初等関数で表せない積分

積分の中には公式が全く存在しないものがあります。これはジョゼフ・リウヴィルによって証明されました。多項式に e^−x² を掛けた式で彼の判定法を試し、なぜ結果が一つの数にかかっているのかを確認してください。その後、正解が存在しないかもしれない被積分関数で練習しましょう。

多項式 g に対する条件	$\begin{aligned}\int g(x)\,e^{-x^{2}}dx&=R(x)\,e^{-x^{2}}+C\\ &\iff\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,e^{-x^{2}}dx=0\end{aligned}$
求まらない公式に与えられた名前	$\int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}x+C$

計算例 — 初等関数で表せない積分

実数全体における g(x)·e⁻ˣ² の面積	1.7725
g(x)·e⁻ˣ² の初等的な原始関数	なし
係数が −3 から 3 で公式が存在する割合	6.12%
練習問題の被積分関数（シンプソンの公式による積分）	2.2405

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レッスン

理論 — 初等関数で表せない積分

x と定数から出発し、有限回の加算、乗算、除算、多項式方程式の根、指数関数、対数関数を組み合わせて作られる関数を初等関数と呼びます。複素数の値も許容されるため、三角関数やその逆関数も含まれます。ある初等関数 F が F′ = f を満たすとき、その被積分関数には初等関数で表せる原始関数が存在すると言います。リウヴィルの定理は、そのような F が取り得る形を制限します。f と g が有理関数で g が定数でないような f·e^g の場合、これは一つの判定法になります。初等関数で表せる原始関数が存在するのは R′ + g′R = f を満たす有理関数 R が存在するときに限られ、そのとき R·e^g が原始関数の一つとなります。

各記号の意味

R: リウヴィルの判定法が探索する有理関数。g(x)e^−x² に対しては多項式になります
K: 部分積分を行った後に残る ∫e^−x² dx の定数倍、つまり g₀ + g₂/2 + 3g₄/4 + 15g₆/8 + …。実数全体での面積を √π で割ったものになります

公式の導き方

解がとり得る形。 リウヴィルの定理は、探すべき姿をひとつに絞り込んでくれます。もし ∫g(x)e^−x² dx を表す公式があるなら、ある多項式 R を用いて必ず R(x)e^−x² と書けるのです。これを微分して、g と一致させてみましょう。
$\int g(x)\,e^{-x^{2}}dx=R(x)\,e^{-x^{2}}\ \Rightarrow\ g=R'-2xR$
各次数の係数を揃える。 g が三次式なら、R は二次式です。x³ の項と x の項はいつでも合わせられます。x² の項と定数項はどちらも r₁ を定めますが、一方は −g₂/2、もう一方は g₀ となり、両者が一致するのは g₀ + g₂/2 = 0 のときだけです。
$R=r_2x^{2}+r_1x+r_0:\quad R'-2xR=-2r_2x^{3}-2r_1x^{2}+(2r_2-2r_0)x+r_1\ \Rightarrow\ r_1=g_0=-\frac{g_2}{2}$

成り立たない場合: このページの判定法は、有理関数 f と g を用いた f·e^g、および x = e^u と置換することで x^m/ln x の形の被積分関数を対象としています。多項式の平方根については別のアプローチが必要です。コンラッドの「例 4.3」では、重根を持たない 3 次以上の多項式 P に対して ∫dx/√P(x) が初等関数にならない理由が説明されています。また、ハーディは、楕円の弧長をはじめとする標準的な楕円積分に関する成果をリウヴィルの功績として挙げています。

全プロセスの詳細解説

すぐ隣の初等積分 2 ステップ
∫x e^−x² dx を求めましょう。
1. x は −x² の導関数の −½ 倍なので、そのまま置換します：
  
  $u=-x^{2},\quad du=-2x\,dx,\quad x\,dx=-\tfrac12\,du$
2. 残るは指数関数ひとつ：
  
  $\int x\,e^{-x^{2}}dx=-\tfrac12\int e^{u}\,du=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$
解答

−½e^−x² + C. 公式などまったく存在しない ∫e^−x² dx とこの積分との違いは、x という因子がひとつあるかないか、その一点に尽きます。

$\int x\,e^{-x^{2}}dx=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$
級数で求める小数第4位 3 ステップ
∫₀¹ e^−x² dx を小数第4位まで求めましょう。
解答を表示
1. 原始関数は使えません。しかし e^−x² にはべき級数があり、項別積分が可能です：
  
