最適化：箱と缶

最大にしたい量が成長を止める地点では、その変化率は 0 になります。微分を使えば、しらみつぶしに試すことなく、容積最大の箱や最も安上がりな缶を特定できます。切り込みや半径を動かして接線が水平になる瞬間を確かめたら、許容された区間の両端を吟味する手順も含め、解法を一歩ずつ追ってみましょう。

閉区間における極値	$\begin{aligned}&\max_{[a,b]}f,\ \min_{[a,b]}f\\ &\quad\in\ \{\,f(a),\ f(b)\,\}\ \cup\ \{\,f(c):\ f'(c)=0\,\}\end{aligned}$

計算例 — 最適化：箱と缶

現在の箱の容積（cm³）	1,936
変化率 V′(x)（cm³ / 切り込み cm）	132
最適な切り込み（cm）	5
最適時の容積（cm³）	2,000
最適値との差	-3.2%

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レッスン

理論 — 最適化：箱と缶

導関数による最適化：最大または最小にしたい量を、問題が許す区間において一変数関数として表します。導関数がゼロになる点を求め、そこでの値と区間の端点での値とを比べるのです。閉区間における微分可能な関数の最大値や最小値は、必ずこうした候補の中にあります。しかし缶の半径はどんな正の値でもとれるため、比較すべき端が存在しません。代わりに導関数の符号で判断します。臨界点の手前では常に負、通過後は常に正となるため、関数は減少から増加へと転じ、その臨界点が定義域全体における最小値となるのです。

各記号の意味

x: 板の四隅から切り取る正方形の一辺（cm）
r: 缶の底面の半径（cm）。容積が決まれば高さも定まります
k: 底面 1 cm² あたりの材料費（側面 1 cm² の費用を 1 とした比率）

前提: 板は正方形で、箱に蓋はありません。缶は密閉された円柱であり、材料は表面積のみで評価します。継ぎ目、縁の折り返し、板の厚みなどは考慮していません。

全プロセスの詳細解説

24 cm 四方の正方形から作る最大の箱 3 ステップ
一辺 24 cm の正方形の四隅から等しい大きさの正方形を切り取り、立ち上げて箱を作ります。容積を最大にするには何 cm 切り落とせばよく、その容積はいくらになるでしょうか。

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1. 切り落とす長さを x として容積を表します。切り込みが一辺の半分を超えることはできません：
  
  $V(x)=x\,(24-2x)^{2},\qquad 0\le x\le12$
2. 積の微分法を使って微分し、共通因数をくくり出します：
  
  $V'(x)=(24-2x)^{2}+x\cdot2(24-2x)(-2)=(24-2x)(24-6x)$
3. 求めた解はどちらも候補であり、定義域の両端もまた候補です：
  
  $V'(x)=0\ \Rightarrow\ x=4\ \text{or}\ x=12,\qquad V(0)=V(12)=0,\qquad V(4)=4\times16^{2}=1{,}024$
解答

四隅から 4 cm ずつ切り取ります。箱は 16 cm 四方で深さ 4 cm、容積は 1,024 cm³ に達します。切り落とす長さは一辺の六分の一ですが、これはどんな正方形の板であっても同じです。もう一方の解である x = 12 も候補ではありましたが、これでは箱にすらなりません。辺の両側からの切り込みどうしがぶつかり、底面がなくなってしまうからです。

$x=4\ \mathrm{cm},\qquad V=1{,}024\ \mathrm{cm^{3}}$
同じ板で、深さは最大 3 cm 3 ステップ
24 cm の板から作る箱を棚に収めるため、深さは最大 3 cm に制限されます。このとき最適な切り落とし幅は何 cm で、そこでの導関数の値はゼロになるでしょうか。

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1. 容積を表す関数は同じですが、定義域が狭くなります：
  
  $V(x)=x\,(24-2x)^{2},\qquad 0\le x\le3$
2. この定義域の全体で、V′ の因数はどちらも正の値を保ちます：
  
  $0\le x\le3:\qquad 24-2x\ge18>0,\quad 24-6x\ge6>0\ \Rightarrow\ V'(x)>0$
3. したがって容積は制限の上限まで増え続け、最適な箱は定義域の端に現れます：
  
  $V(3)=3\times18^{2}=972,\qquad V'(3)=18\times6=108$
解答

3 cm 切り取ります。箱の容積は 972 cm³ で、そこでの変化率は cm あたり 108 cm³ であり、ゼロではありません。V′ = 0 とおくと x = 4 が得られますが、これは範囲外です。最大値は区間の端点にあり、端を確かめて初めて見つけ出すことができます。

