角度の単位にラジアンが使われる理由

半径と角度を決めて、角度の単位を切り替えてみましょう。弧の長さ、扇形の面積、正弦関数の傾き、微小角の近似が、それに合わせて変わります。どれも、同じ定義から導かれるものです。

度数法と弧度法	$\pi\ \mathrm{rad}=180^{\circ}$
弧の長さ	$s=r\theta$
扇形の面積	$A=\tfrac12r^{2}\theta$
正弦関数の傾き（θはラジアン）	$\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta$

計算例 — 角度の単位にラジアンが使われる理由

θ（度）	57.2958°
弧の長さ s	1
扇形の面積A	0.5
sin θ	0.841471
弧と弦の間の弓形	0.079265
θ における sin の傾き	0.540302
sin θ ≈ θ の誤差	18.84%

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 角度の単位にラジアンが使われる理由

中心角が1ラジアンのとき、対応する弧の長さは半径と等しくなります。つまり、弧度法で表した角度は、弧の長さを半径で割った比です。円を一周する角度は2πになります。

各記号の意味

r: 半径
θ: 中心角。度の記号がなければ、単位はラジアン
s: 中心角に対応する弧の長さ
A: 扇形の面積。二本の半径と弧に囲まれた部分の面積

公式の導き方

弧の長さ。定義よりθ = s/rなので、s = rθです。一周分の弧の長さは円周2πrに等しいため、一回転は2πラジアン。その半分の180°はπラジアンです。
$\begin{aligned}&\theta=\frac{s}{r}\ \Rightarrow\ s=r\theta\\ &s=2\pi r\ \Rightarrow\ \theta=2\pi,\quad\pi\ \mathrm{rad}=180^{\circ}\end{aligned}$
扇形の面積。扇形が円全体に占める面積の割合は、弧が円周に占める割合と同じで、θを2πで割った値です。円の面積πr²にこの割合を掛けると、½r²θになります。ここから、二本の半径を辺とする三角形の面積½r² sin θを引けば、弧と弦に挟まれた弓形の面積が残ります。図の点線が、その弦です。
$\begin{aligned}&A=\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^{2}=\tfrac12r^{2}\theta\\ &\tfrac12r^{2}\theta-\tfrac12r^{2}\sin\theta=\tfrac12r^{2}\left(\theta-\sin\theta\right)\end{aligned}$
正弦関数の原点での傾きが1になる理由。半径1の円で、角度を0とπ/2の間にとります。扇形の内側にある三角形、扇形、接線まで広がる三角形は、この順に大きくなります。それぞれの面積を½ sin θで割ると、θ/sin θは1と1/cos θの間に挟まれます。θを0に近づけると1/cos θは1に近づくので、sin θ/θの右側極限は1です。sin θ/θは偶関数ですから、左側から近づけても同じ値になります。したがって、0での正弦関数の傾きはちょうど1です。
$\begin{aligned}&\tfrac12\sin\theta<\tfrac12\theta<\tfrac12\tan\theta\ \Rightarrow\ 1<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos\theta}\\ &\Rightarrow\ \lim_{\theta\to0^{+}}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\\ &\frac{\sin(-\theta)}{-\theta}=\frac{\sin\theta}{\theta}\ \Rightarrow\ \lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\end{aligned}$
度数法で微分すると何が変わるか。x度はπx/180ラジアンです。度数法を使うと横軸の目盛りの値が180/π倍になるため、傾きはすべてπ/180倍になります。度数法で三角関数を微分するときは、必ずこの係数が付きます。
$\frac{d}{dx}\sin x^{\circ}=\frac{d}{dx}\sin\frac{\pi x}{180}=\frac{\pi}{180}\cos x^{\circ}$

全プロセスの詳細解説

度数法と弧度法の換算 2 ステップ
150°をπの倍数で表し、2.5ラジアンを度に直しなさい。

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1. 180°がπラジアンなので、1°はπ/180ラジアンです。これを掛け、電卓を使う前に約分します。
  
  $150^{\circ}=150\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\approx2.61799$
2. ラジアンから度に戻すときは、180/πを掛けます。
  
  $2.5\times\frac{180}{\pi}=\frac{450}{\pi}\approx143.24^{\circ}$
解答

150° = 5π/6 ≈ 2.61799 rad、2.5 rad ≈ 143.24°。試験では、前者は5π/6と答えます。小数で示した値は、同じ角度を丸めたものです。
扇形の弧の長さ・面積・周の長さ 3 ステップ
半径8 cm、中心角1.2ラジアンの扇形について、弧の長さ、面積、周の長さを求めなさい。

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1. θをラジアンで表せば、弧の長さは半径と角度の積です。
  