  $e^{-x^{2}}=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{k!}\ \Rightarrow\ \int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}}{k!\,(2k+1)}$
2. 項の符号は交互に入れ替わり、値も小さくなっていきます。次の項が無視できる大きさになるまで足し合わせます：
  
  $1-\frac13+\frac1{10}-\frac1{42}+\frac1{216}-\frac1{1320}+\frac1{9360}=0{.}74684$
3. 交代級数では、生じる誤差は打ち切った最初の項より小さくなります：
  
  $|R|<\frac{1}{7!\cdot15}=\frac{1}{75600}\approx1{.}3\times10^{-5}$
解答

0.7468. そのひとつ前の 1/1320 で打ち切ってしまうと、残る誤差の上限が 1/9360 ≈ 1.1×10⁻⁴ となり、小数第4位の確かさまでは保証できません。

$\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx\approx0{.}7468$
sin(x²) にも同じ手法を 2 ステップ
∫₀¹ sin(x²) dx を小数第4位まで求めましょう。
解答を表示
1. sin(x²) にも初等的な原始関数はありません。その級数を項別積分すると：
  
  $\sin x^{2}=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}x^{4k+2}}{(2k+1)!}\ \Rightarrow\ \int_{0}^{1}\sin x^{2}\,dx=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!\,(4k+3)}$
2. 3項を足し合わせれば十分で、第4項が誤差を抑えてくれます：
  
  $\frac13-\frac1{42}+\frac1{1320}=0{.}31028,\qquad |R|<\frac{1}{75600}$
解答

0.3103. これはフレネル積分と呼ばれるものです。1818年、オーギュスタン・フレネルが光の回折理論を打ち立てる際に必要としました。

$\int_{0}^{1}\sin x^{2}\,dx\approx0{.}3103$
部分積分、そして初等関数で表せない積分へ 3 ステップ
∫₀^∞ e^−x² dx = √π/2 を用いて、∫x² e^−x² dx と、0 から ∞ までの値を求めましょう。
解答を表示
1. x² e^−x² を x · x e^−x² と分解します。二つ目の因数の原始関数は、最初の問題で求めたものです：
  
  $u=x,\quad dv=x\,e^{-x^{2}}dx,\quad v=-\tfrac12e^{-x^{2}}$
2. 部分積分を一度行うと ∫e^−x² dx が残りますが、これは初等関数では表せないため、そのままにしておきます：
  
  $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\tfrac12x\,e^{-x^{2}}+\tfrac12\int e^{-x^{2}}dx$
3. [0, ∞) において境界項は両端で 0 となり、残る積分は既知のものです：
  
  $\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\Bigl[-\tfrac12x\,e^{-x^{2}}\Bigr]_{0}^{\infty}+\tfrac12\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}=\frac{\sqrt\pi}{4}$
解答

−½x e^−x² + (√π/4) erf x + C、[0, ∞) では √π/4 ≈ 0.4431 です。 erf は、初等関数では表せないこの積分を、1 に収束するよう規格化したものにつけられた名前です。

$\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\tfrac12x\,e^{-x^{2}}+\frac{\sqrt\pi}{4}\operatorname{erf}x+C,\qquad \int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt\pi}{4}\approx0{.}4431$
初等関数では表せない二つの項が、合わさって一つの式に 1 ステップ
x > 0 において、∫e^x(1/x − 1/x²) dx を求めましょう。
解答を表示
1. ∫eˣ/x dx も ∫eˣ/x² dx も初等関数ではありません。しかし、商の微分法で eˣ/x を微分してみると：
  
  $\frac{d}{dx}\,\frac{e^{x}}{x}=\frac{e^{x}x-e^{x}}{x^{2}}=e^{x}\left(\frac1x-\frac1{x^{2}}\right)$
解答

eˣ/x + C です。リウヴィルの定理が語るのは、被積分関数全体のことです。個々の項は初等関数で表せなくても、その和なら初等的な式になることがあるのです。

$\int e^{x}\left(\frac1x-\frac1{x^{2}}\right)dx=\frac{e^{x}}{x}+C$
どのような c のときに (4x⁴ + c)e^(−x²) は積分可能になるか？ 4 ステップ
どのような c のときに (4x⁴ + c)e^−x² は初等関数で表せる原始関数を持ち、それはどのような形になりますか？ このページの入力欄は x³ までしかありません。次数が 1 つ低い同じ問題を見るには釣り合いを押してください。

