの規則を記述し、その三世紀後にガリレオが落体の研究の礎としました。しかし三次関数になると、この対称性は一瞬で崩れます。[0, 3] 上の x³ では、c は 1.5 ではなく √3 ≈ 1.7321 になります。

学習の道すじ

f′ と f″ が教えてくれるグラフの姿

参考文献 (2)

Rolle's theorem (Theorem 4.4) and the mean value theorem (Theorem 4.5) with their hypotheses, continuity on [a, b] and differentiability on (a, b); and the corollaries insight block 2 is about: a zero derivative on an interval means a constant (4.6), equal derivatives differ by a constant (4.7), and f′ > 0 means increasing (4.8): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.4, “The Mean Value Theorem”.
Insight block 3: William Heytesbury formulated the middle degree theorem (the mean speed theorem) for uniformly accelerated motion in his Regulae solvendi sophismata; his extant writings date from the 1330s, and the theorem was later developed by Galileo: M. Hanke and E. Jung, “William Heytesbury”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, first published 19 January 2018, revised 19 June 2026.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

平均値の定理

公式の導き方

補充問題（答えのみ）

端点は崩れてもよいが、内側はそうはいかない 🖖

すべての「+ C」の背後にある定理 🖖

放物線では、c は常に中点になる 🖖

端点は崩れてもよいが、内側はそうはいかない

すべての「+ C」の背後にある定理

放物線では、c は常に中点になる