$x=3\ \mathrm{cm},\qquad V=972\ \mathrm{cm^{3}},\qquad V'(3)=108\neq0$
最も金属を使わない缶 3 ステップ
容積 1000 cm³ のふた付き円柱缶を作ります。底とふたも側面と同じ金属板から切り出すとき、使う金属が最小になる半径はいくらで、そのときの缶の高さはどれだけになるでしょうか。

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1. 容積が決まれば高さも定まるため、必要な金属は r だけの関数になります：
  
  $\pi r^{2}h=1000\ \Rightarrow\ h=\frac{1000}{\pi r^{2}},\qquad M(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+\frac{2000}{r}$
2. M′(r) = 0 とおきます：
  
  $M'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^{2}}=0\ \Rightarrow\ r^{3}=\frac{500}{\pi}\ \Rightarrow\ r=5{.}419\ \mathrm{cm}$
3. 高さと金属の量を求めます。この半径の手前で M′ は負、先では正ですから、ここが最小値です：
  
  $h=\frac{1000}{\pi\times5{.}419^{2}}=10{.}84=2r,\qquad M=2\pi(5{.}419)^{2}+\frac{2000}{5{.}419}=553{.}6\ \mathrm{cm^{2}}$
解答

r ≈ 5.42 cm、h ≈ 10.84 cm：缶の高さと直径が等しく、使う金属は 553.6 cm² です。 h = 2r は四捨五入の偶然ではなく、厳密な関係です。πr³ = 500 より、h = 1000/(πr²) = 2r となります。

$r\approx5{.}42\ \mathrm{cm},\qquad h=2r\approx10{.}84\ \mathrm{cm},\qquad M\approx553{.}6\ \mathrm{cm^{2}}$
正方形から打ち抜く蓋 3 ステップ
同じ 1000 cm³ の缶ですが、今度は底とふたを一辺 2r の正方形から打ち抜き、四隅を切り落とすとします。正方形全体を消費した金属として数える場合、最も金属を使わない半径はいくらになるでしょうか。

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1. 底面 1 cm² あたり、円に対する正方形の面積比である 4/π 倍の金属を消費するため、上下の面の比重が大きくなります：
  
  $k=\frac{(2r)^{2}}{\pi r^{2}}=\frac{4}{\pi},\qquad M(r)=2k\pi r^{2}+\frac{2000}{r}=8r^{2}+\frac{2000}{r}$
2. M′(r) = 0 とおきます：
  
  $M'(r)=16r-\frac{2000}{r^{2}}=0\ \Rightarrow\ r^{3}=125\ \Rightarrow\ r=5\ \mathrm{cm}$
3. 金属の量と、缶の高さです：
  
  $M(5)=8\times25+\frac{2000}{5}=200+400=600,\qquad h=\frac{1000}{25\pi}=12{.}73\ \mathrm{cm}$
解答

r = 5 cm、使う金属は 600 cm² で、缶の高さは 12.73 cm です。 上下の面で 200 cm²、側面で 400 cm²。最適な缶の常として、ちょうど半分です。上下の面が高くつく分、最適な缶はより細く、背が高くなります。高さは直径の 1.27 倍、すなわち 4/π です。

$r=5\ \mathrm{cm},\qquad M=600\ \mathrm{cm^{2}},\qquad \frac{200}{400}=0{.}5$
壁を利用した囲い 3 ステップ
ある農家が 60 m のフェンスを使い、長い壁を四番目の辺にして長方形の囲いを作ろうとしています。面積を最大にするには、各辺を何メートルにすればよいでしょうか。
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1. 壁から垂直に伸ばす二辺の長さを x とおきましょう。壁と平行な辺に残るフェンスは 60 − 2x ですから、フェンスが許す範囲において、面積は x だけの関数として表せます：
  
  $\begin{aligned}&A(x)=x\,(60-2x)=60x-2x^{2}\\&0\le x\le30\end{aligned}$
2. A′ = 0 とおきます：
  
  $A'(x)=60-4x=0\ \Rightarrow\ x=15$
3. 囲いの面積が 0 になってしまう両端点と比較します：
  
  $\begin{aligned}&A(15)=15\cdot30=450\\&A(0)=A(30)=0\end{aligned}$
解答

壁から垂直に 15 m、壁沿いに 30 m のときで、面積は 450 m² になります。壁沿いの辺は、垂直な辺のちょうど 2倍です。もし壁がなければ、最も広い囲いは一辺 15 m の正方形となり、面積は 225 m² にとどまります。壁のおかげで、フェンス一辺分がまるまる浮いたわけです。