この問題をツールで開く
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1. 部分積分を行うと、各 x^2m に対して ∫e^−x² dx の (2m − 1)!!/2^m 倍が残ります。x⁴ の場合、この係数は 3/4 になります。残ったものを足し合わせます:
  
  $K=c+4\cdot\frac{3\cdot1}{2^2}=c+3$
2. 公式が存在するためには、この残りが 0 になる必要があります:
  
  $K=0\ \Rightarrow\ c=-3$
3. このとき R は 3 次式になります。R′ − 2xR = 4x⁴ − 3 について高次の項から次数を一致させます:
  
  $-2r_3=4,\ \ -2r_2=0,\ \ 3r_3-2r_1=0,\ \ 2r_2-2r_0=0\ \Rightarrow\ R=-2x^3-3x;\qquad r_1=-3=g_0$
4. 微分して確認します:
  
  $\frac{d}{dx}\Big(-(2x^3+3x)e^{-x^2}\Big)=\big(-6x^2-3+4x^4+6x^2\big)e^{-x^2}=\left(4x^4-3\right)e^{-x^2}$
解答

c = −3 であり、∫(4x⁴ − 3)e^−x² dx = −(2x³ + 3x)e^−x² + C となります。 それ以外の c の場合は (c + 3)∫e^−x² dx が残り、これには公式がありません。そのときの実数全体での面積は 0 ではなく (c + 3)√π になります。

$c=-3:\quad\int\left(4x^4-3\right)e^{-x^2}\,dx=-\left(2x^3+3x\right)e^{-x^2}+C$

補充問題（答えのみ）

∫ x³e^−x² dx を求めよ。初等関数で表せない場合は、そのことを示せ。

答えを表示

−½(x² + 1)e^−x² + C。x の奇数乗が掛かっているので、初等関数で積分できる。u = x² と置換し、部分積分を使う。

$-\tfrac12\left(x^{2}+1\right)e^{-x^{2}}+C$
sin x の級数展開を使って、∫₀¹ (sin x)/x dx を小数点以下四桁まで求めよ。

答えを表示

1 − 1/18 + 1/600 − 1/35280 を計算すると、0.9461。次の項は 1/3265920 なので、小数点以下四桁に丸めた値は変わらない。

$1-\tfrac1{18}+\tfrac1{600}-\tfrac1{35280}\approx0{.}9461$
∫₀² e^−x² dx を誤差関数 erf で表し、その値を求めよ。

答えを表示

(√π/2) erf 2 ≈ 0.8821。

$\int_{0}^{2}e^{-x^{2}}\,dx=\tfrac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}2\approx0{.}8821$

e⁻ˣ² に「公式が存在しない」ことは定理として証明されています

釣鐘曲線を押してください。練習問題では ∫3e^−x² dx を求めており、正解は存在しないです。もっと巧妙な置換積分を見つける余地はありません。1830年代にジョゼフ・リウヴィルは、累乗、累乗根、指数関数、対数関数、三角関数をどれほど長く組み合わせても、その導関数が e^−x² になるものは存在しないことを証明しました。リウヴィルの定理を前提とすれば、最後の証明は一つの段落に収まります。ブライアン・コンラッドの講義ノートには次のように記されています。もし初等関数で表せる原始関数が存在するなら、それは有理関数 R を用いて R(x)e^−x² の形をとるはずであり、R′ − 2xR = 1 が成り立ちます。R が多項式であれば左辺の次数が高くなりすぎます。一方、R に極があれば、R′ には位数が 1 つ高い極が生じますが、これを相殺できるものは両辺のどこにもありません。それでもなお、原始関数自体は存在します。下部のパネルではシンプソンの公式を用いてそれが描かれており、滑らかに上昇する曲線が示されます。結果には ∫₀¹ 3e^−x² dx = 2.2405 と表示されます。欠けているのは関数ではなく公式であり、数学者たちはこれを定数倍したものを誤差関数 erf(x) = (2/√π)∫₀ˣ e^−t² dt と名付けました。したがって、練習問題の原始関数は (3√π/2)·erf(x) + C となります。1/ln xを押してください。x = e^u と置換することで、同じ定理が対数積分 ∫dx/ln x にも公式が存在しないことを示します。ページには、先ほどと同様にその原始関数が描かれます。