  $s=r\theta=8\times1.2=9.6\ \mathrm{cm}$
2. 面積も、円全体に対する割合から求めます。
  
  $A=\tfrac12r^{2}\theta=\tfrac12\times64\times1.2=38.4\ \mathrm{cm^{2}}$
3. 周の長さには、弧と二本の半径を足します。半径を足し忘れやすいので、気をつけましょう。
  
  $P=2r+s=16+9.6=25.6\ \mathrm{cm}$
解答

s = 9.6 cm、A = 38.4 cm²、周の長さは25.6 cmです。
弧の長さと面積から半径と角度を求める 3 ステップ
弧の長さが12 cm、面積が48 cm²の扇形があります。半径と中心角を求めなさい。

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1. 与えられた条件を、それぞれrとθの式で表します。
  
  $r\theta=12,\qquad\tfrac12r^{2}\theta=48$
2. 面積は½r·(rθ) = ½rs、つまり半径と弧の長さの積の半分です。θを使わずに半径が求まります。
  
  $\tfrac12r^{2}\theta=\tfrac12r\cdot r\theta:\qquad48=\tfrac12\times r\times12\ \Rightarrow\ r=8\ \mathrm{cm}$
3. 次に、弧の長さから角度を求めます。
  
  $\theta=\frac{s}{r}=\frac{12}{8}=1.5\ \mathrm{rad}\approx85.94^{\circ}$
解答

r = 8 cm、θ = 1.5 radで、約85.94°です。このページで半径を8、角度を1.5にすると、弧の長さ12、面積48が確かめられます。
弦で切り取られる弓形 3 ステップ
半径6 cmの円に、中心角120°に対応する弦を引きます。この弦で分けられた小さいほうの弓形の面積を、厳密な値と有効数字三桁の近似値で求めなさい。

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1. まず、角度をラジアンに直します。ここで使う面積の公式は、どちらも弧度法を前提にしています。
  
  $120^{\circ}=120\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$
2. 扇形から、二本の半径を辺とする三角形を引くと弓形になります。この三角形の面積は½r² sin θです。
  
  $A=\tfrac12r^{2}\theta-\tfrac12r^{2}\sin\theta=\tfrac12\times36\times\frac{2\pi}{3}-\tfrac12\times36\times\frac{\sqrt3}{2}$
3. それぞれの項を整理してから、近似値を求めます。
  
  $A=12\pi-9\sqrt3\approx37.6991-15.5885=22.1107$
解答

12π − 9√3 cm²、約22.1 cm²です。このページでは½r²(θ − sin θ)で計算しています。同じ引き算で、共通因数½r²をくくり出した形です。

$A=12\pi-9\sqrt3\approx22.1\ \mathrm{cm^{2}}$
電卓を使わずにsin 3°を求める 3 ステップ
電卓を使わずにsin 3°の近似値を求め、誤差も見積もりなさい。

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1. 角度をラジアンに直します。sin θ ≈ θが使えるのは、弧度法だけです。
  
  $3^{\circ}=3\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{60}\approx0.0523599$
2. 角度が小さいので、正弦を角度そのもので近似します。
  
  $\sin3^{\circ}\approx\frac{\pi}{60}\approx0.05236$
3. 省略した最初の項は−θ³/6なので、近似値はおよそθ³/6だけ大きくなります。答えに対する割合では、約θ²/6です。
  
  $\frac{\theta^{3}}{6}\approx2.39\times10^{-5},\qquad\frac{\theta^{2}}{6}\approx0.000457\approx0.046\%$
解答

sin 3° ≈ 0.05236で、約0.046%大きい値です。このページには正弦の値0.052336と、同じ誤差0.046%が表示されます。
距離384,400 km、見かけの角度0.5181°から月の直径を求める 6 ステップ
月の見かけの直径は角度で0.5181°、月までの距離は384,400 kmです。月の直径を求めなさい。また、角度の単位を換算し忘れると、答えがどれだけ変わるか調べなさい。

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1. 遠くにある物体の見かけの角度が小さいとき、大きさ = 距離 × 角度で近似できます。月までの距離を半径としたs = rθに当たり、θの単位はラジアンでなければなりません。
  
  $s = r\theta \quad (\theta \text{ in radians})$
2. 換算すると、0.5181 × π/180 = 0.0090426ラジアンです。
  
  $0.5181^\circ \times \tfrac{\pi}{180} = 0.0090426$
3. 距離を掛けると、384,400 × 0.0090426 = 3,476 km。実測された平均直径は3,474.8 kmです。
  