$\begin{aligned}&x=15\ \mathrm{m},\quad60-2x=30\ \mathrm{m}\\&A=450\ \mathrm{m^{2}}\end{aligned}$
曲線 y = √x 上で (3, 0) に最も近い点 3 ステップ
曲線 y = √x 上で点 (3, 0) に最も近い点と、その距離を求めてみましょう。
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1. 点 (3, 0) と (x, √x) の距離の式には根号が含まれます。しかし、距離の2乗を考えれば根号は消え、距離が最小になるところでその2乗も最小になります：
  
  $\begin{aligned}D^{2}&=(x-3)^{2}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\\&=(x-3)^{2}+x,\qquad x\ge0\end{aligned}$
2. 微分して 0 とおきます：
  
  $\dfrac{d}{dx}D^{2}=2(x-3)+1=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac52$
3. 定義域の端点は x = 0 のひとつだけです。反対側では D² が際限なく大きくなるため、求めた臨界点をこの端点と比較します：
  
  $D^{2}\!\left(\tfrac52\right)=\tfrac14+\tfrac52=\tfrac{11}{4},\qquad D^{2}(0)=9$
解答

最も近い点は (2.5, √2.5) ≈ (2.5, 1.5811) で、その距離は √11/2 ≈ 1.6583 です。D の代わりに D² を最小化してよいのは、平方根関数がつねに増加し、両者がまったく同じ x で最小になるからです。D そのものを合成関数の微分法で微分しても同じ x が得られますが、計算のどの行にも根号がついて回ることになります。

$\left(\tfrac52,\ \sqrt{\tfrac52}\right),\qquad D=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\approx1{.}6583$
A4用紙から作る容積最大の箱 4 ステップ
A4用紙のサイズは 21 cm × 29.7 cm です。四隅から合同な正方形を切り取り、側面を立ち上げて箱を作るとき、容積が最大になる切り込みの長さと、その最大容積を求めなさい。このツールの板は正方形を前提としています。A4の短辺を押すと 21 cm の正方形が表示され、最適な切り込みは 3.5 cm、容積は 686 cm³ になります。

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1. 切り込みを x とすると、底面の縦横は 21 − 2x と 29.7 − 2x、深さは x になります。切り込みは短辺の半分未満です。式を展開すると次のようになります：
  
  $V(x)=x\,(21-2x)(29{.}7-2x)=4x^{3}-101{.}4x^{2}+623{.}7x,\qquad 0\le x\le10{.}5$
2. 項ごとに微分します：
  
  $V'(x)=12x^{2}-202{.}8x+623{.}7$
3. V′(x) = 0 と置いて解の公式を適用します。根号の中身が 16 × 699.39 となり、計算が整理されます：
  
  $x=\frac{202{.}8\mp\sqrt{202{.}8^{2}-4\cdot12\cdot623{.}7}}{24}=\frac{50{.}7\mp\sqrt{699{.}39}}{6},\qquad x_1=4{.}0423,\quad x_2=12{.}8577$
4. もう一方の解は短辺を使い果たす 10.5 cm を超えてしまうため、箱になりません。区間の両端における容積はともに 0 ですから、容積最大の箱は最初の解から得られます：
  
  $V(4{.}0423)=4{.}0423\times12{.}9153\times21{.}6153=1{,}128{.}5$
解答

四隅から 4.04 cm ずつ切り取ると、箱は底面が 12.92 cm × 21.62 cm、深さが 4.04 cm となり、1 リットル強に相当する約 1,128.5 cm³ の容積が得られます。この切り込みの長さは、短辺の6分の1である 3.5 cm と、長辺の6分の1である 4.95 cm の間にあり、そのどちらとも一致しません。縦横 a, b の長方形の板に対して最適な切り込みは (a + b − √(a² − ab + b²))/6 で与えられます。正方形の板では根号の中身が a² となって単に a と外れるため、この式は本ページで扱った L/6 に帰着します。

$x\approx4{.}04,\qquad V\approx1{,}128{.}5$

補充問題（答えのみ）

和が 20 になる二つの正の数のうち、積が最大になる組み合わせはどれでしょうか。

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10 と 10（積は 100）

$10+10=20,\qquad10\cdot10=100$
周の長さが 40 cm の長方形のうち、面積が最大になるものはどれでしょうか。

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一辺が 10 cm の正方形（面積は 100 cm²）

$10\times10\ \mathrm{cm},\qquad A=100\ \mathrm{cm^{2}}$
底面が正方形でふたのない箱の容積を 32 m³ にするとき、材料が最も少なくて済む寸法はいくらでしょうか。

答えを表示

底面が 4 m × 4 m、高さが 2 m（表面積は 48 m²）

$4\times4\times2\ \mathrm{m},\qquad S=48\ \mathrm{m^{2}}$
ある企業の生産量 q に対する利益が P(q) = −2q² + 120q − 1000 であるとき、利益を最大にする生産量と、そのときの利益額はいくらでしょうか。