多項式と e⁻ˣ² の積に公式が存在するのは、実数全体における面積がゼロになるときに限られます

リウヴィルの判定法は、単に引用するだけでなく実際に試すことができます。入力欄に 3 次式 g を入力し、手順を進めてみてください。∫g(x)e^−x² dx の公式は R(x)e^−x²（R は多項式）の形をとるため、R′ − 2xR = g が成り立ちます。高次の項から順に次数を一致させていくと、R が見つかるか、定数項で矛盾が生じるかのどちらかになります。x²·e⁻ˣ²を押してください。この手順では R = −½x とせざるを得ず、続いて −½ が 0 に等しいことが求められます。したがって公式は存在せず、実数全体での面積は √π/2 = 0.8862 となります。釣り合いの (2x² − 1)e^−x² を押してください。手順を進めると R = −x が見つかり、積分は −xe^−x² + C となり、面積は 0.0000 になります。これら二つの事実は実は同じことを表しています。公式 R(x)e^−x² は両端で 0 に収束するため、その間の面積 F(∞) − F(−∞) は 0 になります。そして部分積分を行うと、すべての x^2me^−x² は公式と ∫e^−x² dx の定数倍の和に還元されます。この定数倍の合計が、面積を √π で割ったものになるのです。数式で表すと、公式が存在するのは厳密に g₀ + g₂/2 = 0 となるときであり、奇数乗の項は影響しません。緑と赤の領域がこれを視覚的に示しています。両者は相殺されなければならないのです。

ある関数の集合で被積分関数を数え上げると、公式が存在するものはほとんど姿を消す

リウヴィルの定理は、目の前にある被積分関数について述べています。どのくらいの割合の積分に公式がないのかを語るものではありませんし、語ることもできません。なぜなら「ほとんど」と言うためには、対象となる関数の集合と数え方が必要だからです。そこで、実際に数えてみましょう。−3 から 3 までの整数係数を持つすべての 3 次式 g を考えると、その数は 2,401 個になります。これに e^−x² を掛けたもののうち、初等関数で表せる原始関数を持つものは 147 個（6.12%）です。それらはまさに g₂ = −2g₀ を満たすものであり、グリッド内の 49 個のセルのうち光っている 3 個のセルに該当し、g₁ と g₃ の値は問われません。係数の範囲を −10 から 10 まで広げると、その割合は 2.49% に下がります。−100 から 100 に広げると 0.25% になります。表が示すように、範囲が 10 倍になるごとに割合は約 10 分の 1 に減少します。公式が存在するためには係数の間に厳密な一致が一つ必要ですが、その一致とは、拡大し続ける正方形の中に引かれた一本の線に過ぎません。練習問題で約半分の確率で公式が現れるのは、そのように作られているからです。この集合から無作為に選んだ場合、公式を持つ被積分関数はほとんど存在しません。

学習の道すじ

積分法

参考文献 (2)

The criterion the page runs: “Choose f, g ∈ ℂ(X) with f ≠ 0 and g nonconstant. The function f(x)e^g(x) can be integrated in elementary terms if and only if there exists a rational function R ∈ ℂ(X) such that R′(X) + g′(X)R(X) = f(X)” (Theorem 4.4, p. 8), deduced from Liouville's theorem (Theorem 4.1) and proved in §5; applied to e^(−x²) in Example 4.6 and to eˣ/x, equivalently dt/log t, in Example 4.7 (pp. 9–10). Example 4.3 gives ∫dx/√P(x) for P of degree 3 or more without repeated roots: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), Theorems 4.1 and 4.4, Examples 4.3, 4.6 and 4.7.
Liouville's results and their dates: the theorem that an elementary ∫eˣy dx (y algebraic) must be eˣ times a rational expression in y, from his 1835 memoir in Crelle's Journal (vol. 13, pp. 93–118), with “the ‘logarithm-integral’ … is really a new transcendent” (ch. VI §4, pp. 58–59); the reduction of every ∫eˣR(x) dx to ∫eˣ/x dx (p. 58, the eˣ(1 − 1/x)³ and eˣ(1 − 2/x)² examples); a footnote crediting the general method with “the ‘error function’ integral ∫e^(−x²) dx is not an elementary function” (§5, p. 59); Liouville's proof for the standard elliptic integrals (ch. V §19, p. 47); and the bibliography of his memoirs, 1833–1840: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter V §19, Chapter VI §§4–5, and Appendix I.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。