  $384{,}400 \times 0.0090426 = 3{,}476 \text{ km}$
4. 換算を忘れて、そのまま0.5181を掛けると199,158 kmになります。直径だけで地球・月間の距離のかなりの部分を占める、巨大な月になってしまいます。
  
  $384{,}400 \times 0.5181 = 199{,}158 \text{ km}$
5. 二つの答えの比は57.30で、180/πに等しくなります。この換算を忘れたときの倍率は、使った数値によらず、必ずこの値です。
  
  $\tfrac{199{,}158}{3{,}476} = 57.30 = \tfrac{180}{\pi}$
6. 答えを確かめるには、近似の精度も見ておきましょう。この式では、月の直径を直線ではなく弧の長さとして扱っています。この角度では、両者の差は3,476 kmに対して12 m、比率では3 ppmです。結果の精度を左右しているのは、この近似ではありません。
  
  $\text{arc} - \text{chord} = 12 \text{ m in } 3{,}476 \text{ km}$
解答

直径は3,476 km。ラジアンへの換算を忘れると、答えは57.3倍になります。有効数字の四桁目に影響するのは、幾何学的な近似よりも、組み合わせる測定値です。月までの距離はひと月の間に約363,300 kmから405,500 kmまで、11%ほど変わり、見かけの大きさもそれに応じて変わります。平均の角度と平均の距離を使っても1.2 kmのずれが生じます。上で求めた3,476 kmと実測値3,474.8 kmの差がそれです。見かけの角度は1/dに比例しますが、逆数の平均は平均の逆数と等しくならないためです。さらに、その平均角度に今夜の距離を組み合わせれば、月が近地点にあるときには190 kmもずれます。計算自体は正しくても、代入した二つの値が別々の時刻のものだとは、式は教えてくれません。
度数法での正弦関数の傾き 4 ステップ
電卓を度数法に設定し、xを度で表した関数f(x) = sin xを考えます。f′(60)を求め、π/3ラジアンでの正弦関数の傾きと比べなさい。

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1. x度はπx/180ラジアンなので、fは変数の尺度を変えた正弦関数として表せます。
  
  $f(x)=\sin x^{\circ}=\sin\frac{\pi x}{180}$
2. 横軸の尺度を変えると、傾きには一律にπ/180が掛かります。
  
  $f'(x)=\frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi x}{180}=\frac{\pi}{180}\cos x^{\circ}$
3. x = 60では、cos 60° = ½です。
  
  $f'(60)=\frac{\pi}{180}\times\frac12=\frac{\pi}{360}\approx0.008727$
4. 同じ角度をラジアンで表すとπ/3で、その点での傾きはcos(π/3) = ½です。二つの答えの違いは、係数π/180だけです。
  
  $\frac{d}{d\theta}\sin\theta\,\Big|_{\theta=\pi/3}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$
解答

f′(60) = π/360 ≈ 0.008727で、これは1°当たりの変化率です。弧度法では1ラジアン当たり½になります。

$f'(60)=\frac{\pi}{360}\approx0.008727$
sin θとtan θの間で、θはどこにあるか 6 ステップ
10°に設定すると、パネルには弧の長さ0.174533、正弦0.173648、誤差0.51%と表示されます。同じ角度の正接を求めなさい。また、正弦と正接を使えば、誤差を0.51%より小さくできるか考えなさい。

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1. 10°は10 × π/180 = 0.174533ラジアンです。半径1の円では、弧の長さがそのまま角度の値になります。s = rθが表しているのは、この関係です。
  
  $\theta = 10^\circ \times \frac{\pi}{180} = 0.174533\ \mathrm{rad}, \qquad s = r\theta = \theta \quad (r = 1)$
2. 正弦は0.173648で、弧の長さより少し小さい値です。パネルでは、その差を正弦で割り、誤差0.51%と表示しています。
  
  $\sin\theta = 0.173648, \qquad \frac{\theta - \sin\theta}{\sin\theta} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.51\%$
3. この差の大きさは予測できます。sin θ = θ − θ³/6 + …なので、θ − sin θはおよそθ³/6 = 0.000886となるはずです。実際の差は0.000885です。
  
  $\sin\theta = \theta - \frac{\theta^{3}}{6} + \cdots \;\Longrightarrow\; \theta - \sin\theta \approx \frac{\theta^{3}}{6} = 0.000886$
4. 正接はθより大きくなります。その差の主な項は正弦の場合と同じ次数で、係数は2倍です。tan θ = θ + θ³/3 + …より、tan θ − θ = 0.001794となります。まとめると、sin θ < θ < tan θ。この大小関係からはさみうちの原理を使うと、弧度法での正弦関数の0での傾きがちょうど1だと証明できます。このページに表示されているのは、θより小さい側だけです。
  