答えを表示

q = 30、利益は 800

$q=30,\qquad P(30)=800$
曲線 y = x² 上で点 (0, 2) に最も近い点を求めましょう。

答えを表示

(±√(3/2), 3/2) で、距離は √7/2 ≈ 1.3229。なお、原点でも D² の導関数は 0 になりますが、そこでの距離 2 は極大値にあたります。

$\left(\pm\sqrt{\tfrac32},\ \tfrac32\right),\qquad D=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\approx1{.}3229$
x ≥ 0 における x e^(−x) の最大値を求めましょう。

答えを表示

x = 1 のとき 1/e ≈ 0.3679

$x=1,\qquad\max=\tfrac1e\approx0{.}3679$

最適値から5分の1ずれても、容積の減少は約3%

最適な切り込みでは変化率 V′ が 0 になるため、多少ずれても損はごくわずかです。容積最大の箱、続いて 4 cm 切り込む を押してみてください。切り込みが 20% 浅いと体積の 3.2% を失いますが、表を見ると、20% 深く切っても失われるのは 2.8% だけです。正方形の板ならどんな大きさでも、最適値から割合 δ だけずれたときに失われる体積は δ²(3 − δ)/4 です。二乗が現れるのは頂上で曲線が水平だからです。そして −δ があるおかげで、深く切りすぎたときの損は浅すぎたときよりわずかに小さくてすみます。

深さの制限があると、最適な箱は傾きが 0 でない端点に現れる

深さ上限 4 cm を押してみましょう。これで 4 cm までの切り込みしか選べなくなり、残りは灰色の帯で覆われます。V′ = 0 が指すのは依然として 5 cm ですが、そこは除外されています。許容範囲では一貫して V′ が正ですから、体積は上限ぎりぎりまで増え続けます。最適な箱は 4 cm のもので、そこでの変化率は 132 のままです。V′ = 0 が見つけるのは曲線が水平になる場所であって、範囲の端にある最適点なら、水平である必要などまったくありません。手順の中で範囲の端点も必ず確かめるのは、まさにこのためです。30 cm の板なら、5 cm 未満の制限はすべてこのように効いてきますし、5 cm 以上なら何も変わりません。

材料が最小になる缶では、底面の費用は側面のちょうど半分

缶を少し太くすると、上下の底面は広がり、側面は縮みます。最適な半径は二つの変化率がつり合う 4kπr = 2V/r² のところであり、両辺に r/2 を掛けると 2kπr² = V/r となります。つまり、上下の底面のコストは側面の 2V/r のちょうど半分です。正方形から蓋を打抜き を押してみてください。蓋を正方形から打ち抜いて四隅が端材になっても、カードの表示は 0.5 のままです。体積がいくらであっても、底面の金属価格がいくらであっても、これは変わりません。価格が左右するのは、むしろ缶の形状です。最適な缶の高さは直径の k 倍であり、底面が側面と同じ材料なら高さと直径が等しく、正方形から型抜きするなら直径の 1.27 倍になります。多少形がずれても損が小さいのは、箱のときとまったく同じ理由です。細長い缶 は高さが直径の 1.5 倍もありますが、余分に使う金属はわずか 1.75% にすぎません。

学習の道すじ

微分法：変化率はどう結びつくか

参考文献 (2)

The method in the definition and in the step-through (evaluate at the endpoints, find the critical points inside the interval, compare all the values: “the absolute extrema must occur at endpoints or critical points”), the Extreme Value Theorem (Theorem 4.1) and Fermat's theorem (Theorem 4.2) behind it: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.3, “Maxima and Minima”.
The open box worked on a rectangular sheet, 24 in. by 36 in., whose best cut is x = 10 − 2√7 ≈ 4.7 in. for about 1,825 in³ (Example 4.33, the same calculation as the page's A4 worked problem), and the applied-problem strategy's step that sets the domain from the physical problem before looking for the extremum (Step 5) and the remark that locating it “typically involves looking for critical points and evaluating a function at endpoints” (Step 6): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.7, “Applied Optimization Problems”.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

最適化：箱と缶

各記号の意味

補充問題（答えのみ）

最適値から5分の1ずれても、容積の減少は約3% 🖖

深さの制限があると、最適な箱は傾きが 0 でない端点に現れる 🖖

材料が最小になる缶では、底面の費用は側面のちょうど半分 🖖

最適値から5分の1ずれても、容積の減少は約3%

深さの制限があると、最適な箱は傾きが 0 でない端点に現れる

材料が最小になる缶では、底面の費用は側面のちょうど半分