  $\tan\theta = \theta + \frac{\theta^{3}}{3} + \cdots = 0.176327 \;\Longrightarrow\; \tan\theta - \theta = 0.001794 \approx \frac{\theta^{3}}{3}$
5. θは、この区間の中央にはありません。正接がθを上回る幅は、正弦がθを下回る幅の2.03倍です。θは、正弦から正接へ向かって約1/3進んだ位置にあります。
  
  $\sin\theta < \theta < \tan\theta, \qquad \frac{\tan\theta - \theta}{\theta - \sin\theta} = 2.03 \;\Longrightarrow\; \theta \ \text{lies one third of the way up}$
6. この比に合わせて重みを付けると、2(−⅙) + ⅓ = 0なので、三次の項がちょうど消えます。(2 sin θ + tan θ)/3 = 0.1745411で、誤差は8.2 × 10⁻⁶、割合では0.0047%です。同じ正弦と正接の値から、正弦だけを使う場合より100倍以上も精度のよい近似が得られます。
  
  $2\left(-\tfrac{1}{6}\right) + \tfrac{1}{3} = 0: \qquad \frac{2\sin\theta + \tan\theta}{3} = 0.1745411, \quad \text{out by } 8.2\times10^{-6} = 0.0047\%$
解答

正接は0.176327で、弧の長さより大きくなります。正弦と組み合わせれば、誤差は0.51%よりはるかに小さくできます。この重み付けには、別の形で長い歴史があります。円に内接する正多角形の周の長さは2n sin(π/n)、外接する正多角形では2n tan(π/n)です。ここにもθ = π/nでの正弦と正接が現れ、周の長さを直径で割ると、πの古典的な上限と下限が得られます。96辺なら、下限は3.14103195、上限は3.14271460。これだけでπは小数第二位まで3.14と定まります。さらに、(2 × 3.14103195 + 3.14271460)/3と組み合わせると3.14159283となり、真の値3.14159265にぐっと近づきます。正接も、このツールの土台となる幾何に初めから含まれていました。正弦だけがカードに表示されるのは、物理で使う微小角の近似に焦点を当てているためです。

$n = 96: \quad \frac{2(3.14103195) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 \qquad (\pi = 3.14159265)$

補充問題（答えのみ）

225°をラジアンで正確に表し、0.6 radを度に換算しなさい。

答えを表示

225° = 5π/4 rad、0.6 rad ≈ 34.38°。

$225^{\circ}=\frac{5\pi}{4},\qquad0{.}6\ \mathrm{rad}\approx34{.}38^{\circ}$
半径6 cm、面積15 cm²の扇形があります。中心角と弧の長さを求めなさい。

答えを表示

θ = 2A/r² = 5/6 rad（約47.75°）、s = rθ = 5 cm。

$\theta=\frac{2A}{r^{2}}=\frac56,\qquad s=r\theta=5\ \mathrm{cm}$
半径0.35 mの自転車の車輪が3回転すると、自転車は何m進みますか。

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3回転は6π radなので、s = rθ = 2.1π ≈ 6.597 m。

$s=0{.}35\cdot6\pi=2{.}1\pi\approx6{.}597\ \mathrm{m}$

サインの微分がコサインになるのはラジアン限定

傾きを支える微積分を押してみよう。θ = 0では、正弦の傾きはラジアンならちょうど1になる。ここで単位を切り替える。同じ曲線上の同じ点なのに、表示される傾きは0.017453となる。度はラジアンより細かな角度の刻みなので、一度進むごとの正弦の増加もそれに比例して小さくなるからだ。したがって、簡潔な公式 d/dx sin x = cos x がそのまま成り立つのはラジアンだけである。正弦の級数も、フーリエ展開の各項も、下に示す小角近似も同じだ。度を用いて微積分を組み立てること自体はできるが、係数はどこまでも付きまとう。一階導関数にはπ/180、二階導関数にはその平方、積分にはその逆数が現れる。そのような体系が使われないのは、このためである。

近似式が思いのほか広い範囲で持ちこたえる理由

角度が小さいときは、sin θ ≈ θと近似できます。級数の次の項は−θ³/6なので、相対誤差はおよそθ²/6。角度の平方に比例するため、かなりの範囲で小さく収まります。1°では0.005%、5°では0.127%、10°でもわずか0.51%です。30°まで広げると4.72%になり、近似の限界が見えてきます。振り子でも、この近似が使われています。運動方程式でsin θをθに置き換えると、単振動の式が得られます。そのため、実際の振り子時計は振れ幅が大きいほど遅れ、その遅れの割合も角度の平方に比例して増えます。

学習の道すじ

